高等数学是现代各科知识的理论基础

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,高等数学是现代各科知识的理论基础，在数,学建模中有广泛的应用，极限、连续和积分,等数学思想是建立数学模型的基本思想，抽,象思维和逻辑思维能力是数学建模必备的能力。,在教学中，融入数学建模思想和方法，让学生,养成数学建模的习惯。,暑假组织学生参加全国大学生数学建模竞赛，,培养他们建立数学模型和解决数学模型的能力。,高等数学在数学建模中的应用举例,某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行,员，护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快,返回与其汇合并通报了航母当前的航速与方,向，问护卫舰应怎样航行，才能与航母汇合。,例1,舰艇的会合,令：,则上式可简记成 ：,A(0,b,),X,Y,B(0,-,b,),P(x,y),O,航母,护卫舰,1,2,即：,可化为：,记,v,2,/,v,1,=,a,通常,a,1,则,汇合点 p必位于此圆上。,（护卫舰的路线方程）,（航母的路线方程 ）,即可求出,P,点的坐标和,2,的值。,本模型虽简单，但分析极,清晰,且,易于实际应用,例2,双层玻璃的功效,在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层,玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模,型，研究一下双层玻璃到底有多 大的功效。,比较两座其他条件完全相同的房屋，它们 的,差异仅仅在窗户不同。,不妨可以提出以下,假设,：,1,、设室内热量的流失是热传导引起的，不存在户内外的空气对流。,2,、室内温 度,T,1,与户外温 度,T,2,均为常数。,3,、玻璃是均匀的，热传导系数为常数。,设玻璃的热传导系数 为,k,1,，空气的热传导系数 为,k,2,，单位时间通过单位面积由温度高的一侧流向温度低的一侧的热量为,d,d,l,室外,T,2,室内,T,1,T,a,T,b,由热传导公式,=,k,T,/,d,解得：,此函数的图形为,d,d,室外,T,2,室内,T,1,类似有,一般,故,记,h=l/d,并令,f(h)=,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1,h,f(h),考虑到,美观,和使用上 的,方便,，,h,不必取得过大，例如，可 取,h=3,，即,l=3d,，此时房屋热量的损失不超过单层玻璃窗时的,3%,。,例3,崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功,能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下,一块石头听回声的方法来估计山崖的高度，,假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算,山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,我有一只具有跑 表功能的计算器。,方法一,假定空气阻力不计，可以直接利用自由落体运动的公式,来计算。例如， 设,t,=4,秒，,g,=9.81,米/秒,2,，则可求得,h,78.5,米。,我学过微积分，我可以做,得更好，呵呵。,除去地球吸引力外，对石块下落影响最大的当 属,空气阻力,。根据流体力学知识，此时可设空气阻力正比于石块下落的速度，阻力系 数,K,为常数，因而，由牛顿第二定律可得：,令,k,=,K,/,m,，,解得,代入初始条件,v,(0)=0,，得,c,=,g/k,，故有,再积分一次，得：,若设,k,=0.05,并仍设,t,=4,秒，则可求 得,h,73.6,米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了,反应时间,进一步深入考虑,不妨设,平均反应时间,为,0.1,秒 ，假如仍 设,t,=4,秒，扣除反应时间后应 为,3.9,秒，代入 式,，求得,h,69.9,米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,代入初始条 件,h,(,0,)=,0,，得到计算山崖高度的公式：,将,e,-kt,用泰勒公式展开并 令,k,0+,，即可得出前面不考虑空气阻力时的结果。