第七讲微分运动与雅克比矩阵课件

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2007/11/20,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2007/11/20,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2007/11/20,第,3,章 机器人运动学,3.1,机器人的位姿描述,3.2,齐次变换及运算,3.3,机器人运动学方程,3.4,微分运动与雅克比矩阵,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,3.4.1,概 述,机器人的微分运动是研究机器人关节变量的微小变化与机器人手部位姿的微小变化之间的关系。,机器人关节变量的微小变化,d,（,即微分,）,除以时间的微小变化,dt,，就是机器人关节的,速度：,v= d,/,dt,。,因此，本小节研究与,机器人速度相关的计算，包括：关节速度、杆件速度和手部速度，以及关节的速度与其手部在笛卡尔空间中的速度之间的关系。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,两类问题：,1,、已知机器人各关节的速度时，求机器人手部在笛卡尔空间的速度。,2,、已知机器人手部在笛卡尔空间的速度时，求机器人各关节的速度。,应用：机器人控制、误差分析、动力学分析等。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,例：一个有两个转动关节的平面机械手，如图；杆长分别为,l,1,和,l,2,，杆,2,的端点为,M,，关节变量为,1,和,2,，试求,M,速度与关节速度的关系。,解：建立齐次变换,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,点,M,在杆件坐标系中的齐次坐标（,l,2,0,0,1,），,将点,M,在基座标系中表示，有：,即：,求导的：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,写成矩阵形式为：,简写为：,称,J,为雅克比矩阵，它表示末端执行器的速度与关节速度的,“,广义传动比,”,。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4,微分运动与雅克比矩阵,又有：,称为雅克比逆阵。,从上例可看出，通常雅克比矩阵和雅克比逆阵不是常阵，而以关节变量有关。,其中：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,微分变换,-,微小运动,可以证明：绕任意轴,k,转动微量角,d,，可以用绕,x,、,y,、,z,三个坐标轴旋转,x,、,y,和,z,来等价，我们知道：,绕,x,轴旋转的微分变换矩阵为：,绕,y,轴旋转的微分变换矩阵为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,微分变换,绕,z,轴旋转的微分变换矩阵为：,可以证明：上述三个微分旋转变换矩阵按任意顺序相乘，只要略去高阶微量，其结果均为：,（,1,）,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,微分变换,我们知道：绕任意轴的转动的变换矩阵为：,它表示以,k,=(,k,x,k,y,k,z,),为轴转动,角度。,当转角,为微小量时，,sin,，,cos,1,，,vers,=1-cos,0,，可得：,（,2,）,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,微分变换,比较（,1,）与（,2,）式，可知：只要保证：,那么绕任意轴,k,的任何微转动变换，就相当于绕,x,y,z,轴按任意次序进行的三个微转动变换。,另外，微分平移变换为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,微分变换,可以证明，连续微分平移变换的最终结果与变换的次序无关；同样，连续的微分转动变换与微分平移变换与变换的次序无关。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,-,dM,设机器人运动链中某一杆件相对于机座坐标系的位姿为 ，它是一个,4x4,矩阵，其元素以,q,为单变量，即,M=,M(q,),；经过微运动后，,q,变成,q,+,dq,，,该杆件位姿变为 ，则位姿的微小变化为：,若位姿是若干个变量的函数，则：,1,、从微分运算的角度推导变换微分,注意：矩阵的导数等于其各元素的导数。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,例,1,、已知,2,自由度机器人及其坐标系如图所示。,若因杆件,1,下关节轴承装配或制造,不当，使杆件,1,沿关节轴线有,0.05,单位的偏差，又由于两杆件的执行,器运动不准确，旋转执行器使杆件,1,多转一个,0.01rad,的偏差角，移动,执行器使杆件,2,移动了一个,0.1,单位,的偏差距离。若杆件,1,的长度,单位，试求当机器人关节变量取,单位时，机器人,手部位姿的偏差。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,解,：,采用第一坐标系，杆件参数为：,i,d,i,i,l,i,i,1,d,1,1,5,90,2,d,2,0,0,0,机器人手部的位姿为：,两变量,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,M,02,中有三个变量 ，由：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,机器人手部位姿的偏差为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,2,、从坐标系变换的角度推导变换,微分,设,i,为基础坐标系，,j,为当前坐标系，两者之间的位姿关系为,M,0,j,经过微分运动后变为,M,ij,+,d,M,ij,，,即,M,ij,M,ij,+,d,M,ij,。