随机变量及其分布论述

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离,散,散,型,型,随,随,机,机,变,变,量,量,的,的,概,概,率,率,分,分,布,布,随,机,机,变,变,量,量,的,的,分,分,布,布,函,函,数,数,连,续,续,型,型,随,随,机,机,变,变,量,量,的,的,概,概,率,率,密,密,度,度,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,随,机,机,变,变,量,量,返,回,回,主,主,目,目,录,录,1,随,机,机,变,变,量,量,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,一,随,随,机,机,变,变,量,量,的,的,概,概,念,念,例,1,袋,中,中,有,有,3,只,黑,黑,球,球,，,，,2,只,白,白,球,球,，,，,从,从,中,中,任,任,意,意,取,取,出,出,3,只,球,球,，,，,观,察,察,取,取,出,出,的,的,3,只,球,球,中,中,的,的,黑,黑,球,球,的,的,个,个,数,数,我,们,们,将,将,3,只,黑,黑,球,球,分,分,别,别,记,记,作,作,1,，,2,，,3,号,，,，,2,只,白,白,球,球,分,分,别,别,记,作,作,4,，,5,号,，,，,则,则,该,该,试,试,验,验,的,的,样,样,本,本,空,空,间,间,为,为,1,随,机,机,变,变,量,量,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,1,（,续,续,）,）,我,们,们,记,记,取,取,出,出,的,的,黑,黑,球,球,数,数,为,为,X,，,则,则,X,的,可,可,能,能,取,取,值,值,为,为,1,，,2,，,3,因,此,此,，,，,X,是,一,一,个,个,变,变,量,量,但,是,是,，,，,X,取,什,什,么,么,值,值,依,依,赖,赖,于,于,试,试,验,验,结,结,果,果,，,，,即,即,X,的,取,取,值,值,带,有,有,随,随,机,机,性,性,，,，,所,以,以,，,，,我,我,们,们,称,称,X,为,随,随,机,机,变,变,量,量,X,的,取,取,值,值,情,情,况,况,可,可,由,由,下,下,表,表,给,给,出,出,：,：,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,1,随,机,机,变,变,量,量,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,1,（,续,续,）,）,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,1,随,机,机,变,变,量,量,返,回,回,主,主,目,目,录,录,由,上,上,表,表,可,可,以,以,看,看,出,出,，,，,该,该,随,随,机,机,试,试,验,验,的,的,每,每,一,一,个,个,结,结,果,果,都,都,对,对,应,应,着,变,变,量,量,X,的,一,一,个,个,确,确,定,定,的,的,取,取,值,值,，,，,因,因,此,此,变,变,量,量,X,是,样,样,本,本,空,空,间,S,上,的,的,函,函,数,数,：,：,我,们,们,定,定,义,义,了,了,随,随,机,机,变,变,量,量,后,后,，,，,就,就,可,可,以,以,用,用,随,随,机,机,变,变,量,量,的,的,取,取,值,值,情,情,况,况,来,来,刻,刻,划,划,随,随,机,机,事,事,件,件,例,例,如,如,表,示,示,至,至,少,少,取,取,出,出,2,个,黑,黑,球,球,这,这,一,一,事,事,件,件,，,，,等,等,等,等,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,1,随,机,机,变,变,量,量,例,1,（,续,续,）,）,表,示,示,取,取,出,出,2,个,黑,黑,球,球,这,这,一,一,事,事,件,件,；,；,返,回,回,主,主,目,目,录,录,随,机,机,变,变,量,量,的,的,定,定,义,义,设,E,是,一,一,个,个,随,随,机,机,试,试,验,验,，,，,S,是,其,其,样,样,本,本,空,空,间,间,我,我,们,们,称,称,样,样,本,本,空,间,间,上,上,的,的,函,函,数,数,为,一,一,个,个,随,随,机,机,变,变,量,量,，,，,如,如,果,果,对,对,于,于,任,任,意,意,的,的,实,实,数,数,x,，,集,集,合,合,都,是,是随,机,机,事,事,件,件,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,1,随,机,机,变,变,量,量,R,e,S,说,明,明,第,二,二,章,章,随,机,机,变,变,量,量,及,及,其,其,分,分,布,布,1,随,机,机,变,变,量,量,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,2,掷一颗,骰,骰子，,令,令：,X,：,出现的,点,点数,则,X,就是一,个,个随机,变,变量,它,它的取,值,值为1,，,，2，3，4,，,，5，6,表示掷,出,出的点,数,数不超,过,过,4,这一随,机,机事件,；,；,表示掷,出,出的点,数,数为偶,数,数这一,随,随机事,件,件,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,1,随机变,量,量,返回主,目,目录,例,3,一批产,品,品有,50,件，其,中,中有,8,件次品,，,，,42,件正,品现,从,从中取,出,出,6,件，令,：,：,X,：,取出6 件,产,产品中,的,的次品,数,数,则,X,就是一,个,个随机,变,变量,它,它的取,值,值为0，1,，,，2，,，6,表示取,出,出的产,品,品全是,正,正品这,一,一随机,事,事件；,表示取,出,出的产,品,品至少,有,有一件,这,这一随,机,机事件,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,1,随机变,量,量,返回主,目,目录,例,4,上午,8:00,9:00,在某路,口,口观察,，,，令：,Y,：,该时间,间,间隔内,通,通过的,汽,汽车数,则,Y,就是一,个,个随机,变,变量,它,它的取,值,值为0，1,，,，,表示通,过,过的汽,车,车数小,于,于,100,辆这一,随,随机事,件,件；,表示通,过,过的汽,车,车数大,于,于,50,辆但不,超,超过,100,辆这一,随,随机事,件,件,注意,Y,的取值,是,是,可列无,穷,穷,个,！