平面与平面垂直的判定定理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3.2 平面与平面垂直的判定定理,1.在立体几何中，“异面直线所成的角”是怎样定义的？,直线,a,、,b,是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线,a,/,a,，,b,/,b,，我们把相交直线,a,和,b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角.,2.在立体几何中,直线和平面所成的角是怎样定义的？,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.,范围：,(0,o,90,o,范围：,0,o,90,o,复习引入,空间两个平面有,平行,、,相交,两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.,在异面直线所成的角、直线与平面所成的角的学习过程中，我们,将三维空间的角转化为二维空间的角,，即平面角来刻画.接下来，我们同样来研究平面与平面的角度问题.,两个相交平面的相对位置是由这,两个平面所成的“角”,来确定的,在生产实践中，有许多问题也涉及到两个平面所成的角如：修筑水坝时，为了使水坝坚固耐久，必须使水坝面和水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，也要根据需要，使卫星的轨道平面和地球的赤道平面成一定的角度.,洪坝,水平面,(1)半平面的定义,1.二面角的概念,平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面,半平面,半平面,(2)二面角的定义,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.,这条直线叫做,二面角的棱,，每个半平面叫做,二面角的面,棱,面,面,平卧式：,直立式：,l,l,A,B,(3)二面角的画法和记法：,1.二面角的概念,面1棱面2,点1棱点2,二面角,l,二面角,AB,二面角,CAB D,A,B,C,D,A,O,l,B,(4)二面角的平面角,A,B,O,1.二面角的概念,以二面角的棱上任意一点为端点，,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,如图，,，则,AOB,成为二面角 的平面角,.,它的大小与点,O,的选取无关,.,二面角的平面角必须满足：,角的边都要垂直于二面角的棱,角的顶点在棱上,角的两边分别在两个面内,l,O,A,B,0,。,，180,。,(4)二面角的平面角,1.二面角的概念,二面角的范围为：,注1：,当二面角的两个面合成一个平面时，规定二面角的大小为180,；,平面角是直角的二面角叫做,直二面角,，此时称两半平面所在的两个平面互相垂直.,O,A,B,定义法,垂线法,作棱的垂面法,一个平面垂直于二面角,-,l,-,的棱,l,，,且与两半平面的交线分别是射线,OA,、,OB,，,O,为垂足，则,AOB,为,二面角,-,l,-,的平面角,(5)二面角的平面角的作法：,1.二面角的概念,O,A,B,l,O,A,B,o,A,B,补充,例,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，二面角,B,1,-AA,1,-C,1,的大小为_，二面角,B-AA,1,-D,的大小为_，二面角,C,1,-BD-C,的正切值是_.,45,90,练习,练 如图，在长方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，AB=2，BC=BB,1,=1，E为D,1,C,1,的中点，求二面角EBDC的大小,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,思路分析：,找基面,平面BCD,作基面的垂线,过E作EFCD于F,F,作平面角,作FGBD于G，连结EG,G,解：,过E作EFCD于F，,于是，EGF为二面角EBDC的平面角,BC=1，CD=2，,而EF=1，在EFG中,ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,是长方体，EF平面BCD，且F为CD中点，,过F作FGBD于G，连结EG，则EGBD（三垂线定理）,M,练习,A,B,C,D,求证:,例 如图，将等腰直角三角形纸片沿斜线BC上的高AD折成直二面角.,C,D,H,G,60,0,30,0,例 如图，山坡倾斜度是60度，山坡上一条路CD和坡底线AB成30度角.沿这条路向上走100米，升高了多少?,A,B,练习,如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？,思考,2.平面与平面垂直的判定,(1)定义法：,两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.记作,(2)面面垂直的判定定理：,若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直,该定理作用：“,线面垂直,面面垂直”,注2：,应用该定理，关键是找出两个平面中的其中任一个的垂线.,a,a,练 在正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中,(1)求证：平面A,1,C平面B,1,D,A,C,D,A,1,C,1,D,1,E,F,B,1,(2)E、F分别是AB、BC的中点，求证：平面A,1,C,1,FE平面B,1,D,(3)G,是BB,1,的,中点，,求证：平面A,1,C,1,G平面B,1,D,G,G,G,G,总结:,直线,A,1,C,1,平面B,1,D，则过直线A,1,C,1,的平面都垂直于平面B,1,D,练习,A,B,C,P,O,证明：,由AB是圆O的直径，可得ACBC,平面PAC平面PBC,例 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面于A，C是圆O上不同于A、B的任意一点.,求证：平面PAC平面PBC,练习,P,A,B,C,外,垂,中,练习：P79 B组2(2),E,F,分析,E,F,或者考虑二面角定义法,G,E,G,E,练习,二、平面与平面垂直,(1)定义：两平面所成二面角为直二面角,(2)判定定理：,(3)性质定理：,一、直线与平面垂直,(1)定义：,(2)判定定理：,(3)线线垂直的常用证明方法：,a.