,还应考虑,回声,传回来所需要的时间。为此，令石块下落 的真正时间 为,t,1,，声音传回来的时间记 为,t,2,，还得解一个方程组：,这一方程组是,非线性,的，求解不太容易，为了估算崖高竟要去解一个非线性主程组似乎不合情理,相对于石块速度，声音速度要快得多，我们可 用方法二先求一次,h,，令,t,2,=h,/,340,，校正,t,，求石块下落时间,t,1,t-t,2,将,t,1,代入式,再算一次，得出崖高的近似值。例如， 若,h=,69.9,米，则,t,2,0.21,秒，故,t,1,3.69,秒，求得,h,62.3,米。,例4,录像带还能录多长时间,录像机上有一个四位计数器，一盘,180,分钟,的录像带在开始计数时为,0000,，到结束时计,数为,1849,，实际走时为,185,分,20,秒。我们从,0084,观察到,0147,共用时间,3,分,21,秒。若录像,机目前的计数为,1428,，问是否还能录下一个,60,分钟的节目？,r,R,l,由,得到,又 因和 得,积分得到,即,从而有,我们希望建立一个录像带已录像时 间,t,与计数器计 数,n,之间的函数关系。为建立一个正确的模型，首 先必须搞清哪些量是常量，哪些量是变量。首先，录像 带的磁带的厚 度是 常量，它被绕在一个半径 为,r,的园盘上，见图。磁带转动中的线速 度,v,显然也是常数，否则图象声音必然会失真。此外，计数器的读 数,n,与转过的圈数有关，从而与转过的角 度,成正比。,r,R,l,此式中的三个参数,、,v,和,r,均不易精确测得，虽然我们可以从上式解出,t,与,n,的函数关系，但效果不佳，故令,则可将上式简化为：,故,令,上式又可化简记成,t= an,2,+bn,t= an,2,+bn,r,R,l,上式以,a,、,b,为参数显然是一个十分明智的做法，它为公式的最终确立即参数求解提供了方便。将已知条件代入，得方程组：,从后两式中消 去,t,1,，解得,a=,0.0000291,b=,0.04646,故,t=,0.0000291,n,2,+0.04646,n,，令,n=,1428,，得到,t=,125.69,（分）由于一盒录像带实际可录像时间为,185.33,分，故尚可录像时间 为,59.64,分，已不能再录下一个,60,分钟的节目了。,例5,将形状质量相同的砖块一一向右往外叠放，欲尽可能地延伸到远方，问最远可以延伸多大距离。,设砖块是均质的，长度与重量均 为1，其 重心在中点1/2砖长处，现用,归纳法,推导。,Z,n,(,n,1),n,(,n,1),由第,n,块砖受到的两个力的力矩相等，有：,1/2-,Z,n,= (,n,1),Z,n,故,Z,n,=1/(2,n,),，从而上面 n块砖向右推出的总距离为 ，,故砖块向右可叠至,任意远,，这一结果多少,有点出人意料。,例6,某人住在某公交线附近，该公交线路为在A、B两地间运行，每隔 10分钟A、B两地各发出一班车，此人常在离家最近的 C点等车，他发现了一个令他感到奇怪的现象：在绝大多数情况下，先到站的总是由 B去A的车，难道由 B去A的车次多些吗？请你帮助他找一下原因,AB发出车次显然是一样多的，,否则一处的车辆将会越积越多。,由于距离不同，设,A,到,C,行驶,31,分钟，,B,到,C,要行驶,30,分钟，考察一个时间长度 为,10,分钟的区间，例如，可以从 A方向来的车驶 离,C,站时开始，在其后的,9,分钟内到达的乘客见到先来的车均为,B,开往,A,的，仅有最 后,1,分钟到达的乘客才见到 由,A,来的车先到。由此可见，如果此人 到,C,站等车的时间是随机的，则他先遇 上,B,方向来的车的概率为,90%,。,例7,方桌问题,将一张四条腿的方桌放在不平的地面上，不,允许将桌子移到别处，但允许其绕中心旋转,，是否总能设法使其四条腿同时落地？,不附加任何条件，答案,显然 是否定的，,因此我们,假设,（1）,地面为连续曲面,（2）,方桌的四条腿长度相同,（3）,相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的,（4）,方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。