定积分及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 定积分及其应用,本章主题词：曲边梯形的面积、定积分、变上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。,数学不仅在摧毁着物理科学中紧锁的大门，而且正在侵入并摇撼着生物科学、心理学和社会科学。会有这样一天，经济的争执能够用数学以一种没有争吵的方式来解决，现在想象这一天的到来不再是谎缪的了。,伽德纳,Archimedes,第一节 定积分的概念与性质,a,b,x,y,o,实例1,（求曲边梯形的面积）,一、定积分问题的提出,a,b,x,y,o,a,b,x,y,o,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然,:小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,Aera=?,公元前,二百多年前的阿基米德就已会用此法求出许多不规则图形的面积,阿基米德,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,播放,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,观察下列演示过程，注意当分割加细时，,矩形面积和与曲边梯形面积的关系,曲边梯形如图所示：,（1）分割,（2）近似代替,（3）求和,（4）取极限,曲边梯形面积为,求曲边梯形面积所用的方法步骤：,分割、,近似代替、,求和、,取极限 .,实例2,（求变速直线运动的路程）,思路,：,把整段时间分割成若干小段，每小段上,速度看作不变,，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,（1）分割,（3）求和,（4）取极限,（2）近似代替,二、定积分的定义,定义,被积函数,被积表达式,积分变量,记为,积分上限,积分下限,黎曼积分,积分和,注意:,则,则当,例1,利用定义计算定积分,解,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,定积分的几何意义,前,前,定理1,定理2,定积分存在定理(,可积充分条件,),三、定积分的性质,对定积分的,补充规定,:,说明,在下面的性质中，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小,证明,（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）,性质1,证明,性质2,补充,：不论 的相对位置如何, 上式总成立.,例,若,（,定积分对于积分区间具有可加性,）,则,性质3,证明,性质4,性质5,性质5的推论：,证明,（1）,（,定积分不等式性质,）,证明,说明：,可积性是显然的.,性质5的推论：,(,绝对值不等式性质,),解,令,于是,证明,（,此性质可用于估计积分值的大致范围,）,性质6,解,解,证明,由闭区间上连续函数的,介值定理,知,性质7,（,定积分中值定理,）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,解,由积分中值定理知有,使,(定积分第二中值定理 .),7,和,小 结,定积分的实质,：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,分割,化整为零,求和,积零为整,取极限,精确值定积分,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,4典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,证,命题得证,所以可积必有界.,思考题,1、将和式极限：,2、表示成定积分.,思考题解答,1、原式,例,证明,利用对数的性质得,极限运算与对数运算换序得,故,练 习 题,练习题答案,练习题答案,