一元二次方程根与系数的关系复习课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,九年级数学(人教版)上册,21.2.4 一元二次方程根与系数的关系,复习课,复,习,一元二次方程根与系数的关系,推论,1,推论,2,说出下列各方程的,两根之和,与,两根之积,：,(1)x,2,-2x-1=0,(3)2x,2,-6x=0,(4)3x,2,=4,(2)2x,2,-3x+=0,x,1,+x,2,=2,x,1,x,2,=-1,x,1,+x,2,=,x,1,+x,2,=3,x,1,+x,2,=0,x,1,x,2,=,x,1,x,2,=0,x,1,x,2,=-,说一说：,在使用,韦达定理,时,，应注意：,、不是一般式的要先化成一般式；,、在使用X,1,+X,2,=,时，注意“,”不要漏写。,（3）,前提是方程有实数根即,0,几种常见的求代数式的值,引申:1、若a,x,2,b,x,c,0(a,0,0),（1）若两根互为相反数,（2）若两根互为倒数,（3）若一根为0,（4）若一根为1,（5）若一根为,1,（6）若a、c异号,补充规律：,则,b,0;,则,a,c;,则,c,0;,则,a,b,c,0;,则,a,b,c,0;,方程一定有两个实数根,.,例,1、已知方程,x,2,-(k+1),x,+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解法一：,设方程的另一个根为,x,1,.,由韦达定理，得,x,1,2=k+1,x,1,2=3k,解这方程组，得,x,1,=3,k=2,答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。,作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。,例1、已知方程,x,2,-(k+1),x,+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值。,解法二：,设方程的另一个根为x,1,.,把,x,=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0,解这方程，得 k=-2,由韦达定理，得,x,1,23k,即2,x,1,6,x,1,3,答：方程的另一个根是3 ,k的值是2。,作用1：已知方程一根，求另一根及未知数。,解：设方程的两根分别为 和 ，,则：,而方程的两根互为倒数,即,所以：,得：,例,2.,方程 的两根互为倒数，求,k的值。,例,3.方程,3,x,2,+,x,+k=0的两根之积为-3,求k的值。,解：设方程的两根分别为,x,1,和,x,2,，,则：,x,1,x,2,=,k=-9,例1.已知两个数的和是1，积是-2，求这两 个数。,解法一:设两数分别为x,y则:,解得:,x=2,y=1,或,1,y=2,解法二:设两数分别为一个一元二次方程,的两根则:,求得,这两个数为2和-,作用2：已知两个数的和与积，求两数,例2.,已知两数之和为14，乘积为,-,51，求这两数.,设这两数为,m,n,，,解：,m,n,可以看作是方程,x,2,-,14,x,-,51,=,0的两个根,这两数为17，,-,3,作用2：已知两个数的和与积，求两数,作用3：求代数式的值,例1、已知2,x,2,-,x,-2=0的两根是,x,1,x,2 。,求下列代数式的值。,(1),x,1,2,+,x,2,2,（2）（3）（,x,1,-,x,2,),2,解：,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,x,1,2,+,x,2,2,(,x,1,x,2,),2,-2,x,1,x,2,（2）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,（3）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,（,x,1,-,x,2,),2,=,x,1,2,+,x,2,2,-2,x,1,x,2,=(,x,1,+,x,2,),2,-4,x,1,x,2,作用3：求代数式的值,(4)(,x,1,+1)(,x,2,+1),（5）,x,1,-,x,2,（6）,（4）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,原式=,x,1,x,2,+,x,1,+,x,2,+1=,（5）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,（6）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,（7）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,(,x,1,-,x,2,),2,=(,x,1,+,x,2,),2,-4,x,1,x,2,（8）,x,1,+,x,2,=,x,1,x,2,=-1,例2.已知方程的两个实数根,是,且,求,k的值。,解：由根与系数的关系得,x,1,+,x,2,=-k，,x,1,x,2,=k+2,又,x,1,2,+,x,2,2,=4,即(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,=4,K,2,-,2(k+2）=4,K,2,-2k-8=0,解得：,k=4 或k=-2,=,K,2,-4k-8,当k=4时，,=-80,k=4(舍去）,当k=-2时，,=40,k=-2,1.,已知a、b是一元二次方程,x,2,+3,x,-7=0的两个实数根，求代数式a,2,+4a+b的值,解：a、b是一元二次方程,x,2,+3,x,-7=0的两个实数根,a,2,+3a-7=0，a+b=-3，,则a,2,+4a+b=a,2,+3a+a+b=7-3=4,课堂练习,作业：已知m、n是方程,x,2,-3,x,+1=0的两根，求2m,2,+4n,2,-6n+2014的值。,2.已知,x,1,、,x,2,是方程,x,2,+(m-2),x,+2=0的两个实数根，求(2+m,x,1,+,x,1,2,)(2+m,x,2,+,x,2,2,)的值。