D67对坐标曲线积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第七节（1）,二、对坐标的曲线积分的概念与性质,三、对坐标的曲线积分的计算法,四、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第六章,一、场的概念,一 数量场与向量场,分布着某种物理量的平面或空间区域称为,场,如果这个物理量能用数表示，称为,数量场,如果这个物理量用向量表示，称为,向量场,如果这个物理量与时间有关，称为,时变场,如果这个物理量与时间无关，称为,定常场,函数,(物理量的分布),数量场,(数性函数),场,向量场,(矢性函数),如:温度场,电势场等,数量场的等值面,向量场的向量线,二、对坐标的曲线积分的概念与性质,1.,引例:,变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在,xOy,平面内从点,A,沿光滑曲线弧,L,移动到点,B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,恒力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功,W,.,1),“,大化小,”.,2),“,常代变,”,把,L,分成,n,个小弧段,有向小弧段,近似代替,则有,所做的功为,F,沿,则,用有向线段,上任取一点,在,3),“近似和”,4),“取极限”,(其中,为,n,个小弧段的,最大长度),2.定义.,设,L,为,xOy,平面内从,A,到,B,的一条,有向光滑,弧,若对,L,的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧,L,上,对,坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或,第二类曲线积分,.,其中,L,称为,积分弧段,或,积分曲线,.,称为,被积函数,在,L,上定义了一个向量函数,极限,记作,若,为空间曲线弧,记,称为对,x,的曲线积分;,称为对,y,的曲线积分.,若记,对坐标的曲线积分也可写作,类似地,3.性质,(1)若,L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2)用,L,表示,L,的反向弧,则,则,定积分是第二类曲线积分的特例,.,说明:,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的,方向,!,(3)若由闭合曲线C所围成的平面区域被划分为两个无公共内点的区域,1,和,2,，它们的边界分别记作C,1,，C,2,，那么沿闭合曲线C的第二型线积分等于按同一方向闭合曲线,C,1,和C,2,的第二型线积分之和，即,其中曲线C、C,1,和C,2,或者都取正向或者都取负向.,将上式两端同乘以-1，并利用,性质2就有,三、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧,L,上有定义且,L,的参数方程为,则曲线积分,连续,存在,且有,特别是,如果,L,的方程为,则,对空间光滑曲线弧,:,类似有,定理,14,例1,解,例2.,计算,其中,L,为沿抛物线,解法1,取,x,为参数,则,解法2,取,y,为参数,则,从点,的一段.,例3.,计算,其中,L,为,(1)半径为,a,圆心在原点的,上半圆周,方向为逆时针方向;,(2)从点,A,(,a,0)沿,x,轴到点,B,(,a,0).,解:,(1)取,L,的参数方程为,(2)取,L,的方程为,则,则,例4.,计算,其中,L,为,(1)抛物线,(2)抛物线,(3)有向折线,解:,(1)原式,(2)原式,(3)原式,例5,解,例6.,设在力场,作用下,质点由,沿,移动到,解,:,(1),(2),的参数方程为,试求力场对质点所作的功.,其中,为,例7.,求,其中,从,z,轴正向看为顺时针方向.,解:,取,的参数方程,例8.,已知,为折线,ABCOA,(如图),计算,提示:,例9.,质量为,的质点，从空间一点A沿某光滑曲线C,移动到另一点B，求重力所做的功W。,四、两类曲线积分之间的联系,两型线积分的异同,（1）第一型线积分无方向，,第二型线积分有方向,。,（2）第一型线积分是对弧长的积分，,第二型线积分是对坐标的积分,（3）,第一型线积分对应参数的下限小，上限大，,第二型线积分对应参数的下限为起点，上限为终点,（4）第一型线积分用于求质量、质心、转动惯量等，,第二型线积分用于求变力作功、引力场作功等,。,（,5）两类线积分的被积函数都定义在曲线上,。,（,6）两类线积分的计算都是化为定积分计算的,。,例,9,.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中,L,沿上半圆周,1.定义,2.性质,(1),L,可分成,k,条有向光滑曲线弧,(2),L,表示,L,的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意,积分弧段的方向,!,内容小结,3.计算,对有向光滑弧,对有向光滑弧,4.,两类曲线积分的联系,对空间有向光滑弧,:,原点,O,的距离成正比,思考与练习,1,.设一个质点在,处受,恒指向原点,沿椭圆,此质点由点,沿逆时针移动到,提示:,(解见 P196 例5),F,的大小与,M,到原,F,的方向,力,F,的作用,求力,F,所作的功.,思考:,若题中,F,的方向,改为与,OM,垂直且与,y,轴夹锐角,则,备用题,1.,解:,线移动到,向坐标原点,其大小与作用点到,xOy,面的距离成反比.,沿直,求,F,所作的功,W,.,已知,F,的方向指,一质点在力场,F,作用下由点,2.,设曲线,C,为曲面,与曲面,从,O x,轴正向看去为逆时针方向,(1)写出曲线,C,的参数方程;,(2)计算曲线积分,解:,(1),(2)原式=,令,利用“偶倍奇零”,