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Hauptteiltext,Zweite Ebene,Dritte Ebene,Folientitel,第,6,章 线性二次型的最优控制,第,6,章 线性二次型的最优控制,本章主要内容：,6.1,线性二次型问题,6.2,状态调节器,6.3,输出调节器,6.4,跟踪器,线性二次型问题的特点,（1）,最优解可写成统一的解析表达式，实现求解过程规范化,（2）可以兼顾系统的性能指标（快速性、准确性、稳定性、灵敏度）,6.1,线性二次型问题,线性二次性问题的提法：,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束,，,用 表示期望输出，则误差向量为,正定二次型,半正定二次型,实对称阵,A,为,正定（,半正定,）,的充要条件是全部特征值,0,（,=0,)。,加权矩阵总可化为对称形式。,求最优控制 ，使下列二次型性能指标最小。,性能指标的物理含义,：,加权矩阵的意义,：,（1）,F,Q,R,是衡量误差分量和控制分量的加权矩阵，可根据各分量的重要性灵活选取。,（2）采用时变矩阵,Q(t),R(t),更能适应各种特殊情况。,例如：,Q(t),可开始取值小，而后取值大,线性二次型问题的本质,：,用不大的控制，来保持较小的误差，以达到能量和误差综合最优的目的。,线性二次型问题的三种重要情形,：,6.2,状态调节器问题,设线性时变系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束,，,求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,6.2.1,有限时间状态调节器问题,物理意义,：以较小的控制能量为代价，使状态保持在零值附近。,解：,1.应用最小值原理求解,u(t),关系式,因控制不受约束，故沿最优轨线有：,（,R(t),正定，保证其逆阵的存在。）,规范方程组：,写成矩阵形式：,其解为：,下面思路：,确定 与 的关系，带入 （5-6）形成,状态反馈,横截条件给出了终端时刻二者的关系：,即,为了与（5-10）建立联系，将（5-9）写成向,终端,转移形式：,（5-13）-（5-12）*,F,可得,可实现最优,线性反馈控制,下面思路：,求解,P(t),但直接利用（5-16）求解，涉及矩阵求逆，运算量大,（5-17）对时间求导,2.应用其性质求解,p(t),（5-20）与（5-19）相等，可得,黎卡提方程,（,Riccati,),边界条件：,还可进一步证明，最优性能指标为：,黎卡提方程求解问题：,（1）,可以证明，,P(t),为对称矩阵，只需求解,n(n+1)/2,个一阶微分方程组。,（2）为,非线性,微分方程，大多数情况下只能通过计算机求出数值解。,（1）根据系统要求和工程实际经验，选取加权矩阵,F,Q,R,3. 状态调节器的设计步骤,（2）求解黎卡提微分方程，求得矩阵,P(t),（3）求反馈增益矩阵,K(t),及最优控制,u,*,(t),（4）求解最优轨线,x,*,(t),（5）计算性能指标最优值,例,6-1,已知一阶系统的微分方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：,二次型性能指标为：,其中,p(t),为黎卡提方程的解,最优轨为如下时变一阶微分方程的解(可得出解析解）,利用,matlab,求解黎卡提方程的解（数值解）,文件名：,dfun1.mat,function,dy,= dfun1(t,y),dy,= zeros(1,1); % a column vector,a=-1;,q=1;,r=1;,dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)2-q;,利用,matlab,求解黎卡提方程的解（数值解）,文件名：,cal_p.mat(,主程序）,options = odeset(RelTol,1e-4,AbsTol,1e-4);,f=0; %initial value,sol = ode45(dfun1,1 0,f,options);,x = linspace(1,0,100);,y =,deval(sol,x,);,plot(x,y);,disp(y(100); %p(t0)=y(100),利用,matlab,进行,最优控制系统仿真,设线性定常系统的状态方程为,假设控制向量 不受约束,，,求最优控制 ，使系统的二次型性能指标取极小值。,6.2.1,无限时间状态调节器问题,说明：,1）要求,系统完全能控。,2）,F=0,人们所关心的总是系统在有限时间内的响应,最优轨线满足下列线性定常齐次方程：,性能指标最优值,可以证明：,P,为,正定,常数矩阵,，满足下列黎卡提,矩阵代数方程,。,可以证明：,线性定常最优调节器组成的闭环反馈控制系统，是,渐近稳定,的。,例,6-2,已知二阶系统的状态方程为,求使性能指标为极小值时的最优控制。,解：化为标准矩阵形式,二次型性能指标为：,验证系统能控性,展开整理得到三个代数方程,P,满足下列黎卡提矩阵代数方程：,系统完全能控，且,Q,R,为正定对称矩阵，故最优控制存在且唯一,解之,利用矩阵,P,正定的性质,与给定条件 矛盾，故假设 不成立,下面用反证法证明 不是所求的根,最优控制为：,利用矩阵,P,正定的性质,最优状态调节器闭环系统结构图,闭环系统传递函数,闭环极点为,a2,实根，过阻尼,a2,复根，衰减震荡,利用,matlab,计算和仿真,A=0 1;,0 0,B=0;,1,a=2,b=1,Q=1 b;,b a,R=1,K=lqr(A,B,Q,R,0),第,6,章 结束语,研究对象：线性系统在二次型性能指标下的最优控制问题。,调节器问题,：状态调节器,输出调节器,跟踪问题,与经典控制问题的关系,线性二次型最优控制问题可看作是经典控制问题的延伸，是在综合性能指标下的最优控制问题。,线性二次型最优控制问题的性能指标与经典控制中的性能指标，如适度的超调量、高的环路增益、平坦的频率响应等是一致的。,在实际工程中，如对控制分量加以限制，则最优解将不是线性的。,本章要点,：状态调节器的控制规律,
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