南大材料力学课件第十二章 超静定结构

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,材料力学,*,材料力学,第十二章 超静定结构,11/26/2024,1,材料力学,121,超静定结构,概述,12-4,连续梁与三弯矩方程,第十二章 超静定结构,123,用力法解超静定结构,122,弯曲超静定,问题,11/26/2024,2,材料力学,超静定结构,用静力学平衡方程无法确定全部约束力和内力的结构，统称为,超静定结构或系统,，也称为,超静定结构或系统,。,121,超静定结构,概述,在超静定结构中，超过维持静力学平衡所必须的约束称为,多,余约束,，多余约束相对应的反力称为,多余约束反力,，多余约束的数目为结构的,超静定次数,。,11/26/2024,3,材料力学,超静定问题分类,第一类：仅在结构外部存在多余约束，即支反力是静,不定的，可称为外力超静定系统。,分析方法,1.,力法：以未知力为基本未知量的求解方法。,2.,位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法。,第二类：仅在结构内部存在多余约束，即内力是静不,定的，可称为内力超静定系统。,第三类：在结构外部和内部均存在多余约束，即支反,力和内力是超静定的。,超静定结构,11/26/2024,4,材料力学,第一类,第二类,第三类,超静定结构,11/26/2024,5,材料力学,12,2,弯曲超静定问题,1,、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,解：,建立静定基,确定超静定次数，用反力代替多余约束所得到的结构,静定基。,=,q,0,L,A,B,L,q,0,M,A,B,A,q,0,L,R,B,A,B,x,y,超静定结构,11/26/2024,6,材料力学,几何方程,变形协调方程,+,q,0,L,R,B,A,B,=,R,B,A,B,q,0,A,B,物理方程,变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、 变形等）,超静定结构,11/26/2024,7,材料力学,几何方程,变形协调方程：,解：,建立静定基,=,例,6,结构如图，求,B,点反力。,L,BC,x,y,q,0,L,R,B,A,B,C,q,0,L,R,B,A,B,=,R,B,A,B,+,q,0,A,B,超静定结构,11/26/2024,8,材料力学,=,L,BC,x,y,q,0,L,R,B,A,B,C,R,B,A,B,+,q,0,A,B,物理方程,变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（反力、应力、 变形等）,超静定结构,11/26/2024,9,材料力学,123,用力法解超静定结构,一、力法的基本思路（举例说明）,解：,判定多余约束反力的数目,（一个）,C,例,1,如图所示，梁,EI,为常数。试求支座反力，作弯矩图，并求梁中点的挠度。,P,A,B,(,a,),P,A,B,C,X,1,(,b,),选取并去除多余约束，代,以多余约束反力，列出变形,协调方程，见图,(,b,),。,超静定结构,11/26/2024,10,材料力学,变形协调方程,用能量法计算 和,P,A,B,C,(,c,),x,(,d,),x,A,B,X,1,A,B,1,x,(,e,),由莫尔定理可得,(,图,c,、,d,、,e,),超静定结构,11/26/2024,11,材料力学,求多余约束反力,将上述结果代入变形协调方程得,求其它约束反力,由平衡方程可求得,A,端反力，其大小和方向见图,(,f,),。,C,P,A,B,(,f,),作弯矩图，见图,(,g,),。,(,g,),+,求梁中点的挠度,超静定结构,11/26/2024,12,材料力学,选取基本静定系,(,见图,(,b,),作为计算对象。单位载荷如图,(,h,),。,P,A,B,C,X,1,(,b,),x,1,A,B,C,(,h,),用莫尔定理可得,注意,：对于同一超静定结构，若选取不同的多余约束，则基本静定系也不同。本题中若选固定段处的转动约束为多余约束，基本静定系是如图,(,i,),所示的简支梁。,C,P,A,B,(,i,),X,1,超静定结构,11/26/2024,13,材料力学,二、力法正则方程,上例中以未知力为未知量的变形协调方程可改写成下式,X,1,多余未知量；,d,11,在基本静定系上，,X,1,取单位值时引起的在,X,1,作用点沿,X,1,方向的位移；,D,1,P,在基本静定系上，,由,原载荷引起的在,X,1,作用点沿,X,1,方向的位移；,变形协调方程的标准形式，即所谓的力法正则方程。,超静定结构,11/26/2024,14,材料力学,对于有无数多余约束反力的超静定系统的正则方程如下：,由位移互等定理知：,d,ij,：,影响系数，表示在基本静定系上由,X,j,取单位值时引起的,在,X,i,作用点沿,X,i,方向的位移；,D,iP,：,自由项，表示,在基本静定系上， 由原载荷引起的在,X,i,作用点沿,X,i,方向的位移。,超静定结构,11/26/2024,15,材料力学,例,2,试求图示刚架的全部约束反力，刚架,EI,为常数。,q,a,A,B,a,解：,刚架有两个多余约束。,选取并去除多余约束，代以多,余约束反力。