误差传播定律第五节算术平均值及中误差

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二节 误差传播定律,一、测量中观测量与未知量的关系,分直接观测和间接观测,例：高差测量的读数,a,、,b,，角度测量某一方向读数,这些观测量就是未知量，是独立观测值，称直接观测。,间接观测,-,未知量是由直接观测量推算出来的，即通过函数关系计算得出,例,h=a-b S=a.b,观测斜距，竖角求水平距离,D=S,cos,二、误差传播定律概念,要获得间接未知量必须直接观测某些独立量则直接观测量所,含有的误差影响着未知量的精度，那么就需要依据直接观测,值的中误差求得间接未知量的中误差，阐述这种关系的定律,叫误差传播定律,。,讨论一般函数，设有函数,其中 为独立观测值。,中误差分别为：,设 分别有真误差,相应函数 随之产生真误差,根据变量的误差与函数的误差之间的关系近似用全微分表达求函数的全微分,舍取二次以上各项得：,两式相减得,;,此式为函数,Z,的真误差与独立观测值的真误差之间关系式。,是函数对各个变量所取得偏导数。,当函数与观测值确定后是一个常数,用,K,表示所以函数可写为：,将两端各自平方求和除,n,得：,根据中误差定义有：,三、非线性函数,例题,：丈量得倾斜距离,s=50.00m,，其中误差 ，并测得倾斜角,，,其中误差 ，求相应水平距离,D,及其中误差。,解：首先列出函数式,D=Scos,水平距离,D=50cos15,=48.296m,这是个非线性函数，所以要用公式（,6-9,）求函数的中误差。先求出个偏导数如下：,按公式（,6-9,）得,：,故得：,步骤：,（,1,）写出函数式。,（,2,）写出真误差关系式，只要对函数求微分。,（,3,）换成中误差关系式，就是将偏导数值平房把真误差换成中误差平方,三、和差函数,例题,；测量一正方形四条边长均为,10.5m,其测量中误差为,m,d,=,0.05m,求该正方形的周长,L,及其中误差,m,l,?,函数式：,D=d1+d1+d1+d1,真误差式：,中误差式：,四、倍数函数,如教材例题,第三节算术平均值,一、算术平均值,(,等精度观测）,根据真误差定义，对某量观测了,n,次,两边除,n,由偶然误差第四特性知：,由偶然误差第四特性知：,所以,所以,在有限次观测时，所求得观测值,是接近真值的值，因此算术平均值是,观测量的最可靠值。（最或然值）,二、算术平均值的中误差,在同精度观测条件下，得观测值,L,1,、,L,2,L,n,中误差均相同为,m,算术平均值如下。,根据误差传播定律中误差式为：,观测次数,n,算术平均值的中误差,M,2,0.71m,4,0.50m,6,0.41m,10,0.32m,20,0.22m,50,0.14m,算术平均值的中误差是观测值中误差的 倍。算术平均值的精度高于观测值的精度随着观测次数的增加可以提高成果精度。单靠提高观测次数提高精度达到某种程度时精度提高得很慢，是不经济的，如下表分析。,用真误差计算观测值中的误差，在实际中某个未知量的真值是不知道的，所以用最或然误差计算观测值中误差。,算术平均值是根据观测数据所求得最接近真值的值称,最或然值,最或然误差,-,最或然值,X,与观测值之差，也称似真误差，观测值改正数,对某量观测,n,次则有 已知：,将两式相加得,：,算术平均值的真误差,则上式可写为：,将两边平方,：,两边求和：,证明：,将 按级数展开取第一项得,：,代入得：,由以上可得,：,（白塞尔公式）,