,机器人姿态的上述变化可以分解为微分平移运动和微分旋转运动的组合：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,从位姿,M,ij,运动到位姿,M,ij,+,d,M,ij,，可以通过两种方式实现：即绝对微运动或相对微运动，即：,其中：,称为,变换微分算子（或矩阵）,。,M,dM,M+dM,绝运动对,相对运动,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,1,）、变换微分算子,变换微分算子的形式为：,它包含微分平移和微分旋转两个变换。,微分平移变换矩阵与一般的平移变换矩阵一样，为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,综上所述，变换微分算子即为：,与,Rot(k,d,),矩阵中的元素比较可知：,因此，可看成由,和,d,两个矢量组成的，其中， 称为,微分旋转矢量,，而 称为,微分平移矢量,。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,例：考虑只存在微转动的情况，假设绕,Z,轴做微小转动，如图。,有：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,我们将,和,d,合称为微分运动矢量，用,D,表示为：,注意：对应坐标系,i,和,j,的微分运动矢量是不同的，用,Di,和,Dj,来区分。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,微分运动矢量的物理意义：,微分旋转矢量：,它的方向表示旋转轴方向，大小表示旋转角度，三个分量表示等价的三个绕坐标轴旋转的为角度。,微分平移矢量：,表示坐标原点的微平移量。,变换微分矩阵和变换微分算子,:,变换微分矩阵是与微分旋转矢量和微分平移矢量等价的矩阵表示。,它们都是用元素 对微分运动进行表述，但表述的方式不同。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,例,2,、试用变换微分矩阵来解例,1,所示的问题。,解：当,1,=90,，,l,2,=10,时，机器人手部的位姿为：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,如图所示，机器人手部相对基座坐标系的平移误差和旋转误差就相当于微分平移矢量和微分旋转矢量，即：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,由此可得：,最后，机器人手部姿态的微变化为：,与前面用微分运算的结果相同。,注意：这里的微分运动是在形成,M,02,前完成的，因此，为前乘。另外，对微分运动，运动顺序无关。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,2,）两坐标系间变换微分算子,i,与,j,的关系,设任意两个坐标系,i,和,j,之间的变换关系为,M,ij,。若相对于坐标系,i,进行的微分运动用变换微分算子,i,表示，相对于坐标系,j,的微分运动用,j,表示，定义坐标变换的微分为：,则：,i,和,j,具有不同的微分,运动矢量。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,i,和,j,的微分运动矢量的关系如何？,设,i,的微分运动矢量为：,设：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,可得：,由：,由混合积性质可化简上式，我们知道：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,化简为：,设：,比较两式可得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,上式也可以简写为：,其中：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,dM,ij,以及,i,、,j,的物理意义：,dM,ij,是,j,坐标系相对,i,坐标系的位态的微变化，它既可以通过对,i,坐标系做,i,变换来实现，也可以通过对,j,坐标系做,j,变换来实现。,相对,i,坐标系做,i,变换（左乘）效果上相当于对,j,坐标系做,j,变换（右乘）。,这相当于机器人各关节的微转动，引起机器人手部位态的微变化；或者，机器人各关节的速度，决定机器人手部的速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,例,3,、试,用右乘,微分变换矩阵来解例,1,所示的问题。,解：根据题意有：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,所以,：,相应的,2,为：,则：,可见，与前面例子的结果相同。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,变换微分,得到机器人手部相对于基座坐标系的姿态微变化,dM,后，除以时间的微变化,dt,，就可以获得机器人手部相对基座坐标系的、笛卡尔空间的,速度矢量：,或用运动微分矢量表示：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,机器人的雅可比矩阵,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,这一小节，我们研究机器人手部速度与关节速度之间的关系。