大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学家和哲学家追求数学的最初生长点的研究，恰像一次向远处的地平线走去的旅行。终点似乎就在前面，可是走过去之后发现，它还在前方。,但是旅行者毕竟一次又一次地大开眼界。他发现了越来越广大的世界。,摘自张景中（院士）,数学与哲学,同学们好！,?,显然，这段话对物理学也适用。,第五章 角动量 角动量守恒定律,刚体定轴转动定律,角动量,转动惯量,角动量的时间变化率,力矩,角动量,定理,角动量,守恒定律,重要性：,大到星系，小到基本粒子都有旋转运动；,微观粒子的角动量具有量子化特征；,角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。,学时：,6,难点：,角动量概念，,角动量定理及角动量守恒定律的应用,重点：,概念：,角动量，转动惯量，力矩，角冲量，,规律：,刚体定轴转动定律，,角动量定理的微分形式和积分形式，,角动量守恒定律，,5.1 角动量 转动惯量,一、角动量,由于该系统质心速度为零，所以，系统总动量为零，系统有机械运动，总动量却为零？,说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。,*,引入与动量 对应的角量 角动量（动量矩）,问题：,将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总动量为多少？,C,M,动量对参考点（或轴）求矩,1.质点的角动量,定义：,大小：,方向：,x,y,z,m,o,物理意义：,*,质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。,*,必须指明参考点，角动量才有实际意义。,2.质点系角动量,系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和,o,o,有,：对质心,无,：对参考点,与,i,无关,第一项：,即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上，该质点对参考点的角动量,以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运动，称为质点系的,轨道角动量,。,由,第二项：,质心对自己的位矢,与,i,无关,反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点,O,的选择无关，,描述系统的内禀性质：,第三项：,各质点相对于质心角动量的矢量和,于是：,与,i,有关,3.定轴转动刚体的角动量,即,对,的角动量：,转轴 角速度,刚体上任一质点,转轴与其转动平面交点,绕,圆周运动半径为,转动平面,刚体对,z,轴的总角动量为：,在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则定义质点对,z,轴的角动量为:,对质量连续分布的刚体：,刚体对,z,轴的总角动量为：,令：,二、刚体对轴的转动惯量,1.定义,刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和。,若质量连续分布，则,转动惯量,刚体对轴的转动惯量,J,与刚体总质量有关,与刚体质量分布有关,与转轴的位置有关,2. 计算,积分元选取：,练习,1.由长,l,的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过,A,垂直于纸面的轴的转动惯量,2. 一长为,的细杆，质量,m,均匀分布 ，求该杆对过杆一端端点且垂直于杆的,z,轴的转动惯量。,z,3. 求质量,m,半径,R,的均匀球壳对直径的转动惯量,解：,取离轴线距离相等的点的集合,为积分元,m,4. 求质量,m,半径,R,的均匀球体对直径的转动惯量,解：,以距中心 ，厚 的球壳,为积分元,m,教材P.93 一些均匀刚体的转动惯量表,注意：,对同轴的转动惯量具有可加减性。,o,r,1,r,2,m,1,m,2,同轴圆柱,r,1,r,2,m,1,m,2,空心圆盘,z,平行轴定理,正交轴定理,对平面刚体,证明见教材92页,练习：,求长,L,、质量,m,的均匀杆对,z,轴的转动惯量,解2.,解3.,解1.,用其它方法求：,一、质点角动量的时间变化率,质点位矢,合力,5.2 角动量的时间变化率 力矩,二、力矩,1. 