行列式线性代数教程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,广州铁路职业技术学院,（,ZHOU,）,线性代数,行列式,.,矩阵的概念和运算.,逆矩阵.,矩阵的初等变换,.,一般线性方程组.,1,7.1 行列式,主要内容：,1. 二阶行列式.,2.,三阶行列式.,3.,n,阶行列式.,4.,行列式的性质.,5.,克莱姆法制.,2,我们先从解二元线性方程组引入二阶行列式的概念及计算考虑二元线性方程组,一、 二阶行列式,3,如果,那么方程组的解为,4,如果对于方程组的系数,按其在方程组中出现的位置相应地排列成一个方形表,引入记号| |,那么就可以得到一个二阶行列式，并规定为,此式的右端称为二阶行列式的展开式,a,ij,(i,=,1,2,;j=,1,2,),称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列,5,例1,计算下列各行列式,6,类似地，三元线性方程组,二、 三阶行列式,7,的系数所构成的行列式规定为,此式的右端称为三阶行列式按第一行的展开式,8,三阶行列式的计算方法可用图示记忆法，凡是实线上三个元素相乘所得到的项带正号，凡是虚线上三个元素相乘所得到的项带负号这种展开法称为对角线展开法,这种展开法称为对角线展开法,9,下面介绍三阶行列式的展开式,：,10,其中,A,11,、,A,12,、,A,13,分别称为,a,11,、a,12,、a,13,的代数余子式，,11,例2,计算下列三阶行列式：,12,13,三、,n,阶行列式,一个三阶行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般地，可以用,n,个,n,-1,阶行列式来定义,n,阶行列式，下面给出,n,阶行列式的定义：,定义,设,n,-1,阶行列式已经定义，规定,n,阶行列式,14,其中,A,1j,=(-1),1+j,M,1j,(,j,=1,2,n,),这里,M,1j,为元素,a,1,j,的余子式，即为划掉,A,的第1行第,j,列后所得的,n,-1,阶行列式，,A,1j,称为,a,1j,的代数余子式,15,由定义可以看出，行列式是由行列式不同行、不同列的元素的乘积构成的和式这种定义方法称为归纳定义，通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开,16,解 因为,a,12,=,a,13,=0,所以由定义,17,例4,计算行列式,.,18,解,由定义，将,D,n,按第一行展开，得,19,行列式,D,与它的转置行列式,D,T,的值相等,如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和,四、行列式的性质,性质1,性质2,20,如果把行列式,D,的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数,k,则此行列式的值等于,kD,也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面,如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零,如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零,“行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数,k,，,使,a,li,=,ka,lj,(,l,=1,2,n,),性质3,性质,4,推论,性质5,21,22,如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加上另一列（行）的对应元素的,k,倍，则所得行列式与原行列式的值相等,由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：,1.以（,r,）,代表行，（,c,）,代表列,2.把第,i,行（或第,i,列）的每一个元素加上第,j,行（或第,j,列）对应元素的,k,倍，记作（,r,i,）+,k,（,r,j,）,或（,c,i,）+,k,（,c,j,）,3.互换,i,行（列）和,j,行（列），记作（,r,i,）,（,r,j,）,或（,c,i,）,（c,j,）,性质6,23,0,4,3,2,0,-1,-1,1,0,4,4,7,24,0,0,-1,6,0,0,0,11,25,26,27,行列式,D,等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,D,=,a,i,1,A,i,1,+,a,i,2,A,i,2,+,a,i,n,A,i,n,（,i,=1,2,n）,行列式,D,的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即,a,j,1,A,i,1,+,a,j,2,A,i,2,+,a,j,n,A,i,n,=0 （,i,j,=1,2,n,ij,）,例,按第三行展开计算行列式,性质7,推论,28,29,设,n,元,n,个方程组为,其系数行列式为,五、 克莱姆法则,.,30,在系数行列式,D,中第,j,列的元素依次改换为,b,1,，,b,2,，,b,n,，,得到的行列式记作,D,j,，,即：,31,关于线性方程组（1）的解有下述法则：,当线性方程组（1）的系数行列式,D,0,时，该方程组有且只有唯一解：,例,用克莱姆法则解方程组,克莱姆法则,32,解,因为,33,经计算还可得到,34,35,方程组的解为,36,、行列式的概念,.,、行列式的性质,.,、行列式的计算,.,七、小结,作业,4,、克莱姆法则,37,