偏微分方程PARTIALDIFFIERENTIALEQUATIONPDE

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,偏微分方程,PARTIAL DIFFIERENTIAL EQUATION(P.D.E),11/26/2024,1,分离变量法,许多物理现象都具有叠加性：由几种不同原因同时出现时所产生的效果，等于各个原因单独出现时所产生的效果的叠加，这就是物理学中的,叠加原理。,在解决数学中的线性问题时，可应用物理学中的,叠加原理。,分离变量法又称Fourier方法，而在波动方程情形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题中的一中基本方法，这个方法建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学中的,机械振动和电磁振动,（总可分解为一些简谐振动的叠加）,11/26/2024,2,波动方程,有界弦的自由振动,热传导方程,椭圆方程,一维情形,高维情形,有界弦的强迫振动,齐次方程,非齐次方程,周期性条件,自然边界条件,一维情形,高维情形,11/26/2024,3,1. 有界弦的自由振动,(1.1),(1.2),(1.3),(1.4),首先设法找到所有具有,变量分离,形式的满足方程（1.1）和边界条件（1.2）的非零特解。这些非零特解的线性叠加仍满足方程和边界条件。,所谓函数 u(x,t) 具有变量分离形式，即它可表示为,(1.5),(I),11/26/2024,4,将（1.5）代入方程（1.1）和边界条件（1.2）得到,即,以及,(1.6),(1.7),(1.6)式中，左端是t的函数，右端是x的函数，由此可得只能是常数，记为 。从而有,(1.8),(1.9),(1.10),11/26/2024,5,(II),本征值问题,(1.9),(1.10),情形（A）,情形（B）,其通解为,由(1.10)，可推出,只有零解。,其通解为,由(1.10)，可推出,只有零解。,11/26/2024,6,情形（C）,方程的通解为,由边界条件X(0) = 0推出,再由,知道为了使,必须,于是有,这样就找到了一族非零解,本征值,本征函数,(1.11),(1.12),11/26/2024,7,由此，就得到方程（1.1）满足边界条件（1.2）的变量分离的非零特解,代入(1.8)可得,(1.13),其通解为,11/26/2024,8,(III),特解的叠加,为了求出原定解问题的解，还需满足初始条件（1.3）。,一般来讲，前面求出的特解不一定满足初始条件。,为此，我们把所有特解 叠加起来，并使之满足初始条件，即取,使得,(1.14),(1.15),(1.16),11/26/2024,9,因此，,应分别是,在0, L区间上,正弦展开的Fourier级数的系数，即,(1.17),(1.18),这样，我们就给出了混合问题（1.1）-（1.4）的形式解（1.14），其中系数由公式（1.17）和（1.18）给出。,11/26/2024,10,是0, L上的正交函数列,是0, L上的正交函数列,11/26/2024,11,分离变量法的解题步骤,第一步,第二步,第三步,令,适合方程和边界条件，,从而定出,所适合的,常微分方程齐次边值问题,，以及,适合的常微分方程。,本征值问题,求解该常微分方程齐次边值问题，求出全部本征值和本征函数，并求出相应的 的表达式。,将所有变量分离形式的特解叠加起来，并利用初始条件定出所有待定系数。,11/26/2024,12,物理意义,其中,对任意时刻,这说明，任一时刻弦的形状都是正弦波，,其振幅,随不同的时间,而不同。,11/26/2024,13,对任意一点,这表示在任意一点,处都作简谐振动。,节点,固有频率,11/26/2024,14,例,令,是齐次方程和齐次边界条件的非零解,则有,11/26/2024,15,故有,其中,11/26/2024,16,11/26/2024,17,2. 有界弦的强迫振动,(2.1),(2.2),(2.3),(2.4),方法一,方法二,齐次化原理,分离变量法,11/26/2024,18,齐次化原理:,若,混合问题,的解，则,(2.6),(2.5),就是混合问题（2.1）-（2.4）的解。,11/26/2024,19,令,混合问题（2.5）就化为,(2.7),由于方程和边界条件都是齐次的，由此根据上一小节的结论即得,其中,(2.8),(2.9),11/26/2024,20,根据齐次化原理，,(2.10),其中,11/26/2024,21,分离变量法:,令,是混合问题的解。,显见上述函数满足（2.2）。,(2.11),(2.1),(2.3),(2.4),(2.12),(2.13),(2.14),11/26/2024,22,(2.12)，,(2.13)，,(2.14),11/26/2024,23,非齐次边界条件的定解问题,我们注意到齐次的边界条件是分离变量法所必需的，为此作函数变换,边界,齐次化,11/26/2024,24,齐次边界条件的另一类定解问题,11/26/2024,25,3. 有界细杆的热传导方程,11/26/2024,26,首先找到所有具有,变量分离,形式的满足齐次方程和齐次边界条件的非零特解。,令,(I),3.1 齐次方程情形,代入方程和边界条件得到,即,以及,11/26/2024,27,(II),本征值问题,本征值,本征函数,11/26/2024,28,(III),特解的叠加,使得,其中,11/26/2024,29,3.2 非齐次方程情形,方法一,方法二,齐次化原理,分离变量法,11/26/2024,30,4. 矩形薄板的热传导方程,利用分离变量法,（4.1）,（4.2）,（4.3）,11/26/2024,31,（4.6）,（4.5）,（4.4）,再设,（4.7）,（4.8）,（4.9）,11/26/2024,32,由边界条件,11/26/2024,33,从而有,且,代入（4.4）可得,11/26/2024,34,于是,特解的叠加,11/26/2024,35,系数的确定 （二重Fourier级数展开式）,若,则,11/26/2024,36,5. 椭圆方程,以前的定解问题所在的区域都是区间或矩形域，均采用直角坐标系。但如果定解区域为圆形、圆柱形或者球形是，采用直角坐标系难以适用，而采用极坐标系、柱坐标系或者球面坐标系。,（5.1）,11/26/2024,37,作自变量变换,11/26/2024,38,演算过程,11/26/2024,39,11/26/2024,40,原定解问题转化为,（5.2）,下面采用分离变量法来求解。为此，令,代入，即得,分离变量,（5.3）,11/26/2024,41,（5.4）,（5.5）,（5.6）,（5.7）,周期性条件,自然边界条件,11/26/2024,42,现在求解本征值问题（5.4）-（5.5）,其通解为,这不是周期函数,其通解为,这不是周期函数,是周期函数,其通解为,为了满足（5.5），必须,11/26/2024,43,本征值为,本征函数为,代入（5.6）,欧拉方程,11/26/2024,44,特解叠加,系数确定,正交列,11/26/2024,45,11/26/2024,46,的解为,圆的Poisson积分,11/26/2024,47,6. 柱域上的分离变量法和Bessel函数,柱坐标系,11/26/2024,48,令,改记,Bessel 方程,11/26/2024,49,7. 球域中的分离变量法、 Legendre多项式,球坐标系,11/26/2024,50,在第二式中令,改记,伴随Legendre方程,当,Legendre方程,11/26/2024,51,8. 本征值理论,利用分离变量法求解定解问题必然导致本征值问题，即在一定的齐次边界条件下，求一个含参数的齐次常微分方程的非零解的问题。,另外，在分离变量的过程中，主要涉及关于本征值和本征函数如下的问题：,本征值是否存在？,本征函数系是否构成完备的正交系？,满足一定条件的函数是否能按这个函数系展开？,11/26/2024,52,作业：,P 121,Ex 1 （2）,Ex 2,Ex 6,Ex 11,Ex 12 （1）,11/26/2024,53,