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,18.1,平行四边形,/,18.1,平行四边形,/,18.1,平行四边形,/,18.1,平行四边形,/,18.1,平行四边形,18.1.1,平行四边形的,性质,(第,2,课时),人教版,数学,八年级 下册,导入新知,一位饱经苍桑的老人,经过一辈子的辛勤劳动,到晚年的时候,终于拥有了一块平行四边形的土地,由于年迈体弱,他决定把这块土地分给他的四个孩子,他是这样分的:,当四个孩子看到时,争论不休,都认为自己的地少,同学们,你认为老人这样分合理吗?为什么?,老大,老二,老三,老四,2.,能综合运用平行四边形的,性质,解决平行四边形的有关计算问题和简单的证明题,.,1.,掌握平行四边形对角线,互相平分,的性质,.,素养目标,如图,在,ABCD,中,,连接,AC,,,BD,,,并设它们相交于点,O,OA,与,OC,,,OB,与,OD,有什么关系?,D,A,B,C,O,猜想:,平行四边形的对角线互相平分,想一想,平行四边形除了边、角这两个要素的性质外,对角线有什么性质?,知识点,1,平行四边形对角线的性质,探究新知,你能证明这个猜想吗?,如图,在,ABCD,中,对角线,AC,,,BD,相交于点,O,,,OA,与,OC,,,OB,与,OD,有什么关系?,求证:,OA,=,OC,,,OB,=,OD,证明:,四边形,ABCD,是平行四边形,,AB,=,CD,,,AB,CD,.,1=2,,,3=,4,.,COD,AOB,.,OA,=,OC,,,OB,=,OD,D,A,B,C,O,1,2,3,4,证明过程,探究新知,符号语言:,平行四边形的,对角线,互相,平分,.,四边形,ABCD,是,平行四边形,OA,OC,,,OB,OD,(,平行四边形的对角线互相平分,),.,或,或,AC,=2,AO,=2,CO,,,BD,=2,BO,=2,DO,.,探究新知,在,ABCD,中,,,OA,OC,,,OB,OD,(,平行四边形的对角线互相平分,),.,平行四边形的性质,B,O,D,A,C,解:,四边形,ABCD,是平行四边形,,OB,OD,,,AB,CD,,,AD,BC,.,AOB,的周长比,DOA,的周长长,5cm,,,AB,AD,5cm.,又,ABCD,的周长为,60cm,,,AB,AD,30cm.,则,AB,CD,17.5cm,AD,BC,12.5cm.,例,1,已知,ABCD,的周长为,60cm,,对角线,AC,BD,相交于点,O,,,AOB,的周长比,DOA,的周长长,5cm,,求这个平行四边形各边的长,探究新知,素养考点,1,利用平行四边形对角线的性质求线段的值,提示:,平行四边形被对角线,分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差,.,C,B,A,D,O,如,图,,ABCD,的两条对角线相交于点,O,已知,AB,=8cm,BC,=6cm,AOB,的周长是,18cm,,那么,AOD,的周长是,.,C,B,A,D,O,16cm,巩固练习,例,2,如图,,,ABCD,的对角线,AC,,,BD,相交于点,O,,,EF,过点,O,且与,AB,,,CD,分别相交于点,E,,,F,.,求证:,OE,=,OF,.,探究新知,素养考点,2,利用平行四边形对角线的性质求线段的相等,B,C,D,A,O,F,E,证明:,四边形,ABCD,是平行四边形,,AB,CD,,,OA,=,OC,(,平行四边形的性质,).,EAO,=,FCO,(两直线平行,内错角相等,),.,在,AOE,和,COF,中,AOE,=,COF,对顶角相等,OA,=,OC,EAO,=,FCO,AOE,COF,(,ASA,).,OE,=,OF,(全等三角形的对应边相等,),.,改变直线,EF,的位置,,OE,=,OF,还成立吗,?,A,B,C,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,请判断下列图中,,OE,=,OF,还成立吗?,同例,2,易证明,OE,=,OF,还成立,.,探究新知,归纳总结:,过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段总相等,.,如,图,平行四边形,ABCD,中,,AC,BD,交于,O,点,点,E,F,分别是,AO,CO,的中点,试判断线段,BE,DF,的数量关系并证明你的结论,解:,BE,DF,,,BE,DF,.,理由如下:,四边形,ABCD,是平行四边形,,OA,OC,,,OB,OD,.,点,E,F,分别,是,AO,CO,的中点,OE,OF,.,在,OFD,和,OEB,中,,OE,OF,,,DOF,BOE,,,OD,OB,,,OFD,OEB,.,BE,DF,.,DFO,BEO.,BE,DF,.,巩固练习,解:,四边形,ABCD,是平行四边形,,根据勾股定理,得,.,BC,=,AD,=8cm,CD,=,AB,=10cm,.,ABC,是直角三角形,.,又,OA,=,OC,如图,在,ABCD,中,,AB,=10cm,,,AD,=8cm,,,AC,BC,.,求,BC,,,CD,,,AC,,,OA,的长,以及,ABCD,的面积,探究新知,知识点,2,平行四边形的面积,AC,BC,,,A,B,C,D,O,.,已知,:,ABCD,的对角线,AC,,,BD,相交于点,O,,,AC,=16cm,,,BD,=12cm,,,BC,=10cm,,则,ABCD,的周长是,_,,,ABCD,的面积是,_.,40cm,96cm,2,16,12,10,10,6,8,10,10,巩固练习,B,O,D,A,C,如图,,EF,过,ABCD,的对角线,AC,BD,的交点,O,,,AOE,与,COF,的面积有何关系?