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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节,初等多值函数,7,、,幂函数,第二章 解析函数,幂函数的定义,:,利用对数函数，可以定义幂函数：设,a,是任,何复数，则定义,z,的,a,次幂函数为,当,a,为正实数，且,z=,0,时，还规定,由于,因此，对同一个 的不同数值,的个数等于不同数值的因子,个数。,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质：,幂函数的基本性质,:,设在区域,G,内，我们可以把,Ln,z,分成无穷个,解析分支。对于,Ln,z,的一个解析分支，相应地,有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在,G,内解析，并且,其中 应当理解为对它求导数的那个分支，,ln,z,应当理解为对数函数相应的分支。,幂函数的基本性质,:,对应于,Ln,z,在,G,内任一解析分支：当,a,是整数时，,在,G,内有,n,个解析分支；,当,a,是无理数或虚数时，幂函数,在,G,内是同一解析函数；当,时，,在,G,内有无穷多个解析分支,，是一个无穷值多值函数。,幂函数的基本性质,:,例如当,n,是大于,1,的整数时，,称为根式函数，它是,的反函数。当,时，有,这是一个,n,值函数。,幂函数的基本性质,:,在复平面上以负实轴（包括,0,）为割线而得的区,域,D,内，它有,n,个不同的解析分支：,它们也可以记作,这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相,应的连续分支在该处所取的值一致。,支点,:,当,a,不是整数时，原点及无穷远点是,为了理解这些结论，我们在,0,或无穷远点的,充分小的邻域内，任作一条简单闭曲线,C,围绕,0,或无穷远点。在,C,上任取一点 ，,的支点。但按照,a,是有理数或者,a,不是有理数，这,两个支点具有完全不同的性质。,确定,Arg,z,在,的一个值,；相应地确定,在 的一个值,代数支点,:,现在考虑下列两种情况：,(1)a,是有理数,也即第一次回到了它从,，当一点,z,从,出发按反时针或顺时针方向连续,变动,n,周时，,arg,z,从,连续变动到,而,则从,相应地连续变动到,出发时的值。这时，我,们称原点和无穷远点是,的,n,-1,阶支点，,也称,n,-1,为阶代数支点。,无穷阶支点,:,（,2,）,a,不是有理数时，容易验证原点和无穷远点,是,当,a,不是整数时，由于原点和无穷远点是,的无穷阶支点。,的支点，所以任取连接这两个支点的一条简单连,续曲线作为,割线，得一个区域,。在,内，可以把,分解成解析分支。,幂函数的映射性质,:,关于幂函数当,a,为正实数时的映射性质，有下面,的结论：,设 是一个实数，并且,在,z,平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，,得到一个区域,D*,。,考虑,D*,内的角形，,并取 在,D*,内的一个解析分支,幂函数的映射性质,:,当,z,描出,A,内的一条射线时,让 从,0,增加到 （不包括,0,及 ），那么射线,l,扫过角形,A,，,而相应的射线 扫过角形,（不包括,0,），,w,在,w,平面描出一条射线,幂函数的映射性质,:,因此,把夹角为,的角形双射成一个夹角为,的角形，同时，这个函数把,A,中以原点为心的圆弧映射成中,以原点为心的圆弧。,类似地，我们有，当,n,(1),是正整数时，,幂函数的映射性质,:,的,n,个分支,分别把区域,D*,双射成,w,平面的,n,个角形,例,1,、作出一个含,i,的区域，使得函数,例1：,在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支,在点,i,个,的值。,解：我们知道,可能的支点为,0、1、2,与无穷，具体分析见下图,例1：,结论：,0、1、2,与无穷都是,1,阶支点。,可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数,可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到,例1：,因此也可以用,0，1,与 作割线。,我们求函数下述的解析分支,例1：,在,z=i,的值。在,z,=1,处，取,在,w,的,两个解析分支为：,如下图，,例1：,所以,例,2,、验证函数,例2：,在区域,D=,C-,0,1,内可以分解成解析分支；求出,这个分支函数在,(0,1),上沿取正实值的一个分支,在,z=-1,处的值及函数在（,0，1,）下沿的值。,解：我们知道,例2：,例2：,结论：,0、1是3,阶支点，无穷远点不是支点。,例2：,因此，在区域,D=,C-,0,1,内函数可以分解成解析,分支；若在（,0，1,）的上沿规定,在,w,的,四个解析分支为：,则对应的解析分支为,k,=0。,在,z,=-1,处，有，,例2：,所以,对应分支在,(0,1),下沿的取值为,
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