对参考点的力矩：,大小：,方向：,服从右手定则,质点角动量的时间变化率等于,质点所受合力的力矩,力矩,2. 对轴的力矩,第一项,方向垂直于轴，其效果是改变轴的方位，在定轴问题中，与轴承约束力矩平衡。,第二项,方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称为力对轴的矩，表为代数量：,即：,力对,o,点 的力矩在,z,轴方向的分量,注意：,力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。,矢量和,代数和,思考：,合力为零时，其合力矩是否一定为零？,合力矩为零时，合力是否一定为零？,例：,三、质点系角动量的时间变化率,对,个质点 组成的质点系，由,可得,两边求和得,于是,质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和 (合外力矩 ),由图可知,注意：,合外力矩 是质点系所受各外力矩的矢量和，而非合力的力矩。,注意：,质点系内力矩的作用,不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量在系内各质点间的分配。,例,质量为 ，长为 的细杆在水平粗糙桌面上绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。,解：,设杆的线密度,实际意义,半径,R,，质量,m,的匀质圆盘，与桌面间摩擦系数,，,求摩擦力矩,等效,简化模型：,长,R,，线密度 总质量,m,的细杆,本讲内容：三个基本概念,1.角动量,质点,质点系,定轴刚体,2. 转动惯量,3.力矩,1.角动量,质点,质点系,定轴刚体,2. 转动惯量,5.1 角动量 转动惯量,上讲,5.2 角动量的时间变化率(续),一、质点角动量的时间变化率,质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩,二、力矩,1. 对参考点的力矩：,2. 对,z,轴的力矩:对参考点的力矩在,z,轴上的投影。,三、质点系角动量的时间变化率,质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。,内力矩不影响总角动量，只改变质点系总角动量在质点系内的分配。,四. 刚体定轴转动定律,由,得,刚体定轴转动定律,比较,是物体转动惯性的量度。,是物体平动惯性的量度。,改变物体平动状态的原因,改变物体绕轴转动状态的原因,地位相同,刚体定轴转动问题,平动问题,矢量式,标量式,例1:,一定滑轮的质量为 ，半径为 ，一轻绳两边分别系 和 两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。,已知：,求：,思路：,质点平动与刚体定轴转动关联问题，,隔离法，分别列方程，,先求角加速度,解：,在地面参考系中，分别以,为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律,和刚体定轴转动定律建立方程。,思考：,+,四个未知数：,三个方程 ？,绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：,解得,滑轮,m,：以顺时针方向为正方向,如图示，两物体质量分别为 和 ，滑轮质量为 ，半径为 。已知 与桌面间的滑动摩擦系数为 ，求 下落的加速度和两段绳中的张力。,解：,在地面参考系中，选取 、 和滑轮为研究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：,练习1.,列方程如下：,可求解,向里+,例2.,质量为,M,的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为,m,、长为,l,的匀质柔软绳索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差为,s,时，绳的加速度的大小。