信号的时频分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号的时频分析：,信号时频分析的重要性：,时间和频率是描述信号的两个最重要的物理量。,信号的时域和频域之间具有紧密的联系。,信号时频分析的主要方法：,Waves,傅立叶变换用三角函数(正弦波与余弦波)作为正交基函数.,窗口傅立叶变换（Gabor变换）：,窗口傅立叶变换的定义：,假设,f,(t),L,2,(R)，则以,g,(t)作为窗函数的窗口傅立叶变换定义为：,窗口傅立叶变换的物理意义：,若,g,(t)的有效窗口宽度为D,t,，则,WF,g,(,b,)给出的是,f,(t)在局部时间范围b-D,t,/2,b+D,t,/2内的频谱信息。,有效窗口宽度D,t,越小，对信号的时间定位能力越强。,连续小波变换：,连续小波变换的定义：,假设信号,f,(t),L,2,(R)，则它的连续小波变换定义为,：,尺度伸缩参数,时间平移参数,归一化因子,连续小波变换的逆变换,互为对偶关系,尺度和时移参数的离散化：,离散化后的小波变换：,怎样选择小波函数才能够重构信号：,小波函数仍应满足连续小波变换中的容许条件。,小波函数的选择与离散化的程度有关系，离散化参数取样间隔很小时对小波函数的限制也小，而离散化参数的取样间隔很大是对小波函数的限制也会很大。,尺度和时移参数的离散化：,重构信号小波函数应满足的条件（框架理论）：,对任意的,f,(t),L,2,(R)，称,j,k,为一个框架，如果存在正参数A和B（0,A B ），使得：,分析小波,合成小波,标准正交小波基：,标准正交小波基的优点：,变换系数没有冗余，能够很好地反映信号的性质。,标准正交小波基与它的对偶相同。,计算简单：,多分辨分析,空间,一维正交多分辨分析及如何通过它构造小波,Mallat,算法,一维双正交多分辨分析,一维正交多分辨分析,常用多分辨分析（Multiresolution Analysis,MRA）构造正交小波基,MRA,(非正交)尺度函数,正交尺度函数,低通滤波器,高通滤波器,小波函数,Mallat算法,正交化,两尺度方程,小波方程,MRA,令,中的一个函数子空间序列。若下列条件成立：,，,1),单调性,：,，,2),逼近性,：,，,3),伸缩性,：,4),平移不变性,：,5),Riesz,基存在性,：,存在函数,使,，,构成,的一个Riesz基（,不一定是正交的,）。,称为尺度函数。,多分辨分析,。,MRA,（续）,两个重要的完备的内积空间,线性空间:集合+代数运算（加法与数乘）,内积空间:线性空间+内积运算,完备的内积空间:内积空间+对limit运算封闭,泛函分析基础,Banach,空间,Hilbert,空间,空间的基底 广义函数 线性算子,代数,集上的运算(集,X,上),内部运算 是,XXX,的一个映射,外部运算 是,AXX,的一个映射(,A,是另一集),距离空间,矩离空间是一个集合,X,连同一个满足下述条件的一个映射,d:XX,R,(1)正性,d(x,y),0,且,d,(,x,y,)0如且仅如,x,y,(2)对称性,d,(,x,y,),d,(,y,x,),(3)三角不等式,d,(,x,z,),d,(,x,y,),d,(,y,z,),同一个集合,可以引入不同的距离,距离空间中相关概念,Cauchy序列,在距离空间,X,中,对于,的序列 ,如果,则称序列 是Cauchy 序列,极限点,Cauchy序列 的极限点,稠密,A,是,X,的子集,如,A,的闭包是,X,称,A,在,X,稠密,空间可分,如果空间,X,有一个稠密子集,距离空间中相关概念(续),空间完备,一个空间,X,称为是完备的,如果在这个空间中的每个Cauchy序列都收敛于,X,中的点。,线性无关,线性空间,X 一,个子集,A,称为是线性无关的,如果,A,的每个非空子集 关系 推出 对所有 成立。,线性赋范空间,线性赋范空间,设,X,是数域K 上的线性空间,如果对于每个元素xX,相应一个实数,x,对于,x,y,X,a,K,有:,(1),x,0,如且仅如,x,0,(2),ax,a,x,(3),x,y,x,y,则称,x,是,x,的范数,又称线性空间,X,按范数构成线性赋范空间。,线性赋范空间相关问题,由范数导出距离,在线性赋范空间中，能由范数导出距离,d,(,x.y,),xy,这时线性赋范空间也是距离空间。,按范数收敛,线性赋范空间,X,中的序列收敛 是指 即按范数收敛。,距离空间不必是赋范空间,距离可不由范数引入。,Banach空间,Banach空间 一个完备的线性赋范空间称为Banach空间。