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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,平面应力问题的有限元法,第八章,1,8-1,弹性体的应力、位移与应变,考虑一三维弹性体，设材料均匀，各向同性。,取无穷小,dx,dy,dz,z,x,y,O,dy,dx,dz,z,x,y,O,dz,dy,dx,应力分量,复习：描述弹性体物体一点的应力、应变及位移的物理量,2,弹性体一点九个应力分量用矩阵表示如下：,其中剪力：,应力：,对于不同的问题比如：受力以及几何形状的特殊性，会造成应力分布出现特殊性。,3,位移分量：,z,x,o,y,w,u,v,描述三维空间中一点的位移应当有三个方向的物理量,x,y,z,结构受到的外力以及几何形状具有一些特殊性时，将会造成位移分布的特殊性。使得我们可以根据实际情况引入变形的一些假定条件。,譬,如：梁理论当中的平断面假定条件等。,4,应变分量,线应变,剪应变,可表示为：,或,x,y,z,dy,z,x,y,dy,O,O,5,8-2,平面应力问题及其基本方程式,平面应力问题,板只有,xoy,平面内分量且均与,z,坐标无关,1,）,几何特征：均匀薄板。即一个方向的尺度,远小于另外两个方向的尺度。,2,）受力特征：,面积力,外力均匀作用在板的周,边上且平行于,xoy,平面。,体积力,均作用于,xoy,平面之内。,3,）应力分布的特点：,4,）描述一点的位移及应变的分量：,求解平面问题及求解结构在受力后的应力、应变及位移共,8,个未知函数,o,y,z,x,一薄板，外力沿板厚均匀分布,6,求解弹性的基本方程,（,1,）静力平衡方程式（力与外力之间平衡关系）,（,2,）几何方程式（位移与应变之间的关系）,（,3,）物理方程式（应力与应变之间的关系）,（,4,）位移边界条件,（,5,）力的边界条件,7,求解平面问题的基本方程,静力平衡方程式,如图，考虑一微块,dx,dy,，,设板厚为,1,，作用有均匀体积力,x,方向，与,y,方向方程式,:,或：,以上二方程式称为,“纳维叶（,Navier,)”,方程式,y,x,o,dy,dx,Y,X,8,取平板边缘三角形微块，其外法线方向余弦为：,X,向静力方平衡程式：,略去高阶微量后，得：,此式为,“静力边界条件”,y,x,o,A,B,C,Y,X,N,p,y,p,x,求解平面问题的基本条件,静力边界条件,9,如图：,abcd,变形前位置，,abcd,为变形后位置,ab,在,xoy,平面中转角为,略去与,1,比的微量 ，得,同理,a,b,c,d,y,x,o,dx,dy,v,u,求解平面问题的基本条件,几何方程式,10,应变协调方程式为：,可得：,应变分量只有满足这个方程式才能保证弹性体变形的连续性,在什么情况下使用该方程式？,又称为“柯西（,Cauchy),方程式,”,可得：,从数学角度，从力学角度分析上述方程。,与应力相对应的连续位移是否存在的充分必要条件,11,物理方程式（应力、应变间相互关系）,已知弹性体应力求应变,（,1,）,12,“弹性矩阵”,已知弹性体应变求应力,（,2,）,13,对于正交异性的弹性体,应力与应变关系为,:,D,为正交弹性体的正交矩阵,14,力的平衡条件,几何条件,变形协调条件,物理条件,力边界条件,位移边界条件,15,(,1),弹性体在什么情况下成为平面应力问题,(2),描述平面应力问题弹性体的基本物理量,(3),求解平面应力问题的基本方程,(4),求解平面应力问题的基本方法,16,基本指导思想：认为弹性体是有限个单元的组合体,有限元采用解题方法 位移法,8-3,解题方法及有限元法的概念,有限元的基本概念,结构的离散化,将连续的结构离散成有限个单元,形成节点、边,（,原结构）,（离散化模型）,17,离散后：,位移：各单元仅在节点与其它单元连接,在单元边上保持位移连续最好，至少变形后相连。,力：在单元内保持力的平衡条件、,在单元间保持节点力的平衡,边界上满足边界节点上的位移边界条件,及相当的力的边界条件。,理想状态下：,位移：离散节点前后各单元内及单元之间位移保持连续；,力：在单元内及单元之间各处均应保持力的平衡条件,边界上满足一切位移及力的边界条件。,一般弹性体的结构离散与杆系结构离散的区别,18,设定单元的位移函数,该位移函数的特点：不是单元的真实位移,有限元采用解题方法位移法,基本未知量：节点的位移,平面问题一个节点的位移自由度,2,个,节点力的个数,2,个,建立节点位移与节点力之间的关系（单元刚度矩阵）,解决问题的途径：李兹法,（,1,）假设单元内部位移的形状函数,（将节点位移作为待定参数）,（,2,）利用虚功原理求出单元刚度矩阵,19,分布外力的移置,平面应力问题：,体积力及面积力：求解这些外力的等效节点,建立节点力平衡方程式,形成类似矩阵法的节点力平衡方程式矩阵表达形式,约束处理求解节点位移,20,8-4,三角形单元的位移函数与刚度矩阵,节点位移与节点力,节点位移：,节点力：,o,y,x,m,i,j,v,m,u,m,v,j,u,