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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一、求积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,微积分II总复习,三、二重积分的计算,四、级数的敛散性与求和,五、求解微分方程,2010级20110607,一、 求不定积分的基本方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,不定积分的计算方法,第,六,章,一、 求不定积分的基本方法,1. 直接积分法,通过简单变形, 利用基本积分公式和运算法则,求不定积分的方法 .,2. 换元积分法,第一类换元法,第二类换元法,(注意常见的换元积分类型),(代换: ),机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 分部积分法,使用原则:,1) 由,易求出,v,;,2),比,好求 .,一般经验: 按“,反, 对, 幂, 指 , 三,” 的顺序,排前者取为,u,排后者取为,计算格式: 列表计算,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多次分部积分的 规 律,机动 目录 上页 下页 返回 结束,快速计算表格:,特别:,当,u,为,n,次多项式时,计算大为简便 .,例1.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,分析:,例3.,求,解 :,原式,分部积分抵消,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,设,解:,令,求积分,即,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例6.,求,解:,取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明:,此法特别适用于,如下类型的积分:,例7.,设,证:,证明递推公式:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,8.,求,解:,设,则,因,连续 ,得,记作,得,利用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,9.,设,解:,为,的原函数,且,求,由题设,则,故,即, 因此,故,又,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、几种特殊类型的积分,1. 一般积分方法,有理函数,分解,多项式及,部分分式之和,指数函数有理式,指数代换,三角函数有理式,万能代换,简单无理函数,三角代换,根式代换,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 需要注意的问题,(1) 一般方法不一定是最简便的方法 ,(2) 初等函数的原函数不一定是初等函数 ,要注意综合,使用各种基本积分法, 简便计算 .,因此不一,定都能积出,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,例10,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11,求,解:,令,比较同类项系数, 故, 原式,说明:,此技巧适用于形为,的积分.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12.,解,：,因为,及,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13.,求不定积分,解:,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、与定积分概念有关的问题的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、有关定积分计算和证明的方法,定积分及其相关问题,第,七,章,一、与定积分概念有关的问题的解法,1. 用定积分概念与性质求极限,2. 用定积分性质估值,3. 与变限积分有关的问题,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,求,解:,因为,时,所以,利用夹逼准则得,例2,估计下列积分值,解:,因为,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,证明,证:,令,则,令,得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明,：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,明对于任何,例5,解：,且由方程,确定,y,是,x,的函数 , 求,方程两端对,x,求导, 得,令,x,= 1, 得,再对,y,求导, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,例6,求可微函数,f,(,x,) 使满足,解:,等式两边对,x,求导, 得,不妨设,f,(,x,)0,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意,f,(0) = 0, 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7,求多项式,f,(,x,),使它满足方程,解:,令,则,代入,原方程得,两边求导:,可见,f,(,x,) 应为二次多项式 ,设,代入,式比较同次幂系数 , 得,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再求导:,二、有关定积分计算和证明的方法,1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法,2. 注意特殊形式定积分的计算,3. 利用各种积分技巧计算定积分,4. 有关定积分命题的证明方法,思考:,下列作法是否正确?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8,求,解:,令,则,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例9,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例10,选择一个常数,c, 使,解:,令,则,因为被积函数为奇函数 , 故选择,c,使,即,可使原式为 0 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例11,设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例12,若,解:,令,试证 :,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因为,对右端第二个积分令,综上所述,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例13,证明恒等式,证:,令,则,因此,又,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例14,试证,使,分析:,要证,即,故作辅助函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,至少存在一点,证明:,令,在,上连续,在,至少,使,即,因在,上,连续且不为0 ,从而不变号,因此,故所证等式成立 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故由罗尔定理知 ,存在一点,思考:,本题能否用柯西中值定理证明 ?,如果能, 怎样设辅助函数?,要证:,提示:,设辅助函数,例15 目录 上页 下页 返回 结束,例15,设函数,f,(,x,) 在,a,b, 上连续,在(,a,b,) 内可导, 且,(1) 在(,a,b,) 内,f,(,x,) 0 ;,(2) 在(,a,b,) 内存在点, 使,(3) 在(,a,b,) 内存在与,相异的点,使,(03考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,证:,(1),由,f,(,x,)在,a,b,上连续,知,f,(,a,) = 0.,所以,f,(,x,),在(,a,b,)内单调增,因此,(2),设,满足柯西中值定理条件,于是存在,机动 目录 上页 下页 返回 结束,即,(3),因,在,a, 上用拉格朗日中值定理,代入(2)中结论得,因此得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例16,设,证:,设,且,试证 :,则,故,F,(,x,) 单调不减 ,即,(*),成立.,(*),机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 定积分的几何应用,平面图形面积、,旋转体体积,2. 基本方法 :,微元分析法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分的应用,第,七,章,例1,求抛物线,在(0,1) 内的一条切线, 使它与,两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.,解:,设抛物线上切点为,则该点处的切线方程为,它与,x , y,轴的交点分别为,所指面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,且为最小点 .,故所求切线为,得 0 , 1 上的唯一驻点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,设非负函数,曲线,与直线,及坐标轴所围图形,(1) 求函数,(2),a,为何值时, 所围图形绕,x,轴一周所得旋转体,解:,(1),由方程得,面积为 2 ,体积最小 ?,即,故得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,(2) 旋转体体积,又,为唯一极小点,因此,时,V,取最小值 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第五章,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 基本概念,二、多元函数微分法,三、多元函数微分法的应用,多元函数微分法,一、 基本概念,连续性,偏导数存在,可微性,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2. 