四边形,AEFD,与四边形,BCFE,的面积有何关系?,F,E,C,B,O,D,A,探究新知,知识点,3,平行四边形中有关图形的面积,解:,相等,.,理由如下:,四边形,ABCD,是平行四边形,,OA,OC,,,OB,OD,.,ADO,与,ODC,等底同高,,S,ADO,=,S,ODC,.,同理可得,S,ADO,=,S,ODC,=,S,BCO,=,S,AOB,.,探究新知,总结:,平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形,且都等于平行四边形面积的,四分之一,.相对的两个三角形全等,.,还可结合全等来证哟,.,B,O,D,A,C,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,A,B,C,D,方案一,方案二,方案四,方案五,方案三,方案六,总结:,过,对角线交点,的任一条直线都将平行四边形分成,面积相等,的两,部分,.,探究新知,A,B,C,D,O,F,E,例,如图,,AC,BD,交于点,O,,,EF,过点,O,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等吗?,M,N,解,:,设直线,EF,交,AD,BC,于点,N,M,.,AD,BC,NAO,=,MCO,ANO,=,CMO,.,又,AO,=,CO,NAO,MCO,,,S,四边形,ANMB,=,S,NAO,+,S,AOB,+,S,MOB,=,S,MCO,+,S,AOB,+,S,MOB,=,S,AOB,+,S,COB,=,.,S,四边形,ANMB,=,S,四边形,CMND,即平行四边形,ABCD,被,EF,所分的,两个四边形面积相等,.,探究新知,素养考点,1,利用平行四边形的有关图形的面积证明相等,A,B,D,O,E,F,A,B,C,D,O,E,F,C,A,B,C,D,O,E,F,如,图,,AC,BD,交于点,O,,,EF,过点,O,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等吗?,同例,3,易求得,平行四边形,ABCD,被,EF,所分的两个四边形面积相等,.,总结:,过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成,面积相,等的两部分,.,探究新知,如,图,欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井,为了浇水的方便,欢欢建议我们经过水井修小路,一样可以把草地分成面积相等的两部分,同学们,你知道聪明的欢欢是怎么分的吗?,B,M,C,D,A,O,解:,如图所示,巩固练习,如图,,在,ABCD,中,全等三角形的对数共有(),A2,对,B3对,C4对,D5对,连接中考,C,B,O,D,A,C,1.,平行四边形的两条对角线把它分成的四个三角形(),A.,都,是等腰三角形,B.,都,是全等三角形,C.,都,是直角三角形,D.,是,面积相等的三角形,D,A,课堂检测,基础巩固题,2.,ABCD,的周长为,40cm,,,ABC,的周长为,25cm,,则对角线,AC,长为(),A.5cm B.15cm C.6cm D.16cm,课堂检测,1,AD,9,O,D,B,A,C,3.,如图,在,ABCD,中,对角线,AC,BD,交于点,O,,,AC,10,,,BD,=8,则,AD,的取值范围是,.,4.,把一个平行四边形分成3个三角形,已知两个阴影三角形的面积分别是9cm,2,和12cm,2,,求平行四边形的面积,解:,(9+12)2,=212,=42(,cm,2,),答:,平行四边形的面积是42,cm,2,课堂检测,如,图,平行四边形,ABCD,中,,DE,AB,于,E,,,DF,BC,于,F,,若平行四边形,ABCD,的周长为48,,DE,=5,,DF,=10,求平行四边形,ABCD,的面积,.,解:,设,AB,=,x,,则,BC,=24-,x,.,根据平行四边形的面积,公式可得,5,x,=10,(,24-,x,),,,解得,x,=16,则平行四边形,ABCD,的面积为516=80,课堂检测,能力提升题,如,图,平行四边形,ABCD,的对角线相交于点,O,,且,AB,AD,,过,O,作,OE,BD,,交,BC,于点,E,.,若,CDE,的周长为10,则平行四边形,ABCD,的周长是多少?,解:,四边形,ABCD,是平行四边形,,AB,=,CD,,,BC,=,AD,,,OB,=,OD,.,OE,BD,,,BE,=,DE,.,CDE,的周长为10,,DE,+,CE,+,CD,=,BE,+,CE,+,CD,=,BC,+,CD,=,10,.,平行四边形,ABCD,的周长为2,(,BC,+,CD,),=20,课堂检测,拓广探索题,平行四,边形对角线的,性质,平行四边形对角线,互相平分,两条对角线分平行四边形为面积,相等,的四个三角形,过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到线段,总,相等,过对角线,交点,的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分,.,且与对角线围成的三角形相对的两个,全,等,课堂小结,
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