总体、样本与统计量

电子科技大学,数理统计基本概念,probability,probability,第六章 数理统计的基本概念,6.1,总体、样本与统计量,6.2,常用统计分布,一、引言,数理统计,以概率论为理论基础,研究,2),研究如何合理地,分析随机数据,从而作出科学的,推断,(,称为,统计推断,).,6.1,总体、样本与统计量,1,）,研究如何以有效的方式,收集和整理,随机数据,;,数理统计的引入,两类工作有密切联系,.,将主要介绍统计推断方面的内容,.,总体,：研究对象的单位元素所组成的集合,.,个体,：组成总体的每个单位元素,.,例,1,要考察本校男生的身体情况，则将本校,的所有男生视为一个总体，而每一位男生就是,一个个体,.,二、总体,如，关心电子元件的寿命，则寿命,X,为其一个数量指标，且,X,是服从指数分布的随机变量,.,例,2,考察某厂生产的电子元器件的质量，将全部产品视为总体，每一个元器件即为一个个体,.,通常需要对总体的一项或几项,数量指标,进行研究,.,如仅考虑男生的身高和体重,(,X,Y,),不考虑,男生的视力、胸围等,.,以后将,(,实际,),总体和数量指标,X,等同,起来,.,总 体 是 随 机 变 量,由于上述数量指标往往是,随机变量,，具有一定的分布,.,总体分布,是指,数量指标,X,的分布,.,三、样本,一般，从总体中抽取一部分,(,取,n,个,),进行观测，再依据这,n,个个体的试验,(,或观察,),的结果去推断总体的性质,.,样本,:,按照,一定的规则,从总体中抽取的一部分个体,.,抽样,：抽取样本的过程,.,样本容量,：样本中个体的数目,n.,将第,i,个个体的对应指标记为,X,i,，,i,=1,2,n,构成的随机向量,(,X,1,X,2,X,n,),称为样本,.,样本,是一组随机变量,，,其具体试验,(,观察,),数值记为,：,x,1,x,2,x,n,，,称为,样本观测值,，简称,样本值,.,为使样本具有代表性，抽样应满足什么条件,从民意测验看抽样,?,（,1,）,X,i,与总体同分布,；,（,2,）,X,1,X,2,X,n,相互独立,.,定义,6.1.1,设,X,1,X,2,X,n,是来自总体,X,的样本，如果,相互独立,且每个分量与总体,同分布,，称其为,简单随机样本,，简称样本,.,若总体,X,的分布函数为,F,(,x,),则样本,X,1,X,2,X,n,的联合分布函数为,判断统计量,是随机变量且不含未知参数，称,T,为,统计量,.,对相应的样本值,(,x,1,x,2,x,n,),，,称,t,=,T,(,x,1,x,2,x,n,),为统计量的,统计值,.,四、统计量,定义,6.1.2,设,X,1,X,2,X,n,是总体,X,的样本，,T,为,n,元实值函数，若样本的函数,T,=,T,(,X,1,X,2,X,n,),总 体 是 随 机 变 量,统计量 是 随机变量,(,或向量）,样 本 是 随 机 向 量,样本均值,：,样本方差,：,常见统计量：,样本,k,阶原点矩,：,样本,k,阶中心矩,：,统称,样本矩,几个重要关系式,：,X,S,2,A,k,M,k,x,s,2,a,k,m,k,统计量,统计值,思考,样本矩与总体矩,(,即第四章中定义的矩,),的概念有什么区别？,样本矩 是 随机变量,!,总体矩 是 数值,!,从民意测验看抽样,1936,年，,Franklin Delano,Rosevelt,(,罗斯福,),与共和党的候选人,-,Kansas,州州长,Alfred Landon(,兰登,),竞选总统,.,绝大多数观测家认为罗斯福会是获胜者，但,文学摘要,却预测兰登会以,57,%,:43,%,的优势获胜,.,摘要,自,1916,年以来的历届总统选举中都正确地预测出获胜的一方,但这次罗斯福以,62,%,:38,%,的压倒优势取胜！,(,不久,文学摘要,就垮了,),#,摘要,调查的过程是将问卷寄给一千万人，这些人的名字和地址摘自电话簿或俱乐部会员名册，这筛掉了不属俱乐部或未装电话的穷人,.,这在,1936,年前影响不大,因为穷人富翁以类,似的思考投票；但,1936,年经济正在从大萧条中恢复，故穷人选罗斯福，而富翁们选兰登,.,例,6.1.1,设总体,X,B,(1,p,),，其中,p,是未知参数，,(,X,1,X,2,X,5,),是来自,X,的简单随机样本，,1),指出以下变量哪些是统计量，为什么？,2),确定,(,X,1,X,2,X,5,),的联合概率分布？,2),因,解,1),只有 不是统计量,因,p,是未知参数,.,#,故,(,X,1,X,2,X,5,),的联合分布律为,P,X,1,=x,1,X,2,=,x,2,X,5,=,x,5,数 理 统 计 的 引 入,某厂生产的一批产品中次品率为,p,。,从中抽取,10,件产品装箱。,1,）没有次品的概率,2,）平均有几件次品,概,率,3,）为以,0.95,的概率保证箱中有,10,件正品，箱中至少要装多少件产品。,所有这些问题的关键是,p,是已知的！,如何获取,p,?,这就是数理统计的任务了！,一个很自然的想法就是：,首先从这批产品中随机抽取产品进行检验。,怎样随机抽取这属于抽样理论与方法问题。本书不讨论。,其次利用概率论的知识处理实测数据。,如何分析、处理实测数据。这属于统计推断的问题。也是我们研究的内容。,统计推断常解决的问题：,1,）如何估计次品率,p,?,2,）如果以,p,0.01,为,出厂的标准，这批产品能否出厂？,数 理 统 计 的 引 入,参数估计问题,假设检验问题,#,