,解：,x,1,2,+(m-2),x,1,+2=0,x,2,2,+(m-2),x,2,+2=0,x,1,2,+2=2,x,1,-m,x,1,x,2,2,+2=2,x,2,-m,x,2,又,x,1,x,2,=2,原式=(2,x,1,-m,x,1,+m,x,1,)(2,x,2,-m,x,2,+m,x,2,),=2,x,1,2,x,2,=,4,x,1,x,2,=4,2,=8,作业：已知,x,1,、,x,2,是方程,x,2,-2013,x,+1=0的两个实数根，求(1-2015,x,1,+,x,1,2,)(1-2015,x,2,+,x,2,2,)的值。,3.已知,m,2,+,2m,-,2009,=,0,，,n,2,+2n,-,2009=0（m,n）求(m,-,1)(n,-,1).,解:,由已知条件得，,m,n是方程,x,2,+,2,x,-,2009,=,0的两个不相等的实数根，,由韦达定理得：,m+n=,-,2,mn=,-,2009,(m,-,1)(n,-,1)=,mn,-,(m+n)+1,=,-,2009,-,(,-,2)+1,=,-,2006,课堂练习,4.已知3m,2,-2m-5=0,5n,2,+2n-3=0.其中m,n为实数，求 的值。,解：3m,2,-2m-5=0 与,由于m,的关系没有给定，故应分两种情况：,当m=时，,当m 时，可知m,是方程,3,x,2,-2,x,-5=0,的两个根，则,综合，得 或,5,.,已知：,x,1,、,x,2,是方程,x,2,-,x,+a=0,的两个实数根，,且 ，求,a,的值,.,解：据题意得,x,1,+,x,2,=1；,x,1,x,2,=a,3a,2,+2a-1=0，即,又,=1-4a0，,a,a=1/3舍去，a=-1.,7.已知方程,x,2,+3,x,+1=0的两个根为,求 的值。,解：,8.已知关于,x,的方程,x,2,+2（m-2）,x,+m,2,+4=0,有两个实数根,，并且这,两个根的平方和,比,两根的积大,21,。求,m的值。,解=4(m-2),2,-4(m,2,+4)=-16m0,m0,设方程两个根为,x,1,、,x,2,，则由题意：,x,1,+,x,2,=-2(m-2),x,1,x,2,=m+4,x,1,2,+,x,2,2,-,x,1,x,2,=21,(,x,1,+,x,2,),2,-3,x,1,x,2,=21,4(m-2),2,-3(m,2,+4)=21,m,2,-16m-17=0,m,1,=-1，m,2,=,17（不符合m0，舍去）,m=-1,9,.,当,m,为何值时，2,x,2,-,3,m,x,+,2,m,+,3,=0的一个根是另一个根的两倍.,解：设两根分别为,则由韦达定理得：,2,得,10.已知一元二次方程2,x,2,-m,x,-2m+1=0的两根的平方和是 ，求的m值。,解：设方程两根为,x,1,x,2,.则,解得：m,1,=-11,m,2,=3,当m=-11时，方程为2,x,2,+11,x,+23=0,=11,2,-42230,方程无实数根，m=-11不合题意，舍去,当m=3时，方程为2,x,2,3,x,5=0,=(-3),2,-42(-5),0,方程有两个不相等的实数根.,m的值为3,11已知,x,1,，,x,2,是关于,x,的一元二次方程,k,x,2,+4,x,-3=,0的两个不相等的实数根。求k的取值范围；是否存在这样的实数k，使 成立？若存在,，,求k的值；若不存在，请说明理由,解：4,2,-4k(-3)0且k0,k 且k0,假设存在.,存在满足条件的k值，且k=4,1.已知关于,x,的一元二次方程,(k-1),x,2,+(2k+2),x,+k=0有,两个不相等的实数根。求实数k的取值范围；是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。,解：（2k+2),2,-4k(k-1)0且k-10,k 且k1,假设存在,设方程的两根为,x,1,，,x,2,不存在满足条件的k,13.是否存在实数m，使关于,x,的一元二次方程,x,2,-2(m-2),x,+m,2,=0的两实数根的平方和为56，若存在，求出m的值；若,不存在，请说明理由。,解：假设存在,设方程的两根为,x,1,，,x,2,x,1,+,x,2,=2(m-2)=2m-4,x,1,x,2,=m2,又,x,1,2,+,x,2,2,=56,(,x,1,+,x,2,),2,-2,x,1,x,2,=56,(2m-4),2,-2m,2,=56 即m,2,-8m-20=0,解得：m,1,=10,m,2,=-2,当m=10时，方程为,x,2,-16,x,+100=0,=(-16),2,-41000，方程无实数根，m=10不合题意，舍去,当m=-2时，方程为,x,2,+8,x,+4=0,=8,2,-440,方程无实数根，m=-2不合题意，舍去,不存在满足条件的m,例1.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程,x,2,-,6,x,+2=0,的两根平方的倒数.,解：设方程,x,2,-,6,x,+2=0的两根为,m,n,设所求方程的两根为,x,1,x,2,作用4：求作一个一元二次方程,2.,甲、乙两同学解方程,x,2,+p,x,+q=0，甲看错了一次项系数p，解得根为4和-9；乙看错了常数项q，解得根为2和3；求原方程。,解：,甲看错了一次项系数，解得根为4和-9，得q=4(-9)=-36，,乙看错了常数项，解得根为2和3，得p=-（2+3）=-5,则原,方程为,：,x,2,-5,x,-36=0，,例1：,已知方程,x,2,-,2(,k-,1),x,+k,2,-,2=0,解：,（1）设方程的两个根为,x,1,x,2,，,则,x,1,0,，,x,2,0,作用5：研究方程根的情况,（1）,k,为何值时，方程有两个负数根？,例1：,已知方程,x,2,-,2(,k-,1),x,+k,2,-,2=0,（2）,k,为何值时，方程有一正根和负根？,解：,(2)设方程的两个根为,x,1,x,2,，,则,x,1,0,作用5：研究方程根的情况,补充规律：,一正根，一负根,0,x,1,x,2,0,两个正根,0,x,1,x,2,0,x,1,+,x,2,0,两个负根,0,x,1,x,2,0,x,1,+,x,2,0,0,0,例2,：,方程,有一个正根，一个负根，求m的取值范围。,=,即,m0,m-10,0m1,解：设方程的两个根为,x,1,x,2,，,则,x,1,0,总结归纳,1、,应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.,2、,熟练掌握根与系数