《概率论与统计原理》第1章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 事件的概率,1.1 随机事件和样本空间,1.1.1 随机现象与随机试验,1、确定性现象和随机现象,确定性现象是指在一定条件下必然会发生的现象,随机现象是指在一定条件可能发生也可能不发生的现象，其出现的结果不确定,概率论研究的主要问题就是随机现象的规律性,2、随机试验,对随机现象的观察称为随机试验，简称为试验，用字母,E,来表示,随机试验的特点：,（1）可重复性 试验在相同的条件下可以重复进行,（2）可观测性 每次试验的可能结果不止一个，而且事先能明确试验的所有可能结果,（3）随机性 在每次试验之前不能准确预知将会出现的结果,一些随机试验的例子：,E,1,：掷一颗均匀对称的骰子，观察出现的点数,E,2,：记录一段时间内某城市110报警次数,E,3,：从含有三件次品,a,1,，,a,2,，,a,3,和三件正品,b,1,，,b,2,，,b,3,的六件产品中，任取两件，观察出现正品和次品的情况,E,4,：从一批电脑中任取一台，观察无故障运行的时间,E,5,：设平面上有一簇间距为,a,的平行线，现反复用一枚长度为,l,（,l,a,）的针投掷下去，投掷,n,次后，观察针与平行线相交的数目,E,6,：向坐标平面区域,D,：,x,2,+,y,2,100内随机投掷一点（假设点必落在,D,内），观察落点,M,的坐标,1.1.2 随机事件,随机试验的每一个可能的结果称为事件，用大写字母,A,，,B,，,C,，,等表示。事件分为：,基本事件是指不能再分解的事件,复合事件是指由若干基本事件组成的事件,必然事件指每次试验中都肯定出现的结果，用 表示,不可能事件指在每次试验中都不出现的结果，用,表示,1.1.3 样本空间,一个随机试验的所有基本事件构成的集合称为样本空间，用来表示；其中每一个基本事件称为样本点，用来表示 ，即 =。,随机试验,E,1,，,E,2,，,E,6,所对应的样本空间如下：,1,= 1，2，6,2,= 0，1，2，,3,=,(,a,1,a,2,)， (,a,1,a,3,)， (,a,2,a,3,),，(,a,1,b,1,)，(,a,1,b,2,)，(,a,1,b,3,)，(,a,2,b,1,),，(,a,2,b,2,)，(,a,2,b,3,)，(,a,3,b,1,)，(,a,3,b,2,)，(,a,3,b,3,)，(,b,1,b,2,)，(,b,1,b,3,)，(,b,2,b,3,),4,= ,x,：,x,0,5,=0，1，2， ，,n,6,=(,x,，,y,) ：,x,2,+,y,2,100,1.2 事件的关系和运算,1.2.1 事件的关系和运算,1、事件的包含,如果事件,A,发生必然导致事件,B,发生，则称事件,B,包含事件,A,，或事件,A,包含于事件,B,，记作,A B,或,B A,2、事件的相等,如果事件,A,包含事件,B,，同时事件,B,也包含事件,A,，则称事件,A,与事件,B,相等，记作,A,=,B,3、事件的和（并）,“事件,A,与事件,B,至少有一个发生”的事件，称为事件,A,与事件,B,的和（或并），记作,A,B,或,A+B,设,A,1,，,A,2,，,A,n,为,n,个事件，则“事件,A,1,，,A,2,，,A,n,中至少有一个发生”这一事件，称为事件,A,1,，,A,2,，,A,n,的并，记为,A,1,A,2,A,n,或,A,1,+,A,2,+,A,n,4、事件的积（交）,“事件,A,与事件,B,同时发生”的事件，称为事件,A,与事件,B,的积（或交），记作,A,B,或,AB,设,A,1,，,A,2,，,A,n,为,n,个事件，则“事件,A,1,，,A,2,，,A,n,同时发生”这一事件，称为事件,A,1,，,A,2,，,A,n,的交，记为,A,1,A,2,A,n,或,A,1,A,2,A,n,5、事件的差,“事件,A,发生而事件,B,不发生”的事件，称为事件,A,与事件,B,的差，记作,A,-,B,6、互不相容（互斥）事件,如果事件,A,与事件,B,不能同时发生，即,AB,=，则称事件,A,与事件,B,是互不相容,7、对立事件,对于事件,A,，“事件,A,不发生”这一事件，称为,A,的对立事件（或逆事件），记作,1.2.2 