隐函数和参数方程所确定的函数的导数

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second Level,Third Level,Fourth Level,Fifth Level,第十节,一、隐函数的导数,二、由参数方程所确定的函数的导数,隐函数和由参数方程所确定的函数的导数,第,二,章,一、隐函数的导数,1.,定义,注,1,如：,若由方程,可确定,y,是,x,的函数,函数,y,为由此方程所确定的,隐函数,.,则称,2,确定了一个隐函数：,y,=,y,(,x,),解出，则称此隐函数,可显化；,例1,3,问题,:,隐函数不易显化或不能显化如何求导,?,解,(,方法,1),(,方法,2),另一方面，,一方面，,隐函数,求导方法,:,两边对,x,求导,(,含导数,y,的方程,),用复合函数求导法则，直接对方程两边求导，,2.,隐函数求导法则,解,解得,求由方程,所确定的隐函数,y,的导数,方程两边对,x,求导,由原方程知,例,2,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数,.,3.,隐函数求导法的应用,对数求导法,(1),方法,不易求导,易求导,(2),适用范围,按指数函数求导公式,按幂函数求导公式,注意,:,取对数得,两边求导：,例,3,求,的导数,.,解,两边对,x,求导,求幂指函数导数用对数求导法,(,方法,1),对数求导法,两边取对数,化为隐式方程：,(,方法,2),复合函数求导法,注,?,?,例,4,解,例,5,两边对,x,求导：,二、由参数方程所确定的函数的导数,例如，,消去参数,问题,:,消去参数困难或无法消去参数时，如何,求导数,?,定理,(,参数方程所确定的函数的求导公式,),则由,参数方程所,单调且连续的反函数,且能,构成复合,确定的函数,可导，,函数：,且,一个半径为,a,的圆在定直线上滚动时,圆周上任一,定点的轨迹称为,摆线,计算由摆线的参数方程,:,所确定的函数,y=y,(,x,),的导数,解,例,6,摆线,简介：,即,半径为,a,的圆周沿直线无滑动地滚动时,M,的轨迹即为,摆线,.,其上定点,例,7,解,求,设,方程组两边同时对,t,求导,得,极坐标系下的曲线的切线问题,解,例,8,先写出曲线的参数方程：,内容小结,直接对方程两边求导,2.,对数求导法,:,适用于幂指函数及某些用连乘,连除,乘方,开方表示的函数,3.,参数方程求导法,极坐标方程求导,转化,1.,隐函数求导法则,思考题,求,提示,:,分别用对数求导法求,答案,:,备用题,例,2-1,解,例,2-2,求椭圆,在点,处的切线方程,.,解,椭圆方程两边对,x,求导,故切线方程为,即,例,2-3,在,x,=0,处的导数,解,方程两边对,x,求导,得,由原方程得,x,=0,时,y,=0,故,确定的,例3-3,求由方程,隐函数,求其反函数的导数,.,解,(,方法,1),(,方法,2),等式两边同时对 求导,例,2-4,设,例,3-1,解,设,解,等式两边取对数得,求,例,5-1,解,例,6-1,例,6-2,抛射体运动轨迹的参数方程为,求抛射体在时刻,t,的运动速度的大小和方向,.,解,先求速度大小,:,速度的水平分量为,铅直分量为,故抛射体,速度大小,再求,速度方向,(,即轨迹的切线方向,):,设,为切线倾角,则,抛射体轨迹的参数方程,速度的水平分量,垂直分量,在刚射出,(,即,t,=0),时,倾角为,达到最高点的时刻,高度,落地时刻,抛射,最远距离,速度的方向,例,7-1,设由方程,确定函数,求,解,方程组两边对,t,求导,得,故,解,例,8-1,