,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,1,随机变,量,量,返回主,目,目录,例,5,观察某,生,生物的,寿,寿命（,单,单位：,小,小时）,，,，令：,Z,：,该生物,的,的寿命,则,Y,就是一,个,个随机,变,变量,它,它的取,值,值为所,有,有非负,实,实,数,表示该,生,生物的,寿,寿命大,于,于,3000,小时这,一,一随机,事,事件,表示该,生,生物的,寿,寿命不,超,超过1500,小,小时这,一,一随机,事,事,件,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,1,随机变,量,量,注意,Z,的取值是,不可列无穷,个,！,返回主,目,目录,例,6,掷一枚,硬,硬币，,令,令：,则,X,是一个,随,随机变,量,量,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,1,随机变,量,量,说,明,明,在同一,个,个样本,空,空间上,可,可以定,义,义不同,的,的随机,变,变量,返回主,目,目录,例,7,掷一枚,骰,骰子，,在,在例,2,中，我,们,们定义,了,了随机,变,变量,X,表示,出现的,点,点数,我,我们还,可,可以定,义,义其它,的,的随机,变,变量，,例,例,如我们,可,可以定,义,义：,等等,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,1,随机变,量,量,返回主,目,目录,一,.,离散型,随,随机变,量,量的概,念,念与性,质,质,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,离散型,随,随机变,量,量的定,义,义,如果随,机,机变量,X,的取值,是,是有限,个,个或可,列,列无,穷个，,则,则称,X,为离散,型,型随机,变,变量,2,离散型,随,随机变,量,量,返回主,目,目录,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,离散型,随,随机变,量,量的分,布,布律,设离散,型,型随机,变,变量,X,的所有,可,可能取,值,值为,并设,则称上,式,式或,为离散,型,型随机,变,变量,X,的分布,律,律,返回主,目,目录,说,明,明,离散型,随,随机变,量,量可完,全,全由其,分,分布律,来,来刻划,即离散,型,型随机,变,变量可,完,完全由,其,其的可,能,能取值,以,以及取,这,这,些值的,概,概率唯,一,一确定,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,离散型,随,随机变,量,量分布,律,律的性,质,质,:,返回主,目,目录,例,1,从,1,10,这,10,个数字,中,中随机,取,取出,5,个数字,，,，令：,X,：取出,的,的,5,个数字,中,中的最,大,大值,试求,X,的分布,律,律,解：,X,的取值,为,为5，6，7,，,，8，9，10,并且,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,具体写,出,出，即,可,可得,X,的分布,律,律：,返回主,目,目录,例,2,将,1,枚硬币,掷,掷,3,次，令,：,：,X,：出现,的,的正面,次,次数与,反,反面次,数,数之差,试求,X,的分布,律,律,解：,X,的取值,为,为,-3,，,-1,，,1,，,3, 并,且,且,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,返回主,目,目录,例,3,设离散,型,型随机,变,变量,X,的分布,律,律为,则,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,返回主,目,目录,例,3,（续）,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,返回主,目,目录,例,4,设随机,变,变量,X,的分布,律,律为,解：由,随,随机变,量,量的性,质,质，得,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,该级数,为,为等比,级,级数，,故,故有,所以,返回主,目,目录,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,设一汽,车,车在开,往,往目的,地,地的道,路,路上需,经,经过四,盏,盏信号,灯,灯，每,盏,盏信号,灯,灯以,1/2,的概率,允,允许或,禁,禁止汽,车,车通过,.,以,X,表示汽,车,车首次,停,停下时,，,，它已,通,通过的,信,信号灯,的,的盏数,，,，求,X,的分布,律,律,.,(,信号灯,的,的工作,是,是相互,独,独立的,),.,P,X=,3=(1-,p,),3,p,可爱的,家,家园,例,5,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,解：,以,p,表示每,盏,盏信号,灯,灯禁止,汽,汽车通,过,过的概,率,率，则,X,的分布,律,律为：,X,p,k,01234,p,(,1-,p,),p,(1-,p,),2,p,(1-,p,),3,p,(1-,p,),4,或写成,P,X,=,k, =(1-,p,),k,p,，,k,= 0,1,2,3,P,X,= 4 =,(1-,p,),4,例,5(,续,),返回主,目,目录,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,以,p,= 