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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,ZPZ,3.2.3立体几何中的向量方法（三）,空间“角度”问题,一、复习引入,用空间向量解决立体几何问题的,“,三步曲,”,。,（,1,）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；,（,2,）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；,（,3,）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。,（化为向量问题）,（进行向量运算）,（回到图形）,向量的有关知识：,两向量数量积的定义：,ab=|a|b|,cos,a,b,两,向量夹角公式：,cos,a,b,=,直线的方向向量：与直线平行的非零向量,平面的法向量：与平面垂直的向量,(课本第107页练习,2),如图，,60,的二面角的棱上有,A、B,两点，直线,AC、BD,分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直,AB，,已知,AB4，AC6，BD8，,求,CD,的长,.,B,A,C,D,二面角的平面角,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（,2,），设二面角 的大小为,其中,AB,D,C,L,B,A,例1：,如图,3,，甲站在水库底面上的点,A,处，乙站在水坝斜面上的点,B,处。从,A，B,到直线,（库底与水坝的交线）的距离,AC,和,BD,分别为,和,CD,的长为,AB,的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,解：,如图，,化为向量问题,根据向量的加法法则,进行向量运算,于是，得,设向量 与 的夹角为 ，就是库底与水坝所成的二面角。,因此,A,B,C,D,图3,所以,回到图形问题,库底与水坝所成二面角的余弦值为,例1：,如图,3,，甲站在水库底面上的点,A,处，乙站在水坝斜面上的点,B,处。从,A，B,到直线,（库底与水坝的交线）的距离,AC,和,BD,分别为,和,CD,的长为,AB,的长为。求库底与水坝所成二面角的余弦值。,思考：,（1,）本题中如果夹角 可以测出，而,AB,未知，,其他条件不变，可以计算出,AB,的长吗？,A,B,C,D,图3,分析：,可算出,AB,的长。,（2,）如果已知一个四棱柱的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？,分析：,如图，设以顶点 为端点的对角线,长为 ，三条棱长分别为 各棱间夹角为 。,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,（3,）如果已知一个四棱柱的各棱长都等于 ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 ，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？,A,1,B,1,C,1,D,1,A,B,C,D,分析：,二面角,平面角,向量的夹角,回归图形,解：,如图，在平面,AB,1,内过,A,1,作,A,1,EAB,于点,E，,E,F,在平面,AC,内作,CFAB,于,F。,可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值。,空间“夹角”问题,1.异面直线所成角,l,m,l,m,若两直线,所成的,角为,则,例2,解：以点,C,为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则：,所以：,所以 与 所成角的余弦值为,练习：,在长方体 中，,方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（,2,），设二面角 的大小为,其中,AB,D,C,L,B,A,2,、二面角,注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角,L,将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，,则二面角 的大小 ,2,、二面角,若二面角,的,大小为,则,法向量法,例2 正三棱柱 中，,D,是,AC,的中点，当 时，求二面角,的余弦值。,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,解法一：如图，以,C,为原点建立空间直角坐标系,C-xyz。,设底面三角形的边长为,a，,侧棱长为,b,则,C(0,0,0),故,则可设 =1，则,B(0,1,0),y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,作 于,E,于,F，,则 即为二面角 的大小,在 中，,即,E,分有向线段 的比为,由于 且 ，所以,在 中，同理可求,cos,=,即二面角 的余弦值为,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,F,E,解法二,：同法一，以,C,为原点建立空间直角坐标系,C-xyz,在坐标平面,yoz,中,设面 的一个法向量为,同法一，可求,B(0,1,0),可取 (1,0,0)为面 的法向量,y,x,z,C,A,D,B,C,1,B,1,A,1,由 得,解得,所以，可取,二面角 的大小等于 ,cos,=,即二面角 的余弦值为,方向朝面外，方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角,1.,已知正方体 的边长为2，,O,为,AC,和,BD,的交点，,M,为 的中点,（1）求证：直线 面,MAC,（2）,求二面角 的余弦值,巩固练习,B,1,A,1,C,1,D,1,D,C,B,A,O,M,A,B,n,2.线面角,设,n,为平面 的法向量，直线,AB,与平面 所成的角为 ，向量 与,n,所成的角为 ，,则,n,而利用 可求 ，,从而再求出,2.线面角,l,设直线,l,的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线,与平面 所成的,角为 (),则,
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