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考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,考点,5,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高考大题专项,(,四,),立体几何,第七章,2022,【,考情分析,】,从近五年的高考试题来看,立体几何是历年高考的重点,约占整个试卷的,15%,通常以一大两小的模式命题,以中、低档难度为主,.,简单几何体的表面积与体积、点、线、面位置关系的判定与证明以及空间角的计算是考查的重点内容,前者多以客观题的形式命题,后者主要以解答题的形式,命题,考查,.,着重考查推理论证能力和空间想象能力,而且对数学运算的要求有加强的趋势,.,转化与化归思想贯穿整个立体几何的始终,.,【,必备知识,】,1,.,证明线线平行和线线垂直的常用方法,(1),证明线线平行常用的方法,:,利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行,;,利用平行四边形进行平行转换,;,利用三角形的中位线定理证线线平行,;,利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换,.,(2),证明线线垂直常用的方法,:,利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质,;,勾股定理,;,线面垂直的性质,:,要证两线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可,即,l,a,l,a.,2,.,垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型,(1),证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行,.,(2),证明线面垂直,需转化为证明线线垂直,.,(3),证明线线垂直,需转化为证明线面垂直,.,(4),证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直,.,3,.,求几何体的表面积或体积,(1),对于规则几何体,可直接利用公式计算,.,对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解,.,(2),对于不规则几何体,可采用割补法求解,.,(3),求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形,要注意应用这些轴截面,.,4,.,解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性,.,5,.,空间中的角的计算,可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算,也可以构建空间角,把角的计算归结为平面图形中的角的计算,.,利用空间向量解题的一般步骤是,:(1),观察图形,建立恰当的空间直角坐标系,;(2),写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量,;(3),设出相应平面的法向量,利用两向量垂直数量积为零列出方程组求出法向量,;(4),将空间位置关系转化为向量关系,;(5),根据定理结论求出相应的角和距离,.,突破,1,空间中的位置关系与表面积、体积,【例题】,(2020,安徽高三三模,),如图,边长为,2,的等边三角形,ABC,所在平面与菱形,A,1,ACC,1,所在平面互相垂直,且,BC,B,1,C,1,BC=,2,B,1,C,1,A,1,C= AC,1,.,(1),求证,:,A,1,B,1,平面,ABC,;,(2),求多面体,ABC-A,1,B,1,C,1,的体积,.,(1),证明,四边形,A,1,ACC,1,是菱形,AC,A,1,C,1,.,AC,平面,ABC,A,1,C,1,平面,ABC,A,1,C,1,平面,ABC,同理得,B,1,C,1,平面,ABC.,A,1,C,1,B,1,C,1,在平面,A,1,B,1,C,1,中,且,A,1,C,1,B,1,C,1,=C,1,平面,ABC,平面,A,1,B,1,C,1,.,A,1,B,1,平面,A,1,B,1,C,1,A,1,B,1,平面,ABC.,(2),解,ACB,与,A,1,C,1,B,1