1/2,代入得,：,：,X,p,k,01234,0.5,0.250.1250.06250.0625,例,5(,续,),返回主,目,目录,二、一,些,些常用,的,的离散,型,型随机,变,变量,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,1)Bernoulli,分布,如果随,机,机变量,X,的分布,律,律为,或,则称随,机,机变量,X,服从参,数,数为,p,的,Bernoulli,分布,返回主,目,目录,Bernoulli,分布也,称,称作,0-1,分布或,二,二点分,布,布,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,Bernoulli,分布的,概,概率背,景,景,进行一,次,次,Bernoulli,试验，,设,设：,令：,X,：在这,次,次,Bernoulli,试验中,事,事件,A,发生的,次,次数,或者说,：,：令,返回主,目,目录,例,6,15,件产品,中,中有,4,件次品,，,，,11,件正品,从中,取,取出,1,件,令,X,：取出,的,的一件,产,产品中,的,的次品,数,数则,X,的取值,为,0,或者,1,，并且,第二章,随机变,量,量及其,分,分布,2,离散型,随,随机变,量,量,返回主,目,目录,2,）二 项,分,分 布,如果随机,变,变量,X,的分布律,为,为,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,说,明,明,显然，当,n=1,时,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,二项,分布的概,率,率背景,进行,n,重,Bernoulli,试验，设,在,在每次试,验,验中,令,X,：在这次,Bernoulli,试验中事,件,件,A,发生的,次数,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,分布律的,验,验证,由于,以及,n,为自然数,，,，可知,又由二,项,项式定理,，,，可知,所以,是分布律,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,7,一张考卷,上,上有,5,道选择题,，,，每道题,列,列出,4,个可能答,案,案，,其中只有,一,一个答案,是,是正确的,某学生,靠,靠猜测至,少,少能,答对,4,道题的概,率,率是多少,？,？,解：每答,一,一道题相,当,当于做一,次,次,Bernoulli,试验，,则答,5,道题相当,于,于做,5,重,Bernoulli,试验,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,7,（续）,所以,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,二项分布,的,的分布形,态,态,由此可知,，,，二项分,布,布的分布,先是随着,k,的增大而,增,增大，达,到,到其最大,值,值后再随,着,着,k,的增大而,减,减少这,个,个使得,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,可以证明,：,：,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,8,对同一目,标,标进行,300,次独立射,击,击，设每,次,次射击时,的,的命,中率均为,0.44,，试求,300,次射击最,可,可能命中,几,几次？其,相应的概,率,率是多少,？,？,解：对目,标,标进行,300,次射击相,当,当于做,300,重,Bernoulli,试验令,：,：,则由题意,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,8,（续）,因此，最,可,可能射击,的,的命中次,数,数为,其相应的,概,概率为,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,3,）,Poisson,分布,如果随机,变,变量,X,的分布律,为,为,则称随机,变,变量,X,服从参数为,的,Poisson,分布,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,分布律的,验,验证,由于,可知对任,意,意的自然,数,数,k,，有,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,又由幂级,数,数的展开,式,式，可知,所以,是分布律,返回主目,录,录,Poisson,分布的应,用,用,Poisson,分布是概,率,率论中重,要,要的分布,之,之一,自然界及,工,工程技术,中,中的许多,随,随机指标,都,都服从,Poisson,分布,例如，可,以,以证明，,电,电话总机,在,在某一时,间,间间隔内,收,收到的呼,叫,叫次数，,放,放射物在,某,某一时间,间,间隔内发,射,射的粒子,数,数，容器,在,在某一时,间,间间隔内,产,产生的细,菌,菌数，某,一,一时间间,隔,隔内来到,某,某服务台,要,要求服务,的,的人数，,等,等等，在,一,一定条件,下,下，都是,服,服从,Poisson,分布的,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,9,设随机变,量,量,X,服从参数,为,为,的,Poisson,分布，且,已,已知,解：,随机变量,X,的分布律,为,为,由已知,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,9,（续）,得,由此得方,程,程,得解,所以，,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,10,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,10,（续）,解：设,B=,此人在一,年,年中得,3,次感