平面内的两直线,b.空间内的两直线,(4)两条平行线垂直于同一个平面，垂直于同一一个面的两直线平行.,三、角度问题,名称,定义,图形,两条异面直线 所成的角,直线与平面,所成的角,二面角及它的平面角,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a,、b，并使a,/a,，b,/b,，我们把,直线a,和b,所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角,.,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做,二面角,。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做,二面角的平面角,。,L,o,B,A,A,L,B,O,平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做,这条直线和这个平面所成的角，,特别地，若L,则L与,所成的角是直角,，若L/,或 L,，,则L与,所成的角是的角。,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是,化归与转化,，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得.,2.方法：,3.步骤,：,b.求直线与平面所成的角：,a.求异面直线所成的角：,c.求二面角的大小：,作,（,找,）,证,点,算,1.数学思想：,平移 构造可解三角形,找（或作）射影 构造可解三角形,找（或作）其平面角 构造可解三角形,定义法或者垂线法,即找面的垂线，找出垂足,找平行线方法：中位线，平行四边形，线段成比例，线面平行的性质定理等,O,L,L,A,B,O,P,A,B,back,练习：二面角 的平面角为 ,PA 于A点，PB 于B点，PA=,a,，PB=,b,，求点P到棱 的距离.,back,练 如图，在三棱锥P,-,ABC中，ACBC=2，PA=PB=AB，ACB90,o,，PCAC.,(1)求证：PC AB；(2)求二面角BAPC的大小.,练2 在长方体ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，AB=2，BC=BB,1,=1，E为C,1,D,1,的中点，求二面角 E-BD-C的大小.,A,A,1,B,B,1,C,C,1,D,D,1,E,M,F,back,在正方体AC,1,中，E，F分别是中点，求截面A,1,ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小.,E,F,G,A,B,D,C,A,1,B,1,D,1,C,1,F,G,B,C,D,A,F,E,A,1,C,H,H,back,练1 如图，M是正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,的棱AB的中点，求二面角A,1,MCA的正切值,A,B,C,D,M,A,1,B,1,C,1,D,1,N,H,思路分析：,找基面,找基面的垂线,AA,1,作平面角,作AHCM交CM的延长线于H，连结A,1,H,平面ABCD,解：,作AHCM交CM的延长线于H，连,结A,1,HA,1,A平面AC，AH是A,1,H,在平面AC内的射影，A,1,HCM，,A,1,HA为二面角A,1,CMA的平面角,设正方体的棱长为1M是AB的中点，且AMCD，则在,直角AMN中，AM=0.5，AN=1，MN=,back,如图，在底面是直角梯形的四棱锥,S,-,ABCD,中，,ABC=,90，,SA,面,ABCD,，,SA=AB=BC=,2，,AD=,1.,(1)求四棱锥,S,-,ABCD,的体积；,(2)求面,SCD,与面,SBA,所成的二面角的正切值.,(2)提示：因所求二面角无“棱”，故先延长,BA、CD,以确定棱,SE,，然后证明,BSC,为平面角.,back,A.,O,解,：,则AD,l,.,sin,ADO,=,ADO,=60.,即二面角,l 的大小为60,.,在RtADO中，,AO,AD,练 已,知二面角,l,，A为面,内一点，A到 的距离为 ，到,l,的距离为 4.,求,二面角,l,的大小.,l,D,过 A作 AO,于O，,过 O作 OD,l,于D，连AD，,就是二面角,l,的平面角.,back,练 在二面角,-,l,-,的一个平面,内有一条直线,AB,，它与棱,l,所成的角为45，与平面,所成的角为30，则这个二面角的大小是_.,45或135,证明：,C,D,A,B,E,在平面,内过B点作直线BECD，,则ABE就是二面角,-,CD,-,的平面角，,设,=CD，则BCD.,AB,，CD,，ABCD.,AB,，BE,，,ABBE.二面角,-,CD,-,是直二面角，,.,a,back,练习,1.过平面,的一条垂线可作_个平面与平面,垂直.,2.过一点可作_个平面与已知平面垂直.,3.过平面,的一条斜线，可作_个平面与平面,垂直.,4.过平面,的一条平行线可作_个平面与,垂直.,一,无数,无数,一,back,A,B,C,D,A,1,B,1,C,1,D,1,练 正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，求证：,back,A,B,C,D,E,E,F,back,P,A,B,C,思路分析：,找基面,找基面的垂线,作平面角,平面ABC,取AB的中点M，连结PM,M,由己知AB,2,=AC,2,+BC,2,，ACB是直角,N,取AC的中点N，连结MN、PN,MNBC，ACBC，MNAC，由三垂线定理知PNAC,MNP就是二面角PACB的平面角,PA=PB=PC，PAMPCM,PMAM，PMCM，,PM平面ABC,连结CM，AM=BM=CM，,已知ABC,AB=10,BC=6,P是平面ABC 外一点,且PA=PB=PC=AC=8,求二面角PACB的平面角的正切值.,back,练 求正四面体的侧面与底面所成的二面角的大小？,练 如图，过点S作三条不共面的直线，使BSC=90,0,，ASB=ASC=60,0,，截取SA=SB=SC.求证:平面ABC平面BSC,S,C,B,A,D,利用定义，通过计算证之,请计算AC与平面BSC所成的角的大小,back,如图所示，ABC为正三角形，EC平面ABC，BDCE，且CE=CA=2BD，M为EA的中点.(1)求证:DE=DA(2)求证:平面BDM平面ECA(3)求证:平面DEA平面ECA,A,B,C,E,D,M,N,F,请作出平面EAD和平面BAC所成的二面角的平面角,back,