,满足,AC,A,1,C,1,BC,B,1,C,1,且两个角的对应边方向相同,A,1,C,1,B,1,=,ACB=,60,A,1,C,1,=AC=,2,2,B,1,C,1,=BC=,2,则,B,1,C,1,=,1,解题心得处理体积问题的思路,(1)“,转,”:,指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高,;,(2)“,拆,”:,指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算,;,(3)“,拼,”:,指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱,将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法,.,对点训练,如图,五边形,ABSCD,中,四边形,ABCD,为长方形,三角形,SBC,为边长为,2,的正三角形,将三角形,SBC,沿,BC,折起,使得点,S,在平面,ABCD,上的射影恰好在,AD,上,.,(1),当,AB=,时,证明,:,平面,SAB,平面,SCD,;,(2),当,AB=,1,时,求四棱锥,S-ABCD,的侧面积,.,(1),证明,作,SO,AD,垂足为,O,依题意得,SO,平面,ABCD,SO,AB,SO,CD,又,AB,AD,AB,平面,SAD,则,AB,SA,AB,SD.,SA,SD,SD,平面,SAB.,又,SD,平面,SCD,平面,SAB,平面,SCD.,突破,2,空间角和距离,题型一,空间中的位置关系与异面直线所成的角,【例,1,】,在四棱锥,P-ABCD,中,PA,平面,ABCD,底面四边形,ABCD,为直角梯形,AD,BC,AD,AB,PA=AD=,2,AB=BC=,1,Q,为,PD,的中点,.,(1),求证,:,PD,BQ,;,(2),求异面直线,PC,与,BQ,所成角的余弦值,.,(1),证明,由题意知,在四棱锥,P-ABCD,中,PA,平面,ABCD,底面四边形,ABCD,为直角梯形,AD,AB,以,A,为原点,分别以,AB,AD,AP,为,x,轴,y,轴,z,轴,建立空间直角坐标系,则,A,(0,0,0),B,(1,0,0),C,(1,1,0),D,(0,2,0),P,(0,0,2),.,因为,Q,为,PD,的中点,所以,Q,(0,1,1),解题心得用向量法求异面直线所成角的一般步骤,(1),选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系,.,(2),确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量,.,(3),利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值,.,(4),两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值,.,注意向量的夹角与异面直线所成的角的区别,:,当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时,这个角就是异面直线所成的角,;,当异面直线的方向向量的夹角为钝角时,其补角才是异面直线所成的角,.,对点训练,1,(2020,上海杨浦高三二模,),如图,线段,OA,和,OB,是以,P,为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径,点,M,是母线,PB,的中点,已知,OA=OM=,2,.,(1),求该圆锥的体积,;,(2),求异面直线,OM,与,AP,所成角的余弦值,.,题型二,空间的位置关系与线面角,【例,2,】,(2020,内蒙古北重三中高三期中,),如图,菱形,ABCD,与等边三角形,BCE,所在平面互相垂直,FD,平面,ABCD,BC=,2,FD= .,(1),证明,:,EF,平面,ABCD,;,(2),若,CBA=,60,求直线,EF,与平面,AFB,所成角的正弦值,.,(2),解,连接,HA.,由,(1),得,H,为,BC,中点,又,CBA=,60,ABC,为等边三角形,HA,BC.,分别以,HB,HA,HE,为,x,轴,y,轴,z,轴建立如图所示的空间直角坐标系,.,解题心得,求线面角可以用几何法,即,“,先找,后证,再求,”,也可以通过平面的法向量来求,.,利用法向量求解空间线面角的关键在于,“,四破,”:,第一,破,“,建系关,”,构建恰当的空间直角坐标系