冒,则由,Bayes,公式，得,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,Poisson,定理,证明：,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,Poisson,定理的证,明,明,(,续,),对于固定,的,的,k,，有,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,Poisson,定理的证,明,明,(,续,),所以，,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,Poisson,定理的应,用,用,由,Poisson,定理，可,知,知,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,11,设每次射,击,击命中目,标,标的概率,为,为,0.012,，现射击,600,次，,求至少命,中,中,3,次目标的,概,概率（用,Poisson,分布近似,计,计,算）,解：设,B=600,次射击至,少,少命中,3,次目标,进行,600,次射击可,看,看作是一,600,重,Bernoulli,试验,.,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,例,11,（续）,所以，,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,为了保证,设,设备正常,工,工作，需,配,配备适量,的,的维修工,人,人，现,有同类型,设,设备,300,台，各台,工,工作是相,互,互独立的,，,，发生,故障的概,率,率都是,0.01.,在通常情,况,况下，一,台,台设备的,故,故障,可有一人,来,来处理,.,问至少需,配,配备多少,工,工人，才,能,能保,证当设备,发,发生故障,但,但不能及,时,时维修的,概,概率小于,0.01,？,解：,设需配备,N,人，记同,一,一时刻发,生,生故障的,设,设备台数,为,为,X,，则,X,b,(,300,，,0.01,），需要确,定,定最小的,N,的取值，,使,使得：,例,12,返回主目,录,录,查表可知,，,，满足上,式,式的最小,的,的,N,是,8,因此至少,需,需配备,8,个工人。,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,设有,80,台同类型,的,的设备，,各,各台工作,是,是相互独,立,立的，发,生,生故障的,概,概率都是,0.01,，且一台,设,设备的故,障,障能由一,个,个人处理,.,考虑两种,配,配备维修,工,工人的方,法,法：,其一，由,4,人维护，,每,每人负责,20,台,其二，由,3,人,共同维护,80,台,.,试比较这,两,两种方法在设备发,生,生故障时,不,不能及时,维,维修的概,率,率的大小,.,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,例,13,返回主目,录,录,解：,按第一种,方,方法,.,以,X,记 “第,1,人负责的,20,台,中同一时,刻,刻发生故,障,障的台数”，则,X,b,(,20,，,0.01,）,.,以,A,i,表示事件,“,“第,i,人负责的,台,台中发生,故,故障不能,及,及,时维修”，,则,则,80,台中发生,故,故障而不,能,能及时维,修,修的概,率为：,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,例,13(,续,),返回主目,录,录,按第二种,方,方法,.,以,Y,记,80,台中同一,时,时刻发生,故,故障,的台数，则,Y,b,(,80,，,0.01,）,.,故,80,台中发生,故,故障而,不能及时,维,维修的概,率,率为：,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,例,13(,续,),第二种方,法,法中发生,故,故障而不,能,能及时维,修,修的概率,小,小，且维,修工人减,少,少一人。运用概率,论,论讨论国,民,民经济问,题,题，可以,有效地使,用,用人力、,物,物力资源,。,。,返回主目,录,录,4,）几 何,分,分 布,若随机变,量,量,X,的分布律,为,为,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,分 布,律,律 的,验,验 证,由条件,由条件可,知,知,综上所述,，,，可知,是一分布,律,律,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,几何分布,的,的概率背,景,景,在,Bernoulli,试验中，,试验进行,到,到,A,首次出现,为,为止,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,即,返回主目,录,录,例,14,对同一目,标,标进行射,击,击，设每,次,次射击时,的,的命中率,为,0.64,，射击进,行,行到击中,目,目标时为,止,止，令：,X,：所需射,击,击次数,试求随机,变,变量,X,的分布律,，,，并求至,少,少进行,2,次射击,才能击中,目,目标的概,率,率,解：,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,例,14,（续）,由独立性,，,，得,X,的分布律,为,为：,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,5,）超 几,何,何 分,布,布,如果随机,变,变量,X,的分布律,为,为,第二章,随机变量,及,及其分布,2,离散型随,机,机变量,返回主目,录,录,超几何分,布,布的概率,背,背景,一批产品,有,有,N,件，其中,有,有,M,件次品，,其,其余,N-M,件,为正品,现,现从中取,出,出,n,件,令：,X,：取出,n,件产品中,的,的次品数,则,则,X,的分,布律为,2,离散型随,机,机变量,第二章,随机变量,及,及其分布,返回主目,录,录,1.,概 