,总可以使三条腿同时着地。,现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以方桌的中心为坐标原点作直角坐标系如 图所示，方桌的四条腿分别在,A、B、C、D,处，,A、C,的初始位置在x轴上，而,B、D,则在,y,轴上，当方桌绕中 心,0,旋转时，对角线,AC,与,x,轴的夹角记为,。,容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令,f(),为,A、C,离地距离之和，,g(),为,B、D,离地距离之和，它们的值 由,唯一确定。由,假设（1），,f()、g(),均为,的连续函数。又 由,假设（3），,三条腿总能同时着地， 故,f()g()=,0,必成立（,）。不妨设,f,(0),=,0,g,(0),0,（若,g(,0,),也为,0,，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为：,y,x,C,D,A,B,o,已知,f()、g(),均为,的连续函数，,f(,0,)=,0,g(,0,),0,且对任意,有,f()g()=,0,，求证存在某一,0,，使,f(,0,)=g(,0,)=,0,。,（证法一）,当,=/,2,时，,AC,与,BD,互换位置，故,f,(,/,2)0, g,(,/,2),=0,。令,h()=f()-g()，,显然，,h(),也是,的连续函数，,h(,0,)=f(,0,)-g(,0,),0,，由连续函数的取零值定理，存在,o,，0,o,0,g(/2)=0,。令,o,=sup |f ()=0，0,显然,0,0,，总有,0,且,0,。因为,f(,0,+)g (,o,+)=,0,，故必有,g (,0,+)=,0,，由,可任意小且,g,连续，可知必 有,g (,0,)=,0,，证毕。证法二除用 到,f、g,的连续性外，还用到了上确界的性质。,圆周率是人类获得的最古老的数学概念之一，早在大约3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已经在 用256/81（约3.1605）作为的近似值了。几千年来，人们一直没有停止过求的努力。,例8,的计算,古 典 方 法,分 析 方 法,其 它 方 法,概率方法,数值积分方法,古典方法,用什么方法来计 算的近似值呢？显然，不可能仅根据圆周率的定义，用圆的周长去除以直径。起先，人们采用的都是用圆内接正多边形和圆外切正多边形来逼近的古典方法。,6,边形,12,边形,24,边形,圆,阿基米德曾用圆内接 96边形和圆外切96边形夹逼的方法证明了,由,和 导出,公元,5,世纪，祖冲之指出,比西方得到同样结果几乎早了,1000,年,十五世纪中叶，阿尔卡西给出的,16,位小数，打破了祖冲之的纪录,1579,年,韦达证明,1630,年,最后一位用古典方法求的人格林伯格也只求到了,的第,39,位小数,分析方法,从十七世纪中叶起，人们开始用更先进的分析方法来求的近似值，其中应用的主要工具是收敛的无穷乘积和无穷级数，在本节中我们将介绍一些用此类方法求近似值的实例。,取,取,1656,年，沃里斯(,Wallis,)证明, 在微积分中我们学过泰勒级数，其中有,当,取,取, 在中学数学中证明过下面的等式,左边三个正方形组成的矩形中， 由 和 可得,和 的展开式的收敛速度都比 快得多,A,C,B,D, 麦琴(,Machin,)给出,(Machin,公式),记 ， ，得,此式求得了,的第,100,位小数且全部正确,其它方法,除用古典方法与分析方法求的近似值以外，还有人用其他方法来求的近似值。这里我们将介绍两种方法：,概率方法,数值积分方法,概率方法,取一个二维数组（x,y），取一个充分大的正整 数n，重复n次，每次独立地从 （0，1）中随机地取一对 数x和y ，分别检验x,2,+y,2,1是否成立。 设n次试验中等式成立的共有m次，令4m/n。,但这种方法很难得到的较好的近似值。,数值积分方法,还可用其它数值积分公式来求，但用此类方法,效果也很难做得比用幂级数展开更好,