多自由度系统的运动方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单自由度系统回顾,单自由度系统运动方程的建模,牛顿第二定律（向量方法），达朗伯原理,能量方法,d(U+T)=0,单自由度系统,固有频率计算方法,根据运动方程,能量方法,Umax=Tmax,单位加速度法,初始条件下系统的运动方程,多自由度系统,单自由度系统回顾,单自由度系统回顾,等效质量与等效刚度计算,等效质量动能等效,等效刚度势能等效,阻尼自由振动,三种阻尼类型（粘性，库伦，结构）,阻尼比与临界阻尼，振动方程的解，初始条件下的响应,对数衰减率测定系统阻尼,粘性阻尼与库伦阻尼的衰减特征,多自由度系统,单自由度系统回顾,单自由度系统回顾,简谐强迫振动,简谐强迫振动的解，复指数法,频响函数与频响特性曲线,品质因数与半功率带，半功率带法测量阻尼,旋转失衡与基础振动引起的简谐强迫振动方程、频响函数,多自由度系统,单自由度系统回顾,多自由度系统的,运动微分方程,牛顿第二定律矢量建模方法,影响系数法,刚度影响系数法,柔度影响系数法,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,Lagrange,方程建模方法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,牛顿第二定律建模,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,这种用矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。,象例题中在各个离散质量上建立的坐标系为描述系统的,物理坐标系,，在此坐标下的系统质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵为系统的,物理参数,。,多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是,对称矩阵,。,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,根据上式得到列系统的运动微分方程的一种简单的方法：,先求出系统的动能、势能和能量耗散函数，然后利用上式求出系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，最终求出系统的运动微分方程。,这样的优点是，由于系统的动能、势能和能量耗散函数是标量，可以不考虑力的方向。,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,多自由度系统,的,运动微分方程,牛顿第二定律矢量建模方法,影响系数法,刚度影响系数法,柔度影响系数法,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,Lagrange,方程建模方法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,牛顿第二定律建模,影响系数法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,影响系数法,影响系数法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。,画出各物块的受力图根据平衡条件，有,首先令,在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力,刚度影响系数 作用力方程,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,画出受力图，则有,同理，令,画出受力图，有,最后令,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,因此刚度矩阵为,刚度矩阵一般是对称的。,实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,柔度影响系数 位移方程,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,当受到,F,1,作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二和第三个弹簧的变形为零。,首先施加单位力,这时三物块所产生的静位移分别是,所以三物块的位移都是,F,1,F,1,现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有,令,F,2,第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,F,3,再令,可得到,系统的柔度矩阵为,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,柔度矩阵一般也是对称的。,实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即,系统的柔度矩阵为,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,对于图所示的系统，也可用柔度影响系数来建立其运动微分方程。,系统运动时，质量的惯性力使弹簧产生变形,应用叠加原理可得到,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,写成矩阵形式,位移方程,是非奇异的，即 的逆矩阵存在,与作用力方程比较,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,即当刚度矩阵,是非奇异时,，刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵；,当刚度矩阵是奇异时，不存在逆矩阵即无柔度矩阵。,此时系统的平衡位置有无限多或者说它有刚体运动。,如图示系统具有刚体运动，柔度矩阵不存在。,柔度矩阵与刚度矩阵之间的关系,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,例,试求图示悬臂梁的柔度影响系数，并建立其位移方程。,(,梁的弯曲刚度为,EI,，其质量不计,),解：取,y,1,、,y,2,为广义坐标，根据柔度影响系数的定义，表示在,m,1,处施加单位力,(,沿,y,1,方向,),并在,m,1,处产生的位移。,表示在,m,2,处施加单位力,(,沿,y,2,方向,),并在,m,2,处产生的位移。有,按材料力学的挠度公式，则有,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,表示在,m,2,处施加单位力在,m,1,处产生的位移等于在,m,1,处施加单位力在,m,1,处产生的位移。有,柔度矩阵为,得系统的位移方程,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,影响系数法,多自由度系统,的,运动微分方程,牛顿第二定律矢量建模方法,影响系数法,刚度影响系数法,柔度影响系数法,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,Lagrange,方程建模方法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,约束、自由度与广义坐标,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,虚位移原理是分析非自由质点系平衡的最普遍的原理。,虚位移原理可表述为：具有理想约束的质点系，在给,定位置保持平衡的必要和充分条件是：所有作用于该,质点系上的主动力在任何虚位移中所作的虚功之和等,于零。即,虚位移原理,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,质点,M,i,上的主动力和虚位移分别用,F,i,和,r,i,表示，虚位移原,理的矢量表达式为,在直角坐标系的投影表达式为,虚功方程,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,根据虚功原理，可以得出达朗贝尔原理的另一种叙述方式：,在具有理想约束的质点系中，在任一瞬时，作用于各质点上,的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上所作虚功之和等于,零。这就是动力学普遍方程，即,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,在,t,1,与,t,2,区间的虚位移,q,i,是任意的，而且,q,i,彼此独立的。,因此，得到著名的,拉格朗日方程,拉格朗日方程提供了解决有限自由度完整系统运动的一个普遍,的简单而又统一的方法。,解,：取刚体质心,O,点偏离平衡位置的,x,、,y,和,刚体绕质心的转角,为广义坐标，即,例题,图示的刚体由四根拉伸弹簧支承，被限制在图示平面内运动。图示位置为平衡位置。且质量为,m,，转动惯量,I,O,。试导出微幅运动微分方程。,并且四根弹簧端点的坐标分别为,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,系统的动能为,系统的势能为,计算拉格朗日方程中各项导数,拉格朗日方程,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,代入拉格朗日方程，得系统运动微分方程为,多自由度系统,多自由度系统的运动微分方程,-,Lagrange,方程方法,多自由度系统,习题,习题,4.1,，,4.2,