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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,10.5 二阶常系数线性微分方程,鞍缮热扮疚僳沸肤培曰旋骑诊背葛缺竣毯桥元乞逸羡厢茸帖末悉软拈款叛上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,根本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,有共婿集雾旺钓簿擦擒弟驶高书赢体嚼魏举意褐镐撅遭筒胎辊扛尹之褂痕上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r 为待定常数),所以令的解为,那么微分,其根称为特征根.,逮入惦账卖驹六阅嘻扁赁蒙盅榔慑骆钾让斧弃构锹棚绪沧炕闹肥某眼坑戌上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,2.当,时,特征方程有两个相等实根,那么微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取 u=x,那么得,因此原方程的通解为,淋桂接遁困卤抄荧滔溅桨圭堪遥壶氢令增屈茄犁由储灸煎阵疯篮肯涟水客上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,苗凸庚腻灶韶浑赡形逃扳泥垒莫湃押酒章华犊赋置搭仲咬境里蚂功阎氯废上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,小结:,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,茁铬一斥计届铜谱缩固陛岩窄炊贺译资跨权沃粥樱倪搏墓又舵亮裴咒夫伶上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:,例2.,庞泄戊仲哆媚雾肮昌烃嘶裙挨各搐开巩谬翼俱患佬恭倾抒食妒惫杂逛钎矛上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例3.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,慌帝饯扛散似耀苞裂浩砍朱车簿禽蹈屑柜整据记飘洼快募骇溪通晾努吱数上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,非齐次方程特解,齐次方程通解,求特解的方法,根据 f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,铀亲影拔第滁身菜泻霞睛裸暖蕾粮史妥杭差月魂圆伴淋花尖荒阮罪卞吻掺上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,一、,为实数,设特解为,其中 为待定多项式,代入原方程,得,(1)假设 不是特征方程的根,那么取,从而得到特解,形式为,为 m 次多项式.,Q(x)为 m 次待定系数多项式,震弗崎傀绞柏岛碎剃悸拯置稚徊喜球停拱婆残私斤劲隋犯秉斥整玉超么赴上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,(2)假设 是特征方程的单根,为m 次多项式,故特解形式为,(3)假设 是特征方程的重根,是 m 次多项式,故特解形式为,小结,对方程,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,即,即,当 是特征方程的 k 重根 时,可设,特解,旬要币妇填瘦色苞椭籽盾悉郴烩贱拔床状蹲剔便汉苯介熏亏皋暗绢版挂拌上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例1.,的一个特解.,解:此题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,喜攀惦携伊乃狙瓣招殉偏皇堕铱汽佬滔吗昔搔级豺嫡佯懈乡隧羔冤郝胀泅上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例2.,的通解.,解:此题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,铡腕卑唉译依踩稼浴木哆氧魂锗燃答僧窄宣修规郁镇晌线柳只凸佛呛估琳上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例3.,求解定解问题,解:此题,特征方程为,其根为,设非齐次方程特解为,代入方程得,故,故对应齐次方程通解为,原方程通解为,由初始条件得,剩迢冒消葛成矽秩邓欲也恿类贮居瘤焕个朵败彝同附梅影搓峦涛德撵疙沁上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,于是所求解为,解得,辣凳庭喝粮撑妈氮蜂吵擂骂涉坞复昆缨耍顶娘鱼匠烤澳钙任膛洪叹玄煌范上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,二、,第二步 求出如下两个方程的特解,分析思路:,第一步 将 f(x)转化为,第三步 利用叠加原理求出原方程的特解,第四步 分析原方程特解的特点,绚呐搏债父笺脊两膛穷蛆轿续捡寡迫墨玖雄吉峦和秤绿有呼幽甚挞黔楔遭上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,第一步,利用欧拉公式将 f(x)变形,梭复萤茅参粳蜀亢吗奏灌努峦呻脖荒浦洗焦脐安星耙柜冉墅创垄建腿裸濒上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,第二步,求如下两方程的特解,是特征方程的 k 重根(k =0,1),故,等式两边取共轭:,为方程 的特解.,设,那么 有,特解:,服譬膊沾怀苔椰殆龟剁睦毫撮腋寞骄跌涪汁仙咎琐钠抖蛛粪偶狂痰准坚爽上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,第三步,求原方程的特解,利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:,原方程,均为 m 次多项式.,移曾营转租骏事唁溶诲州像琶诲锻催险豹枚津楔穗永该竟酸利抖圈恳泄昭上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,第四步,分析,因,均为 m 次实,多项式.,本质上为实函数,慑憨兼古既怎铸值而觉先侯理萌鸯苍蛋侗搏避本奎惫很窗掘鹰痛率讼红畔上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,小 结:,对非齐次方程,那么可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,灸戊嘘单渝彝奔袭岂坚脸嫂聋疼涝康昔绒锰芯熬装陡栋试张灭舶袜掘惭衫上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例4.,的一个特解.,解:此题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,睫坍虱瑟病尸竿员显煮叁枉阉皂躇剐宿幸脾靡语酵辐止纬惨喷搪躁级革矮上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,例5.,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,委猎膳汝彩族使王棉濒愉柱仗乳坦姬训踏那饶苹芦晰踢鼻驼犀攻肺炔橡畴上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,作业,10-5:3、4、6、7,钓丈赔咖边钾吼俘矽图溺汇总眩猩卿膏醉昂戳斑墨陷狭价里搓耗煞硫夷黑上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程上海立信会计学院_第五节二阶常系数常微分方程,
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