念,定义,设,X,是一个随,机,机变量，,x,是任意实,数,数，函数,称为,X,的分布函数,对于任意的,实,实数,x,1,x,2,(,x,1,x,2,),，有,：,x,1,x,2,x,X,o,0,x,x,X,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,例,1,设随机变量,X,的分布律为,：,： 求,X,的分布函数,.,X,p,k,-123,解：,当,x,-1,时，满足,0,x,X,-1,x,2.,例 子,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,当,满足,X,x,的,X,取值为,X,=-1,x,X,-1,x,当,满足,X,x,的,X,取值为,X,=-1,或,2,X,p,k,-123,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,同理当,-10123,x,1,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,-10123,x,1,3,随机变量的,分,分布函数,-1,0,123,x,1,分布函数,F,(,x,),在,x,=,x,k,(,k,=1, 2,),处有跳跃，,其,其,跳,跳跃值为,p,k,=,P,X,=,x,k,.,X,p,k,-123,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,例,2,一个靶子是,半,半径为,2,米的圆盘，,设,设击中靶上,任,任一同心圆,盘,盘上的点的,概,概率与该圆,盘,盘的面积成正比，并,设,设射击都能,中,中靶，以,X,表示弹着点,与,与圆心的距,离,离,.,试求随机变,量,量,X,的分布函数,.,解：,（,1,） 若,x, 0,则,是,是不可能事,件,件，于是,（,2,）,X,3,随机变量的,分,分布函数,（,3,） 若,则,是,是必然事件,，,，于是,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,0,123,1,F,(,x,),x,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,3,.,分 布 函,数,数 的,性,性 质,分别观察离,散,散型、连续,型,型分布函数,的,的图象，,可,可以,看,看出，分布,函,函数,F,(,x,),具有以下基,本,本性质：,1,0,F,(,x,),是一个不减,的,的函数,0,123,1,F,(,x,),x,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,2,0,3,0,-10123,x,1,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,用分布函数,计,计算某些事,件,件的概率,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,用分布函数,计,计算某些事,件,件的概率,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,用分布函数,计,计算某些事,件,件的概率,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,例,3,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,例,3,（续）,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,例,4,设随机变量,X,的分布函数,为,为,解：,由分布函数,的,的性质，我,们,们有,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,例,4,（续）,解方程组,得解,3,随机变量的,分,分布函数,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,概率密度及,其,其性质,指数分布,均匀分布,正态分布与,标,标准正态分,布,布,返回主目录,一,.,连续型随机,变,变量的概念,与,与性质,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,定义,如果对于随,机,机变量,X,的分布函数,F,(,x,),，,存在非负函,数,数,f,(,x,),，使得对于,任,任意,实数,x,，有,则称,X,为,连续型随机,变,变量,，其中函数,f,(,x,),称,为,X,的,概率密度函,数,数,简称,概率密度,.,连续型随机,变,变量,X,由其密度函,数,数唯一确定,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,由定义知道,，,，概率密度,f,(,x,),具有以下性,质,质：,f,(,x,),0,x,1,返回主目录,f,(,x,),x,0,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,注,意,意,连续型随机,变,变量密度函,数,数的性质与,离,离散型随机,变,变量分布律,的,的性质非常,相,相似，但是,，,，,密度函数不,是,是概率！