(精品)8.3傅立叶变换的性质

*,第八章 傅里叶变换,8.3,傅里叶变换的性质,8.3,傅立叶变换的性质,三,、,利用,Matlab,实现,Fourier,变换,一、,基本性质,二、,卷积与卷积定理,*,一、,基本性质,且,所涉及到的函数的,Fourier,在下面给出的基本性质中，,变换均存在，,1.,线性性质,设,a,b,为常数，则,性质,对于涉及到的一些运算,(,如,求导,、,积分,、,极限,及,求和,等,),的次序交换问题，均不另作说明。,直接进入基本,性质汇总？,证明,(,略,),一、,基本性质,2.,位移性质,设,为实常数，则,性质,(,时移性质,),(,频移性质,),(2),同理，可得到频移性质。,(1),(2),证明,(1),令,时移性质,表明：当一个信号沿时间轴移动后，各频率成份,频移性质,则被用来进行,频谱搬移,，这一技术在通信系统中,的大小不发生改变，但相位发生变化；,得到了广泛应用。,一、,基本性质,2.,位移性质,设,为实常数，则,性质,(,时移性质,),(,频移性质,),(1),(2),令,证明,(1),当 时，,(2),当 时，,同理可得,性质,一、,基本性质,3.,相似性质,相似性质,表明,，,事实上,，,在对矩形脉冲函数的频谱分析中,(,8.1,),已知，,脉冲越窄，则其频谱,(,主瓣,),越宽,;,脉冲越宽，则其频谱,(,主瓣,),越窄。,相似性质正好体现了,脉冲宽度与频带宽度之间的反比关系,。,若信号被压缩 则其频谱被扩展,；,若信号被扩展,则其频谱被压缩,。,性质,一、,基本性质,3.,相似性质,相似性质表明这两者是矛盾的，因为同时压缩,脉冲宽度,和,在电信通讯中，,为了有效地利用信道，希望信号的频带宽度要窄。,为了迅速地传递信号，希望信号的脉冲宽度要小；,频带宽度,是不可能的。,性质,一、,基本性质,3.,相似性质,一、,基本性质,4.,微分性质,若,则,性质,证明,由,有,一般地，若,则,记忆,由,一、,基本性质,4.,微分性质,若,则,性质,记忆,由,上式可用来求 的,Fourier,变换,一、,基本性质,4.,微分性质,同理，可得到,像函数的导数公式,证明,令,则,由微分性质有,又,有,即得,性质,一、,基本性质,5.,积分性质,一、,基本性质,6.,帕塞瓦尔,(,Parseval,),等式,证明,由,有,右边,=,左边,.,一、,基本性质,(,汇总,),线性性质,相似性质,位移性质,(,时移性质,),(,频移性质,),一、,基本性质,(,汇总,),Parseval,等式,积分性质,微分性质,(,直接进入,Parseval,等式举例,?,),例,设,求,解,已知,根据,线性性质,和,频移性质,有,又,解,根据,相似性质,有,P198,例,8.11,修改,设,求,例,根据,微分性质,有,解,令,则,又已知,解,设矩形脉冲函数,由于被积函数为偶函数，,已知 的频谱为,由,Parserval,等式,有,故有,P200,例,8.12,即,二、,卷积与卷积定理,广义积分 对任何实数,t,都收敛，,函数为 与 的,卷积,，记 为,1.,卷积的概念与运算性质,设函数 与 在区间 上有定义，,定义,如果,它在,上定义了一个自变量为,t,的函数，,则,称此,P200,定义,8.2,二、,卷积与卷积定理,1.,卷积的概念与运算性质,性质,(1),交换律,(2),结合律,(3),分配律,P201,解,(1),当 时，,t,(2),当 时，,P201,例,8.13,将函数,反褶,并,平移,到,t,，得到,从上面的例子可以看出,(2),卷积由,反褶,、,平移,、,相乘,、,积分,四个部分组成。,因此，,卷积,又称为,褶积,或,卷乘,。,(1),在计算一些分段函数的卷积时，如何确定积分限是解题,另外，利用卷积满足交换律这一性质，,适当地选择两个函数,的关键。,再与函数,相乘,后求,积分,，,得到卷积,的卷积次序,，还可以使积分限的确定更直观一些。,如果采用图形方式则比较容易确定积分限。,即首先,P203,(1),当 时，,解,由卷积的定义及性质有,2,2,1,t,2,2,1,P202,例,8.14,修改,2,2,1,t,(2),当 时，,解,由卷积的定义及性质有,2,2,1,2,2,1,t,(3),当 时，,解,由卷积的定义及性质有,2,2,1,综合得,解,由卷积的定义及性质有,2,2,1,证明,同理可证,(,B,),式。