,;,第二,破,“,求坐标关,”,准确求解相关点的坐标,;,第三,破,“,求法向量关,”,求出平面的法向量,;,第四,破,“,应用公式关,”,.,对点训练,2,(2020,辽宁高三三模,(,理,),如图,在直棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,底面,ABCD,为菱形,AB=BD=,2,BB,1,=,2,BD,与,AC,相交于点,E,A,1,D,与,AD,1,相交于点,O.,(1),求证,:,AC,平面,BB,1,D,1,D,;,(2),求直线,OB,与平面,OB,1,D,1,所成的角的正弦值,.,(1),证明,底面,ABCD,为菱形,AC,BD.,棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,为直棱柱,DD,1,平面,ABCD.,AC,平面,ABCD,AC,DD,1,.,AC,BD,AC,DD,1,BD,DD,1,=D,AC,平面,BB,1,D,1,D.,题型三,空间中的位置关系与二面角,【例,3,】,(2020,山东烟台龙口一中诊测,),如图,AB,是半圆,O,的直径,C,是半圆,O,上除,A,B,外的一个动点,DC,垂直于半圆,O,所在的平面,DC,EB,DC=EB=,1,AB=,4,.,(1),证明,:,平面,ADE,平面,ACD,;,(2),当,C,点为半圆的中点时,求二面角,D-AE-B,的平面角的余弦值,.,(1),证明,AB,是圆,O,的直径,AC,BC,DC,平面,ABC,BC,平面,ABC,DC,BC.,又,DC,AC=C,BC,平面,ACD,DC,EB,DC=EB,四边形,DCBE,是平行四边形,DE,BC,DE,平面,ACD,又,DE,平面,ADE,平面,ACD,平面,ADE.,(2),解,当,C,点为半圆的中点时,AC=BC=,2 ,以,C,为原点,以,CA,CB,CD,为坐标轴建立空间坐标系如图所示,解题心得,如图,设平面,的法向量分别为,n,1,n,2,二面角的平面角为,(0,),则,|,cos,|=|,cos,|=,结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角,.,对点训练,3,(2020,四川攀枝花高三调研,),如图所示,在三棱锥,P-ABQ,中,PB,平面,ABQ,BA=BQ=BP,D,C,E,F,分别是,AQ,BQ,AP,BP,的中点,AQ=,2,BD,PD,与,EQ,交于点,G,PC,与,FQ,交于点,H,连接,GH.,(1),求证,:,AB,GH,;,(2),求二面角,D-GH-E,的平面角的余弦值,.,(1),证明,因为,D,C,E,F,分别是,AQ,BQ,AP,BP,的中点,所以,EF,AB,DC,AB,所以,EF,DC,又,EF,平面,PCD,DC,平面,PCD,所以,EF,平面,PCD,又,EF,平面,EFQ,平面,EFQ,平面,PCD=GH,所以,EF,GH.,又,EF,AB,所以,AB,GH.,(2),解,在,ABQ,中,AQ=,2,BD,AD=DQ,所以,ABQ=,90,.,又,PB,平面,ABQ,所以,BA,BQ,BP,两两垂直,.,以,B,为坐标原点,分别以,BA,BQ,BP,所在直线为,x,轴,y,轴,z,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设,BA=BQ=BP=,2,则,E,(1,0,1),F,(0,0,1),Q,(0,2,0),D,(1,1,0),C,(0,1,0),P,(0,0,2),题型四,空间中的位置关系与空间距离,【例,4,】,如图,在直三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,中,ABC,是边长为,2,的正三角形,AA,1,=,2 ,D,是,CC,1,的中点,E,是,A,1,B,1,的中点,.,(1),证明,:,DE,平面,A,1,BC,;,(2),求点,A,到平面,A,1,BC,的距离,.,(1),证明,如图,取,A,1,B,的中点,F,连接,FC,FE.,因为,E,F,分别是,A,1,B,1,A,1,B,的中点,所以,EF,BB,1,且,EF= BB,1,.,又在平行四边形,BB,1,C,1,C,中,D,是,CC,1,的中点,所以,CD,BB,1,且,CD= BB,1,所以,CD,EF,且,CD=EF.,所以四边形,CFED,是平行四边形,所以,DE,CF.,因为,DE,平面,A,1,BC,CF,平面,A,1,BC,所以,DE,平面,