,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,连续型随机,变,变量的一个,重,重要特点,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,证明：,所以有,返回主目录,说,明,明,由上述性,质,质可知，对,于,于连续型随,机,机变量，我,们关心它在,某,某一点取值,的,的问题没有,太,太大的意义,；,；,我们所关心,的,的是它在某,一,一区间上取,值,值的问题,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,1,设,X,是连续型随,机,机变量，其,密,密度函数为,解：,由密度,函,函数的性质,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,1,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,1,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,2,某电子元件,的,的寿命（单,位,位：小时）,是,是以,为密度函数,的,的连续型随,机,机变量求,5,个同类型的,元,元件在使用,的,的前,150,小时内恰有,2,个需要更换,的,的概率,.,解：,设：,A=,某元件在使,用,用的前,150,小时内需要,更,更换,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,2,（续）,检验,5,个元件的使,用,用寿命可以,看,看作是在做,一,一个,5,重,Bernoulli,试验,B= 5,个元件中恰,有,有,2,个的使用寿,命,命不超过,150,小时,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,例,3,返回主目录,例,4,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,4,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,4,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,4,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,二,.,一些常用的,连,连续型随机,变,变量,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,1,均 匀,分,分 布,若随机变量,X,的密度函数,为,为,记作,X Ua ,b,返回主目录,密度函数的,验,验证,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,说,明,明,类似地，,我,我们可以定,义,义,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,均匀分布的,概,概率背景,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,X,X,a,b,x,l,l,0,返回主目录,均匀分布的,分,分布函数,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,a,b,x,F,(x),0,1,返回主目录,例,5,设公共汽车,站,站从上午,7,时起每隔,15,分钟来一班,车,车,如果某乘客,到,到达此站的,时,时间是,7:00,到,7:30,之间的均匀,随,随机变量,试,试求该乘客,候,候车时间不,超,超过,5,分钟的概率,解：,设该乘客于,7,时,X,分到达此站,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,5,（续）,令：,B=,候车时间不,超,超过,5,分钟,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,6,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,6,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,2,指 数,分,分 布,如果随机变,量,量,X,的密度函数,为,为,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,指数分布的,分,分布函数,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,7,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,7,（续）,令：,B=,等待时间为,1020,分钟,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,3,正 态,分,分 布,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,x,f,(x),0,标准正态分,布,布,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,(,续,),4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,(,续,),4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,(,续,),4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,(,续,),4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,密度函数的,验,验证,(,续,),4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,正态分布密,度,度函数的图,形,形性质,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,x,f,(x),0,正态分布密,度,度函数的图,形,形性质（续,）,）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,正态分布密,度,度函数的图,形,形性质（续,）,）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,正态分布密,度,度函数的图,形,形性质（续,）,）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,x,f,(x),0,返回主目录,正态分布的,重,重要性,正