,例1 空间 (1,p,)是满足 的实(复)数序列,a,的集合，范数定义为,例2 空间 (1,p,)是,R,上满足下述条件的可测函数类 范数为,空间 的重要不等式,Minkovski 不等式 是,Holder 不等式 对于,p,1,q,1,是,CauchySchwarz 不等式(,p=q=,2特殊情形)是,卷 积,卷积,(函数卷积)两个函数,f,g,的卷积定义 为,性质1,如果,f,g ,那么,f(x-y)g(y),对于所有,x,R,关于,y,是可积的。进而,可积,且 ,还有下述不等式成立,性质2,如果,f,是可积函数,g,是有界的局部可积函数,则卷积 是连续函数。,卷积性质(续),性质3,如果,f,g,h,那么下列性质成立:(1)(可交换)(2)(可结合)(3)(可分配),内 积,内积,设,X,为,K,(实或复)上的线性空间。在,X,上定义了,内积,是指，对于,X,中每一对元素,f，g，,都对应一个确定的复数，记为 并满足下述性质:(1)对称性 (2)线性 (3)正性 ，且 如且仅如 其中 表示,a,的复共轭。,Hilbert空间,内积空间,引入了内积的线性空间称为内积空间。,内积空间是线性赋范空间,在内积空间中,对每个 ，由内积导入范数，定义为 则,X,就变成了一个线性赋范空间。,Hilbert空间,一个完备的内积空间称为Hilbert空间。,Hilbert空间的例子与两向量正交,例1,空间是Hilbert空间，内积定义 为,例2,空间是Hilbert空间，内积 定义 为,两向量正交,内积空间中的两向量,x,与,y,称为是正交的，如果 这时常写 。,内积空间性质,Schwarz不等式,则,平行四边形等式,则,勾股定理 ，,x,与,y,正交，则,正交(向量)组,正交组,X,是一个内积空间,在,X,中的一个非零向量的集合,S,，如果,S,中任意两个不同元素,x,与,y,正交，则称,S,是,X,中的一个正交向量组。如果还有|,x,|=1对,S,中的所有,x,成立，则称,S,是,规范正交(向量)组。,规范正交序列,形成规范正交组的一个有限或无限的序列称为规范正交序列。,内积空间任一线性无关向量序列，都能使用Gram-Schmidt规范正交化过程，得到规范正交序列。,规范正交基,完全规范正交序列,在内积空间,X,中的一个规范正交序列 称为是完全的，如果对于每个 ，有,规范正交基,在内积空间,X,中的一个规范正交组,S,称为是规范正交基，如果对于每个,X,中的元素,x,都有唯一表示 其中 是,S,中不同元素。,内积空间,X,中的一个完全规范正交序列是,X,中的一个规范正交基。,规范正交基的相关结论,在Hilbert空间,H,中的一个规范正交序列是完全的,如且仅如,对于所有 推出,Parseval公式,在Hilbert空间,H,中的一个规范正交序列是完全的,iff 对于每个 成立。,可分Hilbert空间,一个Hilbert空间是可分的，如果它包含一个完全规范正交序列。,在可分Hilbert空间中的每个正交集都是可数的。,空间的基底,研究Hilbert空间或Banach空间基底时，只考虑可分空间(即基底是可数的)。,Schauder基,设,X,是可分的Banach空间，对于 ，如果对于所有 ,存在唯一 使 则称 构成,X,的一个Schauder基。,无约束基,一个基称为是无约束基,如果除了满足上述Schauder条件外,还满足:(1)由 能推出 (2)if 且 则,可分Hilbert空间中,一个无约束基还称Riesz基。,Hilbert空间的Riesz基,一个Riesz基还能用下述等价要求特征化:存在 使对于所有 ，有 成立。,上述条件加上 线性无关才是Riesz基.,规范正交基是,A=B=1,的Riesz基。,对于Riesz基，计算是数值稳定的。,Riesz基是仅次于一个正交基的最好的基。,广义函数(Dirac函数),Dirac函数(,x,),(,x,)有下述 的 性 质,要找到通常意义下的函数满足上式是不可能的，但能找到通常意义下的函数序列，序列的极限满足上式。,例子,Gauss函数序列 则 有,(,x,)称为广义函数。,广义函数(,x,)的基本性质,函数,f,在点,x=u,连续，则 有,上面结论可写成卷积形式 为,引入Gauss函数族 为,重要结果,令 ，在,f,的每个连续点有,函数支撑,函数支撑(支集),函数,f,:,RC，,集,S=,x,:,f,(,x,)0 的闭包 称为函数,f,的支撑，记为 supp,f,。,有限支撑,如果存在实数,a,b,使supp,f,(,a,b,)则称函数,f,具有有限支撑。,紧支撑,如果支撑supp,f,是闭的，且是有限的，则称函数,f,具有紧支撑。,