A,1,BC.,(,方法,2),向量法,由题意知,三棱柱,ABC-A,1,B,1,C,1,是正三棱柱,.,取,AB,的中点,O,连接,OC,OE.,因为,AC=BC,所以,CO,AB.,又平面,ABC,平面,ABB,1,A,1,平面,ABC,平面,ABB,1,A,1,=AB,所以,CO,平面,ABB,1,A,1,.,因为,O,为,AB,的中点,E,为,A,1,B,1,的中点,所以,OE,AB,所以,OC,OA,OE,两两垂直,.,如图,以,O,为坐标原点,以,OA,OE,OC,所在直线分别为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,则,C,(0,0, ),A,(1,0,0),A,1,(1,2 ,0),B,(,-,1,0,0),.,解题心得,求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的投影向量的长度,.,如图,设点,P,在平面,外,点,O,是点,P,在平面,上的射影,n,为平面,的法向量,在平面,内任取一不同于点,O,的点,Q,则点,P,到平面,的距离,解,(1),连接,AC,交,BD,于点,M,如图,PC,平面,BDE,平面,PAC,平面,BDE=EM,PC,EM.,M,为,AC,的中点,E,为,PA,的中点,.,(2),PAD,是等边三角形,平面,PAD,平面,ABCD,以,AD,中点,O,为原点,OA,为,x,轴,在平面,ABCD,中,过点,O,作,AB,的平行线为,y,轴,以,OP,为,z,轴,建立空间直角坐标系,突破,3,立体几何中的创新综合问题,题型一,折叠与展开问题,【例,1,】,(2019,全国,3,理,19),图,1,是由矩形,ADEB,Rt,ABC,和菱形,BFGC,组成的一个平面图形,其中,AB=,1,BE=BF=,2,FBC=,60,.,将其沿,AB,BC,折起使得,BE,与,BF,重合,连接,DG,如图,2,.,(1),证明,:,图,2,中的,A,C,G,D,四点共面,且平面,ABC,平面,BCGE,;,(2),求图,2,中的二面角,B-CG-A,的大小,.,解题心得,折叠问题的关键有二,:,画好两个图,折叠前的平面图和折叠后的立体图,;,分析好两个关系,折叠前后哪些位置关系和数量关系发生了变化,哪些没有改变,.,一般地,在同一半平面内的几何元素之间的关系是不变的,.,涉及两个半平面内的几何元素之间的关系是要变化的,.,分别位于两个半平面内但垂直于折叠棱的直线翻折后仍然垂直于折叠棱,.,对点训练,1,(2020,陕西汉中龙岗学校高三模考,),如图,1,在边长为,4,的正方形,ABCD,中,E,是,AD,的中点,F,是,CD,的中点,现将三角形,DEF,沿,EF,翻折成如图,2,所示的五棱锥,P-ABCFE.,(1),求证,:,AC,平面,PEF,;,(2),若平面,PEF,平面,ABCFE,求直线,PB,与平面,PAE,所成角的正弦值,.,(1),证明,E,F,分别为,AD,CD,的中点,EF,AC.,又,EF,平面,PEF,AC,平面,PEF,AC,平面,PEF.,(2),解,取,EF,的中点,O,并分别连接,OP,OB.,由题知,OP,EF,OB,EF.,又平面,PEF,平面,ABCFE,平面,PEF,平面,ABCFE=EF,PO,平面,PEF,PO,平面,ABCFE.,又,AB=,4,PF=AE=PE=,2,EO=OP=OF=,OB=,3,.,分别以,OE,OB,OP,为,x,轴,y,轴,z,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,题型二,范围与最值问题,【例,2,】,(2020,江苏天一中学高三模拟,),给出两块相同的正三角形铁皮,(,如图,1,图,2),(1),要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图,1,、图,2,中,并作简要说明,;,试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小,.,(2),设正三角形铁皮的边长为,a,将正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形,再把它的边沿虚线折起,(,如图,3),做成一个无盖的正三角形底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大,?,最大容积是多少,?,解,(1),如图,1,沿正三角形三边中点连线折起,可拼得