,二、,卷积与卷积定理,2.,卷积定理,P203,定理,8.4,二、,卷积与卷积定理,3.,卷积的物理意义,*,设有某信号为,问题,试将该信号的,低频成份,完全保留，,而,高频成份,完全去掉，,即对其进行,理想低通滤波,。,(1),如何从收到的实际信号中,分离,出“想要”的某个频带,背景,内的信号。,(2),如何从收到的实际信号中,消除,在传输过程中加入的,高频干扰噪声。,(,跳过,?),二、,卷积与卷积定理,3.,卷积的物理意义,方法,*,(1),求出信号 频谱函数,显然，新的信号 中完全保留了原信号 中频率,低于,a,的频率成份，而去掉了频率高于,a,的频率成份。,方法一,在频率域中实现,(2),令,(,理想低通滤波器,),(3),将 与 相乘，得到,(4),对 作,Fourier,逆变换，得到,二、,卷积与卷积定理,3.,卷积的物理意义,方法,*,由卷积定理，信号,与,方法一,中信号,是一样的，,方法二,在时间域中实现,(1),令,(,理想低通滤波器,),(2),求,(,理想低通滤波因子,),(3),计算卷积,与,分别又称为,频率响应函数,与,冲激响应函数,。,注,这正是卷积的意义和价值。,解,方法一,根据,卷积定理,有,方法二,已知 的,Fourier,变换为,令,注,(1),一般地，有,(2),本例的结论被用来获取或者检测系统的,冲激响应函数,。,其频谱分别为,解,函数 和 均为抽样信号，,令,则,根据卷积定理有,P203,例,8.15,令,则,解,方法一,利用,卷积定理,求解,P204,例,8.16,(,跳过,?),解,令,则,方法二,利用,频移性质,求解,又,根据,频移性质,有,在数学软件,Matlab,的符号演算工具箱中，提供了专用函数,来进行,Fourier,变换与,Fourier,逆变换。,(1),F,=,fourier,(,f,),对函数,f,(,x,),进行,Fourier,变换，,三,、,利用,Matlab,实现,Fourier,变换,*,对并返回结果,F,(,w,),。,(2),f,=,ifourier,(,F,),对函数,F,(,w,),进行,Fourier,逆变换，,对并返回结果,f,(,x,),。,补,(,跳过,?),求函数 的,Fourier,变换。,例,解,Matlab,程序,clear;,syms,a real;,syms,x;,f=,cos(a,*,x);,F=,fourier,(,f,),；,其中，,Dirac,为 函数，,pi,代表,F,=,pi,*,Dirac,(w,-,a),+,pi,*,Dirac,(w,+,a),输出,即,解,Matlab,程序,求函数 的,Fourier,变换。,例,clear;,syms,a real;,syms,x;,F=,fourier,(,f,),；,f=a,*,sin(a,*,x)/(pi,*,a,*,x);,输出,F=1/pi,*,(1/2,*,pi,*,(,Heaviside(,-,w,+,a),-,Heaviside(w,-,a,),-,1/2,*,pi,*,(,Heaviside(,-,w,-,a),-,Heaviside(w,+,a,),其中，,pi,代表,Heaviside,为单位阶跃函数，,求函数 的,Fourier,变换。,例,其中，,pi,代表,输出,F=1/pi,*,(1/2,*,pi,*,(,Heaviside(,-,w,+,a),-,Heaviside(w,-,a,),-,1/2,*,pi,*,(,Heaviside(,-,w,-,a),-,Heaviside(w,+,a,),Heaviside,为单位阶跃函数，,即,解,解,Matlab,程序,例,已知函数 频谱为 求,clear;,syms,a real;,syms,w;,f=,ifourier,(,F,),；,F=1/(a+j,*,w);,输出,f=exp(,-,a,*,x),*,Heaviside,(x),其中，,exp,为指数函数。,Heaviside,为单位阶跃函数，,即,休息一下,