能控性和能观测性分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 能控性和能观性分析,3.1,系统的能控性,3.1.1 能控性,定义,系统模型,对系统的一个状态,x,0，如果存在一个有限时刻,T,和时间段0,T,上定义的控制信号,u,，使得以,x,0为初始状态的系统，在这样一个控制信号的作用下，有,x,(,T,)=0，则称状态,x,0是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完全能控的,也简称为能控的。有时也称矩阵对 是能控的。,3.1.2 能控性判据,按定义，要求寻找到一个具体的控制律。,由 可得,矩阵指数函数 可以表示成有限项的和,记,则转化成线性方程组的求解问题,即,定理,3.1.1,系统完全能控的充分必要条件是,（即上述线性方程有唯一解，亦即在0，T上存在着控制信号u）,式中 为能控性检验矩阵。,检验 是否满秩的方法：,计算 的行列式,例检验由以下状态方程描述的系统的能控性：,解 能控性检验矩阵,不是满秩的，故系统不能控。,例,3.1.2,倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是,能控性检验矩阵,故系统是能控的。,例,3.1.4,考虑能控标准型,因为,能控性检验矩阵 总是非奇异的。,故系统是能控的。,定理,3.1.2,系统完全能控的充分必要条件是存在常数,T, 0，使得n 维矩阵,是非奇异的。,构造控制律,故由能控性定义得到系统的能控性。,定理的说明,1。若系统能控，则对所有时间T， 都是非奇异的,2。若 非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律,3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态,称为能控格拉姆矩阵,3.1.3 能控性的性质,能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。,定理,3.1.3,等价的状态空间模型具有相同的能控性。,由,T,是非奇异矩阵可得结论。,定理,3.1.4,任意单输入能控系统的任意状态空间模型都能等价变换成能控标准型,证明 以3阶系统为例证明。,矩阵,A,的特征多项式是,记,由系统能控性推出矩阵T是可逆的，故,可见能控矩阵对 等价于 ；而能控标准型 也等价于 ；证明任意能控矩阵对等价于能控标准型！,记,是能控的，故它可等价变换到 ，相应的变换矩阵是 ，即,利用前面的变换关系，可得,定义 ，则,* 将能控对 等价变换到能控标准型 的步骤总结如下：,第1步 计算矩阵A的特征多项式：,第,2,步 记,定义 ，则,例,3.1.7,考虑由以下状态空间模型描述的连续系统,（能控）,检验其离散化状态空间模型的能控性。,当 ，其第2行为零，,不能控,。,输出能控性,控制输入影响输出的能力输出能控性。,若对任意的初始输出,y,0，存在有限时刻,T,和在时间段0,T,上定义的控制信号,u,，使得在该控制作用下，系统的输出从初始输出,y,0转移到任意给定的最终输出,y,(,T,)，则系统称为是输出完全能控的，简称输出能控。,检验条件：矩阵,的秩等于该矩阵的行数。,例,3.1.8,判断以下系统的状态和输出能控性,系统的状态能控性矩阵,由于 ，故系统不是状态完全能控的。,输出能控性矩阵,显然它是行满秩的，故输出能控。,结论：,系统输出能控，但不是状态能控的。,3.2,系统的能观性,所考虑的系统,状态变量未必都可以从外部观测到！,1。检测手段的限制；,2。一些状态变量不是物理量。,问题：如何（可否）通过输入输出信息来了解系统内部的状态？,已知系统的输出方程 ，,是否可以通过输入输出数据确定状态呢？,按状态方程，能观性关键为确定系统的初始状态！,左边是已知信号，右边是包含待估计的,定义3.2.1 若以非零初始状态 x,0,产生的输出响应(零输入响应)恒为零，即对所有的时间,t,，,则称状态 x,0,是不能观的。若系统中没有不能观的状态，则系统称为是状态完全能观的（简称能观），也称矩阵对 是能观的。,不能观状态的物理意义！,例 系统的状态 是不能观的。,系统的输出响应,引理3.2.1 若 x,0,是系统的不能观状态，则,证明 根据条件 ，对时间,t,连续微分，可得,取,t,0即得到结论。,定理3.2.1 系统能观的充分必要条件是,能观性检验矩阵。,例 检验系统的能观性：,因此系统是不能观的。,例 考虑倒立摆系统，假定只有小车的位移可以测量，,由,可得系统是能观的。因此，可以通过小车的位移估计小车的速度、摆杆的偏移角和角速度。,定义能观格拉姆矩阵：,结论：系统能观的充分必要条件是矩阵,非奇异,定理3.2.2 若对某个常数,T,， 矩阵非奇异，则系统的初始状态 可用时间段0,T,上的输出信号确定：,由于 ，故,可以用任意短时间内的输出信号来确定状态。,3.3 能控能观性的对偶原理,由于,定理3.3.1 能控的充分必要条件是 能观,能观标准型,（能控标准型的转置）,是能观的,对于互为对偶的系统,系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。,优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。,例 能观与能控标准型互为对偶系统,(特征多项式同),3.4 基于传递函数的能控能观性条件,描述系统内部特性的能控、能观性和传递函数的关系,例,同一个系统,的不同状态空间模型,（对偶而非等价变换）,带来显著的能控、能观性的差异！,系统的传递函数,有一个公因子,零极相消导致能控、能观性的缺失。,（1）在 中的零极相消,考虑,不存在零极相消的充分必要条件是,这也是系统能控能观的充分必要条件（所有极点不为零）,（2）在 中的零极相消,考虑,没有零极相消的充分必要条件是 ，能控！,（3）在 中无零极相消,考虑,类似可得 是能观的充分必要条件。,例 判别系统的能控性,显然系统不能控！,