,q,A,B,X,1,X,2,建立力法正则方程,计算系数,d,ij,和自由项,D,iP,用莫尔定理求得,超静定结构,11/26/2024,16,材料力学,q,A,B,x,1,x,2,A,B,x,1,x,2,1,1,A,B,x,1,x,2,超静定结构,11/26/2024,17,材料力学,求多余约束反力,将上述结果代入力法正则方程可得,求其它支反力,由平衡方程得其它支反力，全部表示于图中。,q,A,B,超静定结构,11/26/2024,18,材料力学,三、对称与反对称性质的利用,结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为,对称结构,。,E,1,I,1,E,1,I,1,EI,对称轴,E,1,I,1,E,1,I,1,EI,对称轴,E,1,I,1,E,1,I,1,EI,对称轴,当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生,对称变形,。若外力反对称于结构对称轴，则结构将产生,反对称变形,。,超静定结构,11/26/2024,19,材料力学,正确利用对称、反对称性质，则可推知某些未知量，可大大简化计算过程：如对称变形对称截面上，反对称内力为零或已知；反对称变形反对称截面上，对称内力为零或已知。,对称轴,X,1,X,2,X,2,X,3,P,X,1,X,3,例如：,X,1,X,3,P,X,1,X,3,P,X,2,X,2,P,P,超静定结构,11/26/2024,20,材料力学,例,3,试求图示刚架的全部约束反力。刚架,EI,为常数。,A,B,C,P,P,a,a,解：图示刚架有三个多余未知力。但由于结构是对称的，而载荷反对称，故对称轴横截面上轴力、弯矩为零，只有一个多余未知力（剪力），只需列出一个正则方程求解。,P,P,X,1,X,1,用莫尔定理求,D,1,P,和,d,11,。,超静定结构,11/26/2024,21,材料力学,P,x,1,x,2,x,1,x,2,1,则,由平衡方程求得：,A,B,P,P,M,B,R,B,H,B,M,A,R,A,H,A,超静定结构,11/26/2024,22,材料力学,12-4,连续梁与三弯矩方程,为减小跨度很大直梁的弯曲变形和应力，常在其中间安置若干中间支座，在建筑、桥梁以及机械中常见的这类结构称为,连续梁,。撤去中间支座，该梁是两端铰支的静定梁，因此中间支座就是其多余约束，有多少个中间支座，就有多少个多余约束，中间支座数就是连续梁的,超静定次数,。,一、连续梁与超静定次数,0,1,2,n-,1,n+,1,n,l,1,l,2,l,n,l,n+,1,M,1,M,2,M,n,-1,M,n,M,n,+1,超静定结构,11/26/2024,23,材料力学,二、三弯矩方程,连续梁是超静定结构，静定基可有多种选择，如果选撤去中间支座为静定基，则因每个支座反力将对静定梁的每个中间支座位置上的位移有影响，因此正则方程中每个方程都将包含多余约束反力，使计算非常繁琐。,如果设想将每个中间支座上的梁切开并装上铰链，将连续梁变成若干个简支梁，每个简支梁都是一个静定基。,这相当于把每个支座上梁的内约束解除，即将其内力弯矩,M,1,、,M,2,、,M,n,-1,、,M,n,、,作为多余约束力,(,见上图,),，则每个支座上方的铰链两侧截面上需加上大小相等、方向相反的一对力偶矩，与其对应的位移是两侧截面的相对转角,。,超静定结构,11/26/2024,24,材料力学,如从基本静定系中任意取出两个相邻跨度,l,n,、,l,n,+1,，由于是连续梁，挠曲线在,n,支座处光滑连续,则 变形协调条件为,:,n-,1,n+,1,n,l,n,l,n+,1,M,n,+1,M,n,1,1,w,n,w,n+,1,a,n,b,n+,1,M,n,-1,M,n,-1,M,n,n-,1,n,n+,1,n,M,n,+1,超静定结构,11/26/2024,25,材料力学,1,n,w,n,a,n,M,n,-1,n-,1,l,n,M,n,1.,求,q,n,左,: (,可查表,再用叠加法,;,也可用图乘法或莫尔积分,),M,n,+1,1,w,n+,1,b,n+,1,M,n,n+,1,n,l,n+,1,2.,求,q,n,右,:,超静定结构,11/26/2024,26,材料力学,三弯矩方程,对于连续梁的每一个中间支座都可以列出一个三弯矩方程,.,所以可能列出的方程式的数目恰好等于中间支座的数目，也就是等于超静定的次数。,而且每一个方程式中只含有三个多余约束力偶矩，这就使得计算得以一定的简化。,如各跨截面相同,即,I,n,= I,n+1,则三弯矩方程简化为,:,超静定结构,11/26/2024,27,材料力学,例,4,试用三弯矩方程作等刚度连续梁,AC,的弯矩图。见图,(,a,),。,A,B,C,q,P=ql,l,l,/2,l,/2,解：,AC,梁总共有二跨，跨长,l,1,=,l,2,=,l,。,中间支座编号应取为,1,，即,n,=1,。,由于已知,0,，,2,两支座上无弯矩，故,(,a,),A,B,C,q,P=ql,M,B,(,b,),超静定结构,11/26/2024,28,材料力学,A,B,C,q,P=ql,w,1,w,2,(,c,),由图,(,c,),和,(,d,),图得：,1,A,B,C,1,(,d,),代入三弯矩方程可得,解得,(,方向与图,(,b,),所示相反,),超静定结构,11/26/2024,29,材料力学,+,+,(,e,),将图,(,d,),中的单位弯矩图乘以,便得到,M,B,在简支梁上产生的,M,图，再与载荷引起的,M,图,(,c,),相加，就得到梁,AC,的图，见图,(,e,),。,超静定结构,11/26/2024,30,材料力学,本章结束,11/26/2024,31,材料力学,