,解：,在地面参考系中，建立如图,x,坐标，设绳两端坐标分别为,x,1，,x,2，,滑轮半径为,r,有：,o,x,1,x,2,s,M,A,B,r,x,用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）,T,1,J,T,2,.,C,A,T,1,m,A,g,.,C,B,T,2,m,B,g,o,o,x,1,x,2,s,M,A,B,r,x,C,B,C,A,解得：,o,x,1,x,2,s,M,A,B,r,x,C,B,C,A,5.3 角动量定理,一、角动量定理的微分形式,1.质点,2.质点系,3.定轴刚体,二、角动量定理的积分形式,积分形式 （有限时间过程）,微分形式,质点,质点系,定轴刚体,瞬时效应,注意,1. 力矩对时间的积累：,角冲量（冲量矩）,定义：,效果：,改变角动量,3. 同一式中， 等角量,要对同一参考点或同一轴计算。,一定时间过程的变化量与 对应,时间变化率与 对应,2.,比较：,一定时间过程的变化量与 对应,时间变化率与 对应,三、角动量定理的应用举例旋进(进动),录象,1-2-9,角动量定理 8分钟,1.回转仪实验：,如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，移动平衡物,B,，杆不会倾斜，而是在水平面内绕,O,旋转。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生的回转效应,。,(1) 若 时：,在重力矩 作用下，,陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，,即倒地。,（2）当时：,重力矩 ，,将不改变 的大小，,只改变 的方向。,使陀螺绕竖直轴旋转,旋进,2.陀螺,重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。,最终效果：,陀螺绕竖直轴旋转,旋进,旋进角速度：,3.车轮的旋进,讨论：,改变 的方向，旋进方向是否改变？,改变配重 ，对旋进有什么影响？,用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生什么现象？,1. 2. 3,4、炮弹的旋进,c,5、旋进现象在自然界广泛存在：,地球的旋进；,用电子在外磁场中的旋进解释物质的磁化的本质；,.,录像片：129角动量守恒定律10分钟,开普勒的宇宙模型：,行星轨道在正多面体的内接、外切球面上。,1597年发表于神秘的宇宙由此成为第谷的学生和助手。,1609年探索成因的新天文学或天体物理学 ：,第一定律：椭圆轨道定律（否定圆轨道）；,第二定律：等面积定律（否定匀速率运动）。,1619年宇宙的和谐 ：,第三定律：周期定律（建立各行星轨道间的联系）,开创了物理学中将实验观测数据表达为准确的数学定律的先河。,5.3 角动量守恒定律,一、角动量守恒定律,分量式：,对定轴转动刚体，当,时，,恒矢量,由角动量定理：,研究对象：,质点系,当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量守恒。,角动量守恒定律：,2.守恒条件,或,能否为,注意,1.与动量守恒定律对比,当,时，,恒矢量,恒矢量,当,时，,彼此独立,角动量守恒现象举例,适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子.,为什么银河系呈旋臂盘形结构？,为什么猫从高处落下时总能四脚着地？,体操运动员的“晚旋”,芭蕾、花样滑冰、跳水.,为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？,茹科夫斯基凳实验,例1.,一半径为,R,、质量为,M,的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动, 质量为,m,的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？,R,思考：,1.台为什么转动？向什么方向转动？,2.人相对转台跑一周，相对于地面是否也跑了一周？,3.人和台相对于地面转过的角度之间有什么关系？,选地面为参考系，设对转轴,人：,J,;,台：,J,解：,系统对转轴合外力矩为零，角动量守恒。以向上为正：,R,设人沿转台边缘跑一周的时间为,t,人相对地面转过的角度：,台相对地面转过的角度：,二. 