函数的极值与最值

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,二、最大值与最小值问题,一、函数的极值及其求法,第五节,函数的极值与最值,第三章,函数的极值及其求法,由单调性的判定法则，结合函数的图形可知，曲线在升、降转折点处形成“峰”、“谷”，函数在这些点处的函数值大于或小于两侧附近各点处的函数值。函数的这种性态以及这种点，无论在理论上还是在实际应用上都具有重要的意义，值得我们作一般性的讨论。,一、函数极值的定义,定义,函数的极大值与极小值统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,二、函数极值的求法,定理,1,(,必要条件,),定义,注意,:,例如,注,这个结论又称为,Fermat,定理,如果一个可导函数在所论区间上没有驻点,则此函数没有极值，此时导数不改变符号,不可导点也可能是极值点,极值可疑点：,驻点、不可导点,极值可疑点是否是真正的极值点，还须进一步,判明。由单调性判定法则知，若极值可疑点的左、右两侧邻近，导数分别保持一定的符号，则问题即可得到解决。,定理,2(,第一充分条件,),(,是极值点情形,),求极值的步骤,:,(,不是极值点情形,),例1,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理,3(,第二充分条件,),证,例2,解,图形如下,注意,:,例3,解,注,:,函数的不可导点,也可能是函数的极值点,.,例,4,证,（不易判明符号）,而且是一个最大值点，,利用导数的性质证明不等式是一种常用的,技巧,它包含以下几个部分,:,利用微分中值定理,利用泰勒公式,(,二阶以上的,),利用函数的单调性和凹凸性,利用函数的极值和最值,充分条件来判定有无极值,;,对于只有驻点而没有导数不存在的点,可用第二充分条件判断有无极值,.,运用极值第一、第二充分条件需要注意,:,若函数有导数不存在的点时,则可用第一,(1),(2),则,最大值、最小值问题,在生产实践中，为了提高经济效益，必须要考虑在一定的条件下，怎样才能使用料最省，费用最低，效率最高，收益最大等问题。这类问题在数学上统统归结为求函数的最大值或最小值问题。最值问题主要讨论问题的两个方面：最值的存在性；最值的求法。,假定,f,(,x,),在,a,b,上连续，除去有限个点外处处可导，且至多有有限个点处导数为,0,。我们就在这样的条件下讨论,f,(,x,),在,a,b,上的最值的求法。,一、最值的求法,首先由闭区间上连续函数的性质,f,(,x,),在,a,b,上必存在最大值和最小值,其次，若最大值（或最小值）在开区间内取得，,则这个最值一定是 极值，由假定，这个点一定是驻点或不可导点；此外最值也可能在区间的端点处取得，故求连续函数在闭区间上最值的方法是,(1),其中最大(小)者,求连续函数,f,(,x,),在闭区间,a,b,上的最大,(,小,),值的方法,:,将闭区间,a,b,内所有驻点和导数不存在的,区间端点,的,就是,f,(,x,),最值必在端,(2),点处达到,.,点,(,即为,极值可疑点,),处的函数值和,函数值,f,(,a,),f,(,b,),比较,在闭区间,a,b,上的最大,(,小,),值,.,当,f,(,x,),在闭区间,a,b,上,单调,时,(3),(4),若连续函数,f,(,x,),在区间,I,内只有,一个极值点,为极大(小)值,区间,I,上的最大,(,小,),值,.,对实际问题常常可事先断定最大,(,小,),值必在,区间内部取得,如果连续函数在区间内又仅有,一个极值可疑点,那末这点处的函数值就是最,大,(,小,),值,.,二、应用举例,例1,解,计算,例,2,解,得驻点,这些点处的函数值为：,比较以上各点处的函数值可知：,练习,解,驻点,:,导数不存在的点,:,最大值,最小值,最大值与最小值,.,实际问题求最值应注意,(1),建立目标函数,;,(2),求最值,;,若目标函数只有唯一驻点,则该点的函数,值即为所求的最大,(,小,),值,.,例,3.,可口可乐公司要设计一个容量为 的圆柱体易拉罐饮料瓶,试问易拉罐的半径和高的比例等于多少时所用材料最省？,则问题归结为求,r,h,在条件,解,:,设,r,h,分别表示半径和高,下圆柱体饮料瓶的表面积,最小,.,为此，将条件 带入表达式,中即得：,由条件,故可口可乐易拉罐饮料瓶的半径与高的比例为,时所用的材料最省。,令,例,4,某房产开发商有,50,套公寓要出租，当租金定为每月,1800,元时，公寓会全部租出去当租金每月增加,100,元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每套每月需花费,200,元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月 元，,租出去的房子有 套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为,3500,元时收入最高。,最大收入为,例,5,解,如图,解得,小结,极值,是函数的,局部,概念：可有多个,极大值和极小值；可能,有某个,极小值大于,某个,极大值,.,函数的极值必在,驻点和不可导点,取得,.,充分性,判别法,第一充分条件,;,第二充分条件,;,(,注意使用条件,),。,最值,是,整体,概念,.,求实际问题中的最值的步骤,.,思考题,解答,:,不,一定,.,因为最值点不一定是内点,.,例,在 有最小值，但,O,x,y,1,y=x,试问,为何值时,在,时取得极值,还是极小,.,解,:,由题意应有,又,取得极大值为,练习,1,求出该极值,并指出它是极大,练习,2,解,目标函数,得,(1),(2),求最大值点,半径为,R.,求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的,设圆柱体的高为,2,h,底半径为,r,体积为,V,圆柱体的最大体积一定存在,故,唯一驻点,就是最大值点,最大体积为,令,得,(,舍去负值,),唯一驻点,费 马,Pierre de Fermat,(1601,1665),费马，法国数学家,.,出身于一个商人,家庭,.,他的祖父、父亲、叔父都从商,.,他,的父亲是当地的第二执政官,经办着一个,生意兴隆的皮革商店,.,费马毕业于法国奥尔良大学，以律师,为职,.,曾任图卢兹议会会员,享有长袍贵,族特权,.,精通,6,种语言,.,业余爱好数学并,在数论、几何、概率论、微积分等领域内,作出了创造性的工作,.,费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡”,.,