一个正三棱锥,.,如图,2,正三角形三个角上剪出三个相同的四边形,其较长的一组邻边边长为三角形边长的,有一组对角为直角,余下部分按虚线折起,可成一个缺上底的正三棱柱,而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上底,.,解题心得,求解立体几何的最值问题主要应用代数中的有关函数知识或不等式有关知识求解,.,解题的关键是恰当地引入参变量,(,一元或二元,),建立目标函数,然后由表达式的特点求最值,;,如果应用几何法求解,要明确空间几何体的结构特征以及形成规律,要正确实施空间向平面的转化,.,对点训练,2,(2020,广东普宁华美实验学校高三月考,),如图,AB,是圆,O,的直径,点,C,是圆,O,上异于,A,B,的点,PO,垂直于圆,O,所在的平面,且,PO=OB=,1,.,(1),若,D,为线段,AC,的中点,求证,:,AC,平面,PDO,;,(2),求三棱锥,P-ABC,体积的最大值,;,(3),若,BC=,点,E,在线段,PB,上,求,CE+OE,的最小值,.,(1),证明,连接,OC,在,AOC,中,因为,OA=OC,D,为,AC,的中点,所以,AC,OD.,又,PO,垂直于圆,O,所在的平面,所以,PO,AC.,因为,DO,PO=O,所以,AC,平面,PDO.,(2),解,因为点,C,在圆,O,上,所以当,CO,AB,时,C,到,AB,的距离最大,且最大值为,1,.,(3),解,在,POB,中,PO=OB=,1,POB=,90,所以,同理,PC=,所以,PB=PC=BC.,在三棱锥,P-ABC,中,将侧面,BCP,绕,PB,旋转至平面,BCP,使之与平面,ABP,共面,如图所示,.,题型三,开放与探索问题,【例,3,】,(2020,天津北辰二模,),已知在四棱锥,P-ABCD,中,底面,ABCD,是边长为,4,的正方形,PAD,是正三角形,CD,平面,PAD,E,F,G,O,分别是,PC,PD,BC,AD,的中点,.,(1),求证,:,PO,平面,ABCD,;,(2),求平面,EFG,与平面,ABCD,的夹角的大小,;,(3),线段,PA,上是否存在点,M,使得直线,GM,与平面,EFG,所成角为,若存在,求线段,PM,的长度,;,若不存在,说明理由,.,(1),证明,因为,PAD,是正三角形,O,是,AD,的中点,所以,PO,AD.,又因为,CD,平面,PAD,PO,平面,PAD,所以,PO,CD.,AD,CD=D,AD,CD,在平面,ABCD,中,所以,PO,平面,ABCD.,(2),解,如图,因为,G,为,BC,的中点,所以,OG,AD.,以,O,点为原点分别以,OA,OG,OP,所在直线为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,.,解题心得,1,.,先假设题中的数学对象存在,(,或结论成立,),然后在这个前提下进行逻辑推理,若由此导出矛盾,则否定假设,;,否则,给出肯定结论,.,2,.,空间向量很适合解决这类探索性问题,解题时无需进行复杂的作图、论证、推理,只需把要成立的结论当作条件,据此列方程或方程组,把,“,是否存在,”,问题转化为,“,点的坐标是否有解,”,即通过坐标运算进行判断,这就是计算推理法,.,对点训练,3,(2020,黑龙江大庆中学高三期末,),在如图所示的几何体中,四边形,ABCD,是菱形,ADNM,是矩形,平面,ADNM,平面,ABCD,DAB=,60,AD=,2,AM=,1,E,为,AB,的中点,.,(1),求证,:,AN,平面,MEC,;,(2),在线段,AM,上是否存在点,P,使二面角,P-EC-D,的大小,为,?,若存在,求出,AP,的长,;,若不存在,请说明理由,.,(1),证明,连接,BN,与,CM,交于点,F,连接,EF,NC.,由已知可得四边形,BCNM,是平行四边形,所以,F,是,BN,的中点,.,因为,E,是,AB,的中点,所以,AN,EF.,又,EF,平面,MEC,AN,平面,MEC,所以,AN,平面,MEC.,(2),解,不存在点,P,使二面角,P-EC-D,的大小为,.,由于四边形,ABCD,是菱形,DAB=,60,E,是,AB,的中点,可得,DE,AB.,又四边形,ADNM,是矩形,平面,ADNM,平面,ABCD,所以,DN,平面,ABCD,以,DE,DC,DN,为,x,轴,y,轴,z,轴建立空间直角坐标系,D-xyz,谢谢观看！,本 课 结 束,
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