事件与集合的关系,事件与集合的对应关系,事件的文氏图,1.2.3 事件的运算性质,1、交换律,A,+,B,=,B+A,，,AB,=,BA,2、结合律,（,A,+,B,）+,C,=,A,+（,B+C,），（,AB,）,C,=,A,（,BC,）,3、分配律,（,A,+,B,）,C,=（,AC,）+（,BC,）,（,A,-,B,）,C,=（,AC,）,-,（,BC,）,4、德摩根律,例1 设,A,，,B,，,C,为三个事件，试用,A,，,B,，,C,表示下列事件：,（1）,A,发生且,B,与,C,至少有一个发生,（2）,A,与,B,发生而,C,不发生,（3）,A,，,B,，,C,中至少有一个发生,（4）,A,，,B,，,C,中至少有两个发生,（5）,A,，,B,，,C,中不多于一个发生,（6）,A,，,B,，,C,中恰好有一个发生,1.3 随机事件的概率,1.3.1 概率的统计定义,设在,n,次重复试验中事件,A,出现了,n,A,次，则称比值,为事件,A,发生的频率，记作,f,n,（,A,），即,f,n,（,A,）=,1.3.2 古典型概率,古典概型,：,（1）有限性 试验只产生有限个基本事件；,（2）等可能性 每次试验中各个基本事件发生的可能性相同,古典型概率的定义：,设随机试验,E,是含有,n,个基本事件的古典概型，事件,A,包含,m,个基本事件，则事件,A,的发生的概率为,P（,A,）=,例2 用0，1，2，9共10个数字中的任意两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，求字码之和为3的概率。,例3 箱中有100个外形相同的产品，其中60件正品，40件次品。现在从这100件产品中任意抽取3件，分别按有放回和无放回两种方式，求其中有2件次品的概率。,例4 设箱中有,a,个白球和,b,个黑球，从中任意不放回地取出,k,个（1,k,a+b,）球，求第,k,次取出的球是白球的概率。,例5 一批产品有,N,件，其中,M,（,M, 0,P(,B,) 0,1.5.3 全概率公式,1、样本空间的一个划分,设,A,i,(,i,=1，2，,n,)满足：,A,i,A,j,=,，,A,1,+,A,2,+,A,n,=,2、全概率公式,设,A,i,(,i,=1，2，,n,)是样本空间的一个划分，且P(,A,i,)0，则对任意事件,B,，有,例13 两台车床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍。现任取一零件，求它是的合格品的概率。,1.5.4 贝叶斯公式,设,A,i,(,i,=1，2，,n,)是样本空间的一个划分，且P(,A,i,)0，则对任意事件,B,，有,例14 有一台机床，当其正常时产品的合格率为0.9，当其非正常时产品的合格率为0.3。历史数据表明：每天上班开机时，机床正常的概率为0.75。现有某检验人员为了检验机床是否正常，开机生产了一件产品，经检验该产品为合格品，求此时机床是正常的概率。,1.5.5 事件的独立性,1、二事件的独立性,设,A,，,B,为两个事件，如果,P(,AB,) = P(,A,)P(,B,),则称,A,与,B,相互独立,2,、二事件的独立的性质,若,A,与,B,相互独立，则,A,与 ， 与,B,， 与 也相互独立。,例15 有两门高射炮独立地射击一架敌机，设甲炮击中敌机的概率为0.9，乙炮击中敌机的概率为0.8，求敌机被击中的概率。,3、多个事件的独立性,设,A,1,，,A,2,，,A,n,是,n,个事件，如果对任意的,k,（1,k,n,）个事件 ， ， （1,i,1,i,2,i,k,n,），均有,P（ ）= P（ ）P（ ）P（ ）,则称事件,A,1,，,A,2,，,A,n,相互独立。,如果对任意两个事件,A,i,和,A,j,（,ij,），均有,P（,A,i,A,j,）= P（,A,i,）P（,A,j,）,则称事件,A,1,，,A,2,，,A,n,两两独立。,如果事件,A,1,，,A,2,，,A,n,相互独立，则必两两独立；但反之不一定成立。,例16 甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，求下列事件的概率：,（1）恰有一人中靶；,（2）至少有一人中靶,。,