等值面与梯度和通量与散度

,第1章 矢量分析,2,电磁场与电磁波,湖南人文斜技学院,电子信息科学与技术专业 阮许平主讲,02,等值面与梯度和通量与散度,1,1.3 标量场的梯度,如果物理量是标量，称该场为,标量场,。,例如,：温度场、电位场、高度场等。,如果物理量是矢量，称该场为,矢量场,。,例如,：流速场,、,重力场,、电场、磁场等。,如果场与时间无关，称为,静态场,，反之为,时变场,。,时变标量场和矢量场可分别表示为：,确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个,场,。,从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：,标量场和矢量场,静态标量场和矢量场可分别表示为：,2,标量场的等值面,等值面,:,标量场取得同一数值的点在空,间形成的曲面。,等值面方程,：,常数,C,取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；,标量场的等值面充满场所在的整个空间；,标量场的等值面互不相交。,等值面的特点,：,意义,:,形象直观地描述了物理量在空间,的分布状态。,标量场的等值线(面),3,2.方向导数,意义,：方向导数表示场沿某方向的空间变化率,。,概念,：,u,(,M,),沿 方向增加；,u,(,M,),沿 方向减小；,u,(,M,),沿 方向无变化。,M,0,M,方向导数的概念,特点,：方向导数既与点,M,0,有关，也与,方向有关,。,问题,：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？,的方向余弦。,式中,：,4,梯度的表达式,：,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,3.标量场的梯度,（,或,）,意义,：,描述标量,场在某点的最大变化率及其变化最大的方向,概念,：，,其中,取得最大值的方向,5,标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。,标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。,梯度的性质,：,梯度运算的基本公式,：,标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）,6,解,(1)由梯度计算公式，可求得,P,点的梯度为,例1.2,.1,设一标量函数,(,x,y,z,)=,x,2,y,2,z,描述了空间标量场。试求：,(1)该函数,在点,P,(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。,(2)求该函数,沿单位矢量,方向的方向导数，并以点,P,(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。,7,表征其方向的单位矢量,(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿,e,l,方向的方向导数为,对于给定的,P,点，上述方向导数在该点取值为,8,而该点的梯度值为,显然，梯度 描述了,P,点处标量函数,的最大变化率，即最大的方向导数，故,恒成立。,9,1.4 矢量场的通量与散度,1.矢量线,意义,：,形象直观地描述了矢量场的空间分,布状态。,矢量线方程,：,概念,：,矢量线是这样的曲线，其上每一,点的切线方向代表了该点矢量场,的方向。,矢量线,O,M,10,2.矢量场的通量,问题,：,如何定量描述矢量场的大小？,引入通量的概念。,通量的概念,其中：,面积元矢量；,面积元的法向单位矢量；,穿过面积元 的通量。,如果曲面,S,是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是,面积元矢量,11,通过闭合曲面有净的矢量线穿出,有净的矢量线进入,进入与穿出闭合曲面的矢量线相等,矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果,闭合曲面的通量从,宏观上,建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。,通量的物理意义,12,3.矢量场的散度,为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：,称为矢量场的,散度,。,散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。,13,圆柱坐标系,球坐标系,直角坐标系,散度的表达式,：,散度的有关公式,：,14,直角坐标系下散度表达式的推导,由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为,不失一般性，令包围,P,点的微体积,V,为一直平行六面体，如图所示。则,o,x,y,在直角坐标系中计算,z,z,D,x,D,y,D,P,15,根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为,同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点,P,穿出该六面体的净通量为,16,4.散度定理,体积的剖分,V,S,1,S,2,e,n2,e,n1,S,从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即,散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。,17,