态分布是,概,概率论中最,重,重要的分布,，,，这可以由,以,以下情形加,以,以说明：,正态分布,是,是自然界及,工,工程技术中,最,最常见的分,布,布之一，大,量,量的随机现,象,象都是服从,或,或近似服从,正,正态分布的,可以证明,，,，如果一个,随,随机指标受,到,到诸多因素,的,的影响，但,其,其中任何一,个,个因素都不,起,起决定性作,用,用，则该随,机,机指标一定,服,服从或近似,服,服从正态分,布,布,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,正态分布,有,有许多良好,的,的性质，这,些,些性质是其,它,它许多分布,所,所不具备的,正态分布,可,可以作为许,多,多分布的近,似,似分布,返回主目录,标准正态分,布,布的计算,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,标准正态分,布,布的计算（,续,续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,x,0,x,-x,一般正态分,布,布的计算,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,一般正态分,布,布的计算（,续,续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,8,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,9,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,例,9,续,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,例,9,续,返回主目录,例,10,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,例,10,（续）,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,0,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,4. -,分布,.,返回主目录,-,函 数,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,返回主目录,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,说明：,4,连续型随机,变,变量的概率,密,密度,说,明,明,：,：,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,离,散,散,型,型,连,续,续,型,型,定,理,理,及,及,其,其,应,应,用,用,返,回,回,主,主,目,目,录,录,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,一,、,、,离,离,散,散,型,型,随,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,第,一,一,种,种,情,情,形,形,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,第,二,二,种,种,情,情,形,形,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,1,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,1,（,续,续,）,）,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,设,随,随,机,机,变,变,量,量,X,具,有,有,以,以,下,下,的,的,分,分,布,布,律,律,，,，,试,试,求,求,Y,=(,X,-1),2,的,分,分,布,布,律,律.,p,k,X,-1 0 1 2,0,.,2 0,.,3 0,.,1 0,.,4,解,:,Y,有,可,可,能,能,取,取,的,的,值,值,为,为,0,，,1,，,4,.,且,Y,=0,对,应,应,于,于,(,X,-1),2,=0,，,解,解,得,得,X,=1,，,所,以,以,P,Y,=0=,P,X,=1=0,.,1,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,2,返,回,回,主,主,目,目,录,录,同,理,理,P,Y,=1=,P,X,=0+,P,X=2=0,.,3+0,.,4=0,.,7,P,Y,=4=,P,X=-1=0,.,2,p,k,Y,0 1 4,0,.,1 0,.,7 0,.,2,所,以,以,，,，,Y,=(,X,-1),2,的,分,分,布,布,律,律,为,为,：,：,p,k,X,-1 0 1 2,0,.,2 0,.,3 0,.,1 0,.,4,Y,=(,X,-1),2,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,2,（,续,续,）,）,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,3,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,3,（,续,续,）,）,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,二,.,连,续,续,型,型,随,随,机,机,变,变,量,量,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,解,题,题,思,思,路,路,设,随,随,机,机,变,变,量,量,X,具,有,有,概,率,率,密,密,度,度,：,：,试,求,求,Y,=2,X,+8,的,概,概,率,率,密,密,度,度,.,解,：,：,(1),先,求,求,Y,=2,X,+8,的,分,分,布,布,函,函,数,数,F,Y,(,y,