几个基本概念的关系,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,已知,求出 的表达式.,解法1,令,即,解法2,以下与解法1 相同.,则,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、多元函数微分法,显示结构,隐式结构,1. 分析复合结构,(画变量关系图),自变量个数 = 变量总个数 方程总个数,自变量与因变量由所求对象判定,2. 正确使用求导法则,“分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导”,注意正确使用求导符号,3. 利用一阶微分形式不变性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,设,其中,f,与,F,分别具,解法1,方程两边对,x,求导, 得,有一阶导数或偏导数, 求,(99 考研),机动 目录 上页 下页 返回 结束,解法2,方程两边求微分, 得,化简,消去 即可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,设,有二阶连续偏导数, 且,求,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,1、设函数,f,二阶连续可微, 求下列函数的二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解答提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、,设,求,提示,:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解出 d,u, d,v,：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入,即得,代入,即得,有连续的一阶偏导数 ,及,分别由下两式确定,求,又函数,答案:,( 2001考研 ）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3.,设,三、多元函数微分法的应用,极值与最值问题,极值的必要条件与充分条件,求条件极值的方法,(,消元法,拉格朗日乘数法,),求解最值问题,最小二乘法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4,求旋转抛物面,与平面,之间的最短距离.,解：,设,为抛物面,上任一点，,则,P,的距离为,问题归结为,约束条件:,目标函数:,作拉氏函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到平面,令,解此方程组得唯一驻点,由实际意义最小值存在 ,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 二重积分计算的基本方法,二、二重积分计算的基本技巧,三、重积分的应用,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第八章,二重积分的计算及应用,一、二重积分的累次积分法,1. 选择合适的坐标系,使积分域成为由平面曲线围成的区域;,被积函数用此坐标表示简洁或变量分离.,2. 选择易计算的积分序,积分域分块要少, 累次积分易算为妙 .,图示法,列不等式法,(从内到外:,面、线、点,),3. 掌握确定积分限的方法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、,计算二重积分,其中,D,为圆周,所围成的闭区域.,提示:,利用极坐标,原式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习,2、,计算积分,其中,D,由,所围成,.,提示:,如图所示,连续,所以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、二重积分计算的基本技巧,分块积分法,利用对称性,1. 交换积分顺序的方法,2. 利用对称性简化计算,3. 消去被积函数绝对值符号,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、证明:,提示:,左端积分区域如图,交换积分顺序即可证得.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,例1,计算二重积分,其中:,(1),D,为圆域,(2),D,由直线,解:,(1),利用对称性.,围成 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),积分域如图:,将,D,分为,添加辅助线,利用对称性 , 得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,计算二重积分,在第一象限部分.,解:,(1),两部分, 则,其中,D,为圆域,把与,D,分成,作辅助线,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),提示:,两部分,说明:,若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号.,作辅助线,将,D,分成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,如图所示,交换下列二次积分的顺序,:,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、二重积分的应用,1. 几何方面,面积 ( 平面域),证明某些结论等,2. 其它方面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4,证明,证:,左端,= 右端,机动 目录 上页 下页 返回 结束,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、幂级数和函数的求法,四、函数的幂级数和级数展开法,一、数项级数的审敛法,二、求幂级数收敛域的方法,第十章,求和,展开,(在收敛域内进行),基本问题,：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,时为数项级数;,时为幂级数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、数项级数的审敛法,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 正项级数审敛法,必要条件,不满足,发 散,满足,比值审敛法,根值审敛法,收 敛,发 散,不定,比较审敛法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3. 任意项级数审敛法,为收敛级数,Leibniz,判别法:,若,且,则交错级数,收敛 ,概念:,且余项,若,收敛 ,称,绝对收敛,若,发散 ,称,条件收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1,若级数,均收敛 , 且,证明级数,收敛 .,证:,则由题设,收敛,收敛,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、,判别下列级数的敛散性:,提示:,(1),据比较判别法, 原级数发散 .,因调和级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,利用比值判别法, 可知原级数发散.,用比值法, 可判断级数,因,n,充分大时,原级数发散 .,用比值判别法可知:,时收敛 ;,时, 与,p,级数比较可知,时收敛;,时发散.,再由比较法可知原级数收敛 .,时发散.,发散,收敛,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、,设正项级数,和,也收敛 .,提示:,因,存在,N, 0,又因,利用收敛级数的性质及比较判敛法易知结论正确.,都收敛, 证明级数,当,n N,时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、,设级数,收敛 , 且,是否也收敛？