2-3 微分方程的经典解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.3,微分方程的经典解法,齐次解,(,Homogeneous Solution,),：,由特征方程,求出特征根,特征根,互不相等单根，则齐次解：,求解流程,写出齐次解形式自由响应（系数待定）,特 解,(,Particular Solution,),：,据微分方程右端激励信号的,函数形式,写出,含待定系数的特解函数式,代入原方程，比较系数得到特解,受迫响应。,全 解,=,齐次解,+,特解,（由,n,个初始条件定出齐次解）,有一,k,阶重根,则齐次解：,典型激励函数相应的特解,激励函数,f,(,t,),响应函数,y,(,t,),的特解,不等于特征根,等于特征单根,例：,解：系统的特征方程为,特征根,齐次解的表达式为,例：,如果已知：,分别求两种情况下此方程的特解。,给定系统方程为,为使等式两端平衡，选特解函数式,将此式代入方程得到,（推导见讲义,p2,）,等式两端各对应幂次的系数应相等，有：,联立求解得：,得特解：,其中,B,是待定系数。,说明：,微分方程的解限于,2.,起,始条件（状态）：,反映系统的历史状态，与激励无关,初,始条件（状态）：,确定全解所需的边界条件。,，,表示,任意时刻,在,连续,；,则表示,有跳变。,在,说明：,全响应自由响应受迫响应,(Natural+Forced,Response),零输入响应零状态响应,(Zero-input+Zero-state,Response,),暂态响应,+,稳态响应,(Transient+Steady-state,Response,),系统响应：,或固有响应；由系统本身特性决定，与,外加激励的形式无关。对应于齐次解。,形式受迫于外加激励。对应于特解。,指全响应中暂时出现的有关成分；即随,着时间,t,的延续，终将消失的响应。,全响应中,随着时间,t,延续，最终可以保留,下来的响应,。,无外加激励信号作用，仅由初始状态,作用于系统所产生的响应。,不考虑系统,原始,储能的作用（初始状态,），仅由外加激励作用于系统所产生的 响应。,(1),自由响应：,(2),暂态响应：,稳态响应：,受迫响应：,(3),零输入响应：,零状态响应：,系统响应,一般情况下换路期间，电容两端的端电压和流过电感中的电流不会发生突变。即电路分析中的换路开关定理：,解释,-1,但当有冲激电流强迫作用于电容，或有冲激电压强迫作用于电感时，状态就会发生跳变,当系统用微分方程表示时，系统从起始状态到初始条件有无跳变：取决于微分方程右端是否包含冲激信号及其各阶导函数。,(,讲义例题,2.3-1),对于一个具体的电网络，系统的初始状态就是指系统中储能元件的储能情况,