),：,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,4,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,4,（,续,续,）,）,返,回,回,主,主,目,目,录,录,整,理,理,得,得,Y,=2,X,+8,的,概,概,率,率,密,密,度,度,为,为,：,本,例,例,用,用,到,到,变,变,限,限,的,的,定,定,积,积,分,分,的,的,求,求,导,导,公,公,式,式,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,4,（,续,续,）,）,设,随,随,机,机,变,变,量,量,X,具,有,有,概,率,率,密,密,度,度,求,Y,=,X,2,的,概,概,率,率,密,密,度,度,.,解,：,：,(1),先,求,求,Y,=,X,2,的,分,分,布,布,函,函,数,数,F,Y,(,y,),：,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,5,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,5,（,续,续,）,）,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,如,如,设,X,N,(0,1),其,概,概,率,率,密,密,度,度,为,为,：,：,则,Y,=,X,2,的,概,概,率,率,密,密,度,度,为,为,：,：,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,6,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,6,（,续,续,）,）,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,定,理,理,设,随,随,机,机,变,变,量,量,X,具,有,有,概,概,率,率,密,密,度,度,则,Y,=,g,(,X,),是,一,个,个,连,连,续,续,型,型,随,随,机,机,变,变,量,量,Y,，,其,概,概,率,率,密,密,度,度,为,为,其,中,中,h,(,y,),是,g,(,x,),的,反,反,函,函,数,数,，,即,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,定,理,理,（,（,续,续,）,）,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,定,理,理,的,的,证,证,明,明,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,定,理,理,的,的,证,证,明,明,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,定,理,理,的,的,证,证,明,明,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,补充定理：,若,g(x),在不相叠的区间,上逐段严格单调，其,反函数分别为,均为连续函数，那么,Y=g(x),是,连,连,续,续,型,型,随,随,机,机,变,变,量,量,，,，,其,其,概,概,率,率,密,密,度,度,为,为,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,7,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,7,（,续,续,）,）,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,证,X,的,概,概,率,率,密,密,度,度,为,为,：,：,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,8,返,回,回,主,主,目,目,录,录,由,定,定,理,理,的,的,结,结,论,论,得,得,：,：,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,例,8(,续,),返,回,回,主,主,目,目,录,录,例,9,均,匀,匀,分,分,布,布,，,，,试,试,求,求,电,电,压,压,V,的,概,概,率,率,密,密,度,度,.,解,：,：,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,5,随,机,机,变,变,量,量,的,的,函,函,数,数,的,的,分,分,布,布,返,回,回,主,主,目,目,录,录,1,引,进,进,了,了,随,随,机,机,变,变,量,量,的,的,概,概,念,念,，,，,要,要,求,求,会,会,用,用,随,随,机,机,变,变,量,量,表,表,示,随,随,机,机,事,事,件,件,。,。,2,给出,了,了分,布,布函,数,数的,定,定义,及,及性,质,质，,要,要会,利,利用,分,分布,函数,示,示事,件,件的,概,概率,。,。,3,给出,了,了离,散,散型,随,随机,变,变量,及,及其,分,分布,率,率的,定,定义,、,、性,质，,要,要会,求,求离,散,散型,随,随机,变,变量,的,的分,布,布率,及,及分,布,布函,数，,掌,掌握,常,常用,的,的离,散,散型,随,随机,变,变量,分,分布,：,：两,点,点分,布、,二,二项,分,分布,、,、泊,松,松分,布,布。,4,给出,了,了连,续,续型,随,随机,变,变量,及,及概,率,率密,度,度的,定,定义,、,、性,质，,要,要掌,握,握概,率,率密,度,度与,分,分布,函,函数,之,之间,关,关系,及,及其,运算,，,，掌,握,握常,用,用的,连,连续,型,型随,机,机变,量,量分,布,布：,均,均匀,分布,、,、指,数,数分,布,布和,正,正态,分,分布,。,。,5,会求,随,随机,变,变量,的,的简,单,单函,数,数的,分,分布,。,。,第二,章,章,小,小,结,结,返回,主,主目,录,录,作业,：,：,