j,v,i,u,i,21,位移函数,式中：,将三节点,i,j,m,坐标代入（,1,）式,：,将单元内部位移用节点位移表示之,22,简记为：,其中：,（,3,）,23,位移矩阵,为三角形,i,j,m,面积,（,4,）,得,24,单元应变,(,几何矩阵）,用弹性理论平面应力问题的几何方程式，可得单元应变：,或：,式中：,几何矩阵,用节点位移表达的单元应变,25,（,2,）,单元应变（用节点位移表示的单元应力）,根据虎克定律的矩阵表示式,应力矩阵,26,单元刚度矩阵（,表示节点位移与节点力关系矩阵）,求解单元刚度矩阵的方法,：,虚功原理,基本公式：,给节点虚位移：,真实应变：,即：,节点力在虚位移上所作的虚功,=,虚位移引起单元内部的虚应变能,单元上真实的节点位移：,真实应力：,相应的虚应变：,节点力在虚位移上所作的虚功：,虚位移引起单元内部的虚应变能,27,进行比较得：,将,B,、,D,代入上式：,式中,单元刚度矩阵：,分割子矩阵,对称、奇异、稀疏矩阵,28,位移函数与收敛准则,位移函数要在单元中连续，在边界上保持位移协调；,位移函数应能包括单元的常位移（刚体位移）；,位移函数必须能反映单元的常应变状态。,满足第一条件的单元称为“协调元”（,compatible element),满足第二、三条件的单元称为“完备元”（,complete element,),收敛准则,:,经严格证明协调、完备元随着网格的不断加密，其解是收敛的。,完备非协调元同样收敛。,29,（,1,）三角形单元属于什么类型的单元？,三角形单元位移函数的讨论：,（,2,）三角形单元位移函数的假定：,在同一个单元内应变及应力均为常数。,对应力变化梯度较大的结构而言精度较差。,（,3,）在单元划分时应注意以下两点：,疏密程度合理,三角形三个边长差别不易过大,（,4,）线性结构的单元,N,、,B,、,S,、,K,与单元的位移函数及节点几何坐标位置有关。,30,8-5,结构刚度矩阵,本节通过单元节点的力的平衡关系来建立结构的平衡式，包括结构刚度矩阵的建立。,取出节点,i,，,列出,x,y,方向力,的平衡方程式：,(1),(2),(1),(2),i,m,m,j,j,m,n,n,i,i,31,该结构共有两个单元，外力只作用于,i,节点之上。,对于其它节点同样可列出相应的方程式。将这些方程式,合并一齐用矩阵表达，形成整个结构的节点力平衡方程。,其形式如下：,外力列阵，每一个节点有,2,行。,应包括：直接作用在节点上的外力、支座反力,及等效节点力。,各单元因节点发生可能位移,而产生的节点力之合。,可由各单元刚度矩阵依对号入座方式,形成,其中：,32,式中,K,ij,为单元刚度阵的子矩阵,，,上式可简记为：,K,结构总刚度矩阵,具有,n,个节点的结构,总节点力平衡方程式为：,注意：总刚度矩阵具有与上章所述相同的性质。,对称性、稀疏性、奇异性。,行列个数,2n,33,单元（,1,）,i-j-m,1-3-4,例,1,：,划分,4,个单元,单元（,2,）,i-j-m,1-2-3,单元（,3,）,i-j-m,3-2-5,单元（,4,）,i-j-m,4-3-5,(1),(2),(3),(4),3,列出其单元刚度矩阵,：,注意节点顺序号与单刚位置关系,34,列出各节点平衡方程式,：,将各单元的刚度矩阵带入上式，并写成（,1,）的形式：即得总刚度矩阵：,35,8-6,外载荷处理,单元中分布力的移置,单元上受到的体积力与面积力等效到节点上力的计算,（,1,）单元上体积力的等效计算,计算原则虚功原理。当两个力系在同一个可能发生的虚,位移上所做的虚功相等时，这两个力系静力等效。,设：,三角形平面单元受均匀分布力，其合力,Q,作用于形心处,36,外力作用下：,给节点,i,单位的虚位移：,有：,37,单元边界力的移置：,设,:,三角形单元的某边界有分布外力，其合力为,Q,，,作用在,B,点，三节点等效力为 求,如图：,令虚位移,得：,同理,：,38,均布载荷,三角形载荷,梯形载荷,x,y,39,8-7,解题过程与例题,解题过程,结构的离散；,计算单元的刚度矩阵,计算结构总刚度矩阵,建立外力矩阵,约束处理,求解节点位移,计算单元应力,支座反力计算和节点力平衡的检验,40,例题,例,1,一悬臂梁，尺寸与受力情况如图（,a,）,所示，将其离散为四个三角形组成的机构，其计算图形如图（,b,），求,各节点的位移与各三角形的应力。,已知：,L=100cm,板厚,t=1cm,q=200N/mm(,从而,P=10 N),E=2105 N/mm,u=0.3,2,5,6,L,l,p,p,y,x,(3),(4),(1),(2),5,4,1,2,3,q,(a),(b),L,41,解：,（,1,）计算单元刚度矩阵：,当,r=s=1,时,求,1,3,2,50,cm,100cm,42,同理,计及,故得,43,同理,44,计算总刚度矩阵,节点平衡方程式,45,求节点位移,同理,(2),(3),(4),应力,(N/mm2),为,:,46,
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