,假设我们有六个独立的函数：,把它们统一写成向量函数方程，有：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,将上述各方程求微分，得：,或：,我们称上式中的,6,X,6,偏微分矩阵为雅克比（,JACOBIAN,）矩阵，简记为,J,。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,通常，雅克比矩阵,J,是,x,的函数，我们通常写成：,等号两边除以时间的微分，可得：,这里，雅克比可查看成是将速度,Vx,映射为速度,Vy,。,雅克比矩阵中各元素的意义：,元素 表示单位变量（,dx,i,=1,）对函数值,(,dy,j,),的贡献,。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,如果机器人手部速度是相对,i,坐标系的，那么，其相应的雅克比矩也是相对,i,坐标系的，表示为,J,i,（,X,）。,在机器人学领域，有：,它表示机器人手部相对基座坐标系的笛卡尔速度与关节速度之间的关系。,如果雅克比矩阵的逆存在的话，有：,雅克比矩阵的逆不存在的位置，称为机器人的奇异位置。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,若将手部的变换微分矩阵用微分运动矢量在,n,坐标系中的,分量来表示,，则：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,若令,J,n,为：,称它为机器人的,相对,n,坐标系的雅克比矩阵,，相对不同坐标系有不同的雅克比矩阵。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,雅克比矩阵中各元素的物理意义：,1,）、雅克比矩阵中的第,x,行反应各关节的单位微分运动对机器人手部在,n,坐标系中,x,微分运动分量的影响。,2,）、雅克比矩阵中的,i,列反应,i,号关节的单位微分运动对机器人手部在,n,坐标系中所有微分运动分量的影响。,3,）、雅克比矩阵中元素 反应第,i,关节的单位为运动引起的机器人手部在,n,坐标系中,x,微分运动分量。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,、机器人的雅可比矩阵,若要求相对基座坐标系的雅克比矩阵,J,0,，仅需要通过位姿矩阵,M,0n,将微运动矢量在基座坐标系中表示，相应的雅克比矩阵就是相对基座坐标系的雅克比矩阵。,即：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.2,、机器人的雅可比矩阵,可知：机器人基座坐标系的雅克比矩阵,J,0,的各列矢量可由下式确定：,若已知在,n,坐标系中的雅克比矩阵，在,n,中表示的速度为：,在基坐标系,0,中为：,所以：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.5,雅可比矩阵,雅克比矩阵的应用：,已知手部负载，求关节静力距。,根据功守恒原理，力在任务空间所做的功应等于在关节空间做的功，即：,由于：,有：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.6,小节,机器人的杆件的速度,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.6,机器人的杆件的速度,基本思路：,已知基座速度和各关节的相对速度，从基座速度开始，一步一步递推出末端执行器的速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,机器人杆件的速度包括线速度和角速度，下面介绍如何从,i,杆件的速度递推计算,i+1,杆件的速度。,如图所示，设已知,i,杆件的速度为,i,和,v,i,，,i+1,杆件绕,Z,i+1,轴旋转的角速度为,。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,则：在,i+1,坐标系中表示的,i+1,杆件杆的角速度为：,在,i+1,坐标系中表示的,i+1,坐标系原点的线速度为：,在,i+1,中表示的,i+1,杆的角速度,其中 是在,i,中表示的指向,i+1,原点的距离。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,例,1,、一两杆关节机器人如图所示，计算以关节速度为函数的手尖处的速度。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,解：,1,、建立坐标系，如图：,2,、求位姿矩阵：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,得：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,如果在基座坐标系中表示，仅需乘以,R,03,。,则：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,例,2,、试求例,2,中两杆关节机器人的雅克比矩阵。,解：由例,1,知：,则：,及,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,雅克比矩阵的行数等于笛卡尔空间自由度，列数等于机器人的关节数。,同理，我们可以求相对基座坐标系的雅克比矩阵。,所以：,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,3.4.3,、机器人的杆件的速度,雅克比矩阵的逆为：,当手尖沿,X,方向以速度,1m/s,运动时，由雅克比逆矩阵可得：,当,2,=0,时，上式分母为零，两关节速度将趋于无穷大，它对应机器人的奇异位置。,山东大学机械工程学院机电工程研究所,2010/09/02,