说明理由.,但对任意项级数却不一定收敛 .,问级数,提示:,对,正项级数,由比较判别法可知,级数,收敛 ,收敛,级数,发散 .,例如, 取,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4、,讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性:,提示:,(1),P,1,时, 绝对收敛 ;,0 ,p,1,时, 条件收敛 ;,p,0,时, 发散 .,(2) 因各项取绝对值后所得强级数,原级数绝对收敛 .,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,单调递减, 且,但,所以原级数仅,条件收敛,.,由Leibniz判别法知级数,收敛,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,因,所以原级数绝对收敛 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、求幂级数收敛域的方法,标准形式幂级数: 先求收敛半径,R,再讨论,非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,求下列级数的敛散区间:,练习:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛区间为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,解:,因,故收敛区间为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,解:,分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求部分和式极限,三、幂级数和函数的求法,求和,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,难,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等,初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）,数项级数,求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,求幂级数,法1,易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:,(1),显然,x,= 0,时上式也正确,故和函数为,而在,x,0,求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然,x,= 0,时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x,=,1,时,级数也收敛 .,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解:,原式=,的和 .,求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、函数的幂级数和级数展开法,直接展开法,间接展开法,练习:,1.,将函数,展开成,x,的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1. 函数的幂级数展开法,2.,设, 将,f,(,x,)展开成,x,的幂级数 ,的和.,( 01考研 ),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、一阶微分方程求解,二、解微分方程应用问题,解法及应用,第九章,一、一阶微分方程求解,1. 一阶标准类型方程求解,关键,: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤,2. 一阶非标准类型方程求解,(1) 变量代换法 代换,自变量,代换,因变量,代换,某组合式,(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程,四个标准类型:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,全微分方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,求下列方程的通解,提示:,(1),故为分离变量方程:,通解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方程两边同除以,x,即为齐次方程 ,令,y = u x,化为分,离变量方程.,调换自变量与因变量的地位 ,用线性方程通解公式求解 .,化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法 1,这是一个齐次方程 .,方法 2,化为微分形式,故这是一个全微分方程 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,求下列方程的通解:,提示:,(1),令,u = x y ,得,(2) 将方程改写为,(贝努里方程),(分离变量方程),原方程化为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,y = u t,(齐次方程),令,t = x, 1 , 则,可分离变量方程求解,化方程为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,变方程为,两边乘积分因子,用凑微分法得通解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设,F,(,x,),f,(,x,),g,(,x,), 其中函数,f,(,x,),g,(,x,) 在(,+),内满足以下条件:,(1) 求,F,(,x,) 所满足的一阶微分方程 ;,(03考研),(2) 求出,F,(,x,) 的表达式 .,解: (1),所以,F,(,x,) 满足的一阶线性非齐次微分方程:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),由一阶线性微分方程解的公式得,于是,练习题:,1、,求以,为通解的微分方程.,提示:,消去,C,得,2、,求下列微分方程的通解(只考虑方法及步骤):,提示:,令,u = x y, 化成可分离变量方程 :,提示:,这是一阶线性方程 , 其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,提示:,可化为,关于,x,的一阶线性方程,提示:,为全微分方程 , 通解,微分倒推公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,原方程化为, 即,则,故原方程通解,提示:,令,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、解微分方程应用问题,利用共性建立微分方程 ,利用个性确定定解条件.,关键问题是正确建立数学模型,要点:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,能否根据草图列方程?,练习题:,1、,已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .,提示:,设曲线上的动点为,M,(,x,y,),令,X,= 0, 得截距,由题意知微分方程为,即,定解条件为,此点处切线方程为,它的切线在纵,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二阶微分方程的,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第九章,一、两类二阶微分方程的解法,1.,可降阶,微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、,求以,为通解的微分方程 .,提示:,由通解式可知特征方程的根为,故特征方程为,因此微分方程为,2、,求下列微分方程的通解,提示:,(1) 令,则方程变为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习题,特征根:,齐次方程通解:,令非齐次方程特解为,代入方程可得,思 考,若 (2) 中非齐次项改为,提示:,原方程通解为,特解设法有何变化 ?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、,求解,提示:,令,则方程变为,积分得,利用,再解,并利用,定常数,思考,若问题改为求解,则求解过程中得,问开方时,正负号如何确定,?,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特征根 :,例1,求微分方程,提示:,故通解为,满足条件,解满足,处连续且可微的解.,设特解 :,代入方程定,A,B, 得,得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,处的衔接条件可知,解满足,故所求解为,其通解:,定解问题的解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2,且满足方程,提示:,则,问题化为解初值问题:,最后求得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考:,设,提示:,对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的解.,例3.,设函数,内具有连续二阶导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(1) 试将,x,x,(,y,) 所满足的微分方程,变换为,y,y,(,x,) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对,x,求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(03,考研,),机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入原微分方程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得,A,0,从而得的通解:,题 目录 上页 下页 返回 结束,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,补充题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1.,设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,再积分得通解,复习:,一阶线性微分方程通解公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2.,(1) 验证函数,满足微分方程,(2) 利用(1)的结果求幂级数,的和.,解:,(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,(02,考研,),所以,(2) 由(1)的结果可知所给级数的和函数满足,其特征方程:,特征根:,齐次方程通解为,设非齐次方程特解为,代入原方程得,故非齐次方程通解为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,代入初始条件可得,故所求级数的和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
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