有心力场中的运动,物体在,有心力,作用下的运动,力的作用线始终通过某,定点,的力,力心,有心力对力心的力矩为零，只受有心力作用的物体对力心的角动量守恒。,应用广泛，例如：,天体运动,（行星绕恒星、卫星绕行星.）,微观粒子运动,（电子绕核运动；原子核中质子、中子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射.）,例2.,已知：,地球,R,=6378 km,卫星 近地：,h,1,= 439 km,v,1,=8.1 km.s,-1,远地:,h,2,= 2384 km,求 ：,v,2,=?,h,2,h,1,解：,建立模型,卫星质点,m,地球均匀球体,O,d,F,m,d,m,d,m,d,F,1,d,F,2,对称性：,引力矢量和过地心,对地心力矩为零,卫星,m,对地心,o,角动量守恒,卫星,m,对地心,o,角动量守恒,增加通讯卫星的可利用率,探险者号卫星偏心率高,近地,远地,h,1,h,2,R,.,o,地球同步卫星的定点保持技术,卫星轨道平面与地球赤道平面倾角为零,轨道严格为圆形,运行周期与地球自转周期完全相同,（23小时56分4秒）,严格同步条件,地球同步卫星：,相对地球静止，定点于赤道上空，轨道半径约36000km，实现全球24小时通信。,地球扁率，太阳、月球摄动引起同步卫星星下点漂移,用角动量、动量守恒调节 定点保持技术,研究微观粒子相互作用规律,自学教材,P108,例,4,第五章 角动量 角动量守恒 习题课,复习提要：,三个概念，两条规律,一、转动惯量,二、角动量,质点,质点系,定轴刚体,三、力矩,质点,质点系,定轴刚体,五、角动量守恒,四、角动量定理,例1 .,已知：,两平行圆柱在水平面内转动，,求：,接触且无相对滑动时,.,o,1,m,1,R,1,.,o,2,R,2,m,2,o,1,.,o,2,.,请自行列式。,解1：,因摩擦力为内力，外力过轴 ，外力矩为零，则,J,1,+,J,2,系统角动量守恒 ，以顺时针方向旋转为正：,接触点无相对滑动：,又：,联立1、2、3、4式求解，对不对？,o,1,.,.,o,2,问题：,（1）式中各角量是否对同轴而言？,（2）,J,1,+,J,2,系统角动量是否守恒？,系统角动量不守恒！,分别以,m,1 ,m,2,为研究对象，受力如图：,o,2,F,2,o,1,.,F,1,f,1,f,2,解2：,分别对,m,1,m,2,用角动量定理列方程,设：,f,1,=,f,2,=,f ，,以顺时针方向为正,m,1,对,o,1,轴：,m,2,对,o,2,轴：,接触点：,o,2,F,2,o,1,.,F,1,f,1,f,2,联立各式解得：,解1：,m,和,m,2,系统动量守恒,m v,0,= (,m,+,m,2,),v,解2：,m,和,(,m,1,+,m,2,)系统动量守恒,m v,0,= (,m,+,m,1,+,m,2,),v,解3：,m v,0,= (,m,+,m,2,),v,+,m,1 ,2,v,以上解法对不对？,m,2,m,1,m,A,例2.,已知：,轻杆，,m,1,=,m,m,2,= 4,m, 油灰球,m，,m,以速度,v,0,撞击,m,2,，发生完全非弹性碰撞,求：,撞后,m,2,的速率,v,?,因为相撞时轴,A,作用力不能忽略不计，故,系统动量不守恒,。,因为重力、轴作用力过轴，对轴力矩为零，故,系统角动量守恒,。,由此列出以下方程：,或：,得：,m,2,m,1,m,N,y,N,x,A,注意：区分两类冲击摆,水平方向：,F,x,=0,，,p,x,守恒,m v,0,=,(,m + M,),v,对,o,点： ，,守恒,m v,0,l =,(,m + M,),v l,轴作用力不能忽略，动量不守恒，但对,o,轴合力矩为零，角动量守恒,（1）,o,l,m,M,质点,质点,柔绳无切向力,质点 定轴刚体,（不能简化为质点）,(2),o,l,m,M,F,x,F,y,回顾习题,P84 4 -10,m,M,F,O,A、B、C系统 不守恒；,A、B、C系统对,o,轴角动量守恒,回顾习题,P84 4 -11,C B,N,x,N,y,A,o,练习：,已知,m,= 20,克，,M,= 980 克 ,v,0,=400米/秒，绳不可伸长。求,m,射入,M,后共同的,v,=?,思考：,系统哪些物理量守恒？,（总动量、动量分量、角动量）,解：,m,、,M,系统水平方向动量守恒（,F,x,=0),竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略）,对,o,点轴角动量守恒（外力矩和为零）,o,m,M,或：,v,= 4 m.s,-1,得：,解：,碰撞前后AB棒对,O,的角动量守恒,思考：,碰撞前棒对,O,角动量,L,=?,碰撞后棒对,O,角动量 =？,例3 .,已知：,匀质细棒,m ,长,2l,；在光滑水平面内以,v,0,平动，与固定支点,O,完全非弹性碰撞。,求：,碰后瞬间棒绕,O,的,v,0,c,l,B,A,l,/ 2,l,/ 2,O,撞前：,（1）,思考：,碰撞后的旋转方向？,（2）各微元运动速度相同，但到,O,距离不等，,棒上段、下段对轴,O,角动量方向相反,设垂直向外为正方向，总角动量：,质元角动量：,线密度：,取质元：,x,d,m,-,l,/2,3,l,/2,撞后：,令：,得：,x,C,-,l,/2,3,l,/2,平行轴定理,例 4 .,P113 5 - 16,有的恒星在其核燃料燃尽，达到生命末期时，会发生所谓,超新星爆发,，这时星体中有大量物质喷射到星际空间，同时该星的内核向内收缩，坍缩成体积很小、异常致密的,中子星,。由于中子星的致密性和极快的自转角速度，在星体周围形成极强的磁场并发射出很强的电磁波。当中子星的辐射束扫过地球时，地面上就测得脉冲信号。因此，中子星又称为,脉冲星,。目前，我们探测到的脉冲星已超过550个。设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径 约为 ，坍缩为半径仅为6000m的中子星，将星体内核当作质量不变的匀质圆球，计算中子星的角速度。,赫威斯(1924),英国物理学家,1967年利用射电望远镜第一次发现了脉冲星。,于1974年获诺贝尔奖。,脉冲星（左边照片中间白点为变亮的脉冲星，右边为脉冲星变暗后的照片）,恒星：,发光的星体（亮度不一定恒定）,变星：,较短时间内，亮度规则或不规则变化,新星：,亮度突然增大几千倍,超新星：,不到一天内亮度突然增大几亿倍，10秒内释,放的能量比太阳在全部寿命中释放的总能量大100倍，,其中光能占10,- 4,，已足以盖过整个银河发光的总和,( 10,37,J/s ),已确认的超新星爆炸事件：,公元（年）： 185，1006，,1054，,1181，,1572，1604，,1987，,1054 年：,北宋记载， 目前遗迹：蟹状星云、中子星.,由此提出超新星爆发机制假说。,1987年2月23日 ：,用观测对假说进行验证,1987.2.23.格林威治时间7：36,空前强大的中微子流扫过地球，16万年前起源于南半球星空的大麦哲伦星云。日本神岗2号和美国IMB中微子探测站记录到讯号。,9：00,新西兰天文爱好者偶然观察SN1987A，未见异常。,10：00,澳大利亚天文学家拍下最初增亮照片。,在智利工作的加拿大天文学家谢尔顿,对照两张大麦哲伦星云的例行照片，发现刚拍的一张上多一个白点，疑为底片上的尘埃，当他走出暗室向天空望去，有幸成为自1604年以来第一个用肉眼看到超新星爆发的人。,不到一天,南半球几乎所有天文设备指向该位置。,直到现在,人类使用卫星、火箭、高空飞机进行全面观测。,雷蒙德.戴维斯（美国）；小柴昌俊（日本）,表彰他们在1987年超新星爆发中探测宇宙中微子，开创中微子天文学方面取得的成就,与卡尔多.贾科尼（美国，发现宇宙X射线源）共同获得,2002年诺贝尔物理奖,哈勃望远镜拍摄的超新星1987A爆发的 结果,中央斑点是一个新的中子星,北京时间2007年5月8日消息，美国宇航局（NASA）钱德拉X射线太空望远镜以及地面光学望远镜近日观测到有史以来最强的超新星爆发。这一发现或许表明，超级爆发在早期宇宙中十分普遍，我们的银河系可能也将出现类似爆发。,NASA5月7日在网站上公布了这一发现。自去年秋季被发现以来，许多天文学家对其进行了长达数月的跟踪观测。发现该超新星的研究小组负责人、加州大学伯克利分校的纳桑-史密斯表示，该超新星比此前有记录的上百颗超新星亮度高出5倍。,超新星编号为SN2006gy。观测显示，该超新星不会变成黑洞，而是直接跳跃至恒星的死亡阶段。一般来说，超新星爆发的高峰阶段最多持续一周，而这颗超新星持续时间已达70多天，亮度也非常高。,解：,内核坍缩过程不受外力矩作用，,对自转轴的角动量守恒,得坍缩后的角速度为：,注意：,在下次课前自学第六章，下次课总结。,