机械振动(大学课程)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第九章 机械振动,物体在平衡位置附近的重复往返运动叫机械振动,振动必然表现为某些物理量的周期变化,广义地说，只要某一物理量在时间上做周期性变化，就存在一种振动；如果某一物理量不仅在时间上做周期性变化，而且在空间上也做周期性变化，那么就存在一种波动,在力学、电磁学、光学、原子物理学中都普遍存在振动和波动现象，虽然本质不同，但对它们的数学描述是完全相同的,简谐振动是最基本、最简单的，各种复杂振动都可以看作若干简谐振动的合成,1,9.1,简谐振动的动力学特征,几点注意和说明,所谓回复力或回复力矩，就是迫使物体回到平衡位置的力或力矩,所谓平衡位置，就是振动物体所受的力或力矩等于零的位置，一般把坐标原点取在平衡位置,简谐振动的两个动力学特征完全等价,动力学特征,物体在线性回复力或线性回复力矩的作用下运动，,回复力的形式,f=-,kx,，,回复力矩的形式,=,-,c,动力学方程为二阶齐次线性常微分方程,设,Q,为振动物体的位移，则方程形式为：,2,简谐振动实例,弹簧振子：,忽略各种阻力和弹簧质量的理想模型,平衡位置：弹簧原长，选为原点；回复力：,f=-,kx,k,m,o,x,f,令,单摆：,忽略阻力和摆线质量，摆锤可,视为质点，摆角小于,5,度,mg,T,l,o,o,x,平衡位置：竖直位置；如当作角振动，,选,oo,为角坐标,的参考线；如当作线,振动，选,o,为,x,轴的坐标原点,回复力矩：,由转动定理：,令,由牛二定律：,3,I,x,y,证明：在平衡位置,取为原点,o,所以与水平弹簧振子一样也是简谐振动,动力学方程为,l,o,x,F,mg,不计阻力和弹簧质量，试证明竖直弹簧振,子的运动也是简谐振动,回复力：,由转动定理,扭摆：忽略各种阻力，忽略弹性杆的质量,回复力矩,=-c,4,9.2,简谐振动的运动学,动力学方程 的解就是运动学方程,简谐振动的运动学方程,据常微分方程理论，其解可写为：,0,由振动系统本身决 定，,和,A,由振动的初始条件决定，,x,可以是线位移，也可以是角位移,解的正确性可进行验证,:,5,描写简谐振动的物理量,圆频率,0,：,单摆,弹簧振子,扭摆,相位 用以确定振动状态，或比较振动步调,t=0,时的相位,叫初相，用以确定振动的初始状态,简谐振动的周期性,频率,v,：,单位时间完成全振动的次数，,v=,1/T,，,单位,s,-1,=H,z,0,的单位：,rad/s,由周期含义,振幅,A,描述位移的变化范围，,A=,x,m,，,A0,周期,T,：,完成一次全振动所需时间,6,由初始条件确定,A,和,设,t=0,时，,x=x,0,，,v,=,v,0,，,代入位移和速度表达式,由,即可求出,A,和,，,注意：,A,为正值，,要同时,满足,两式，习惯上,|0,代入初始条件：,将,A=,2,代入,得：,7,简谐振动的矢量表示法,A,x,0,简谐振动可用以旋转矢量 来表示，在任意时刻,t,，,它,在,x,轴上的投影就是简谐振动的位移,A,1,A,2,x,若,则相位相同,若,则相位相反,一般,即超前或落后的角度不大于,A,1,A,2,x,A,1,A,2,x,比较如下两个振动的步调：,8,简谐振动的相平面表示和,x-t,图像,相平面表示：,A,0,A,x,v,画 的,x-t,图像：,令,据余弦函数曲线的特点和周期,以 秒为时间单位，先画 的图像，,然后将,x,轴向左平移 即可,x,t,(1/15),0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9.3,简谐振动的能量,简谐振动的动能、势能和总能,在简谐振动中只有保守内力做功，因此，动能和势能互相转换，总机械能保持不变。,以弹簧振子为例：,10,例题：将水平弹簧振子从平衡位置拉开,4.010,-2,m,后释放，水平拉力为,24N,，,求：,总机械能；,x=A/2,时的动能和势能,解：,由题意,o,x,F,11,用能量守恒定律求简谐振动运动学方程,取正号，令,以弹簧振子为例：,12,弹簧质量对固 有频率的影响,l,m,s,o,x,m,dl,L,已知弹簧原长,L,，,质量,m,s,，,劲度系数,k,，,振子质量,m,，,设弹簧质量及形变沿,x,轴均匀分布，在距固定端,l,处取,一线元,dl,，,振子位移为,x,时，,dl,相对固定端的位移为,，速度为 ，动能为,整个弹簧的动能：,其中，称为弹簧的等效质量,整个振动系统的动能：,水平弹簧振子的总质量相当于,M=m+m,所以振子的固,有频率为：,13,9.4,简谐振动的合成,合振动：,同方向、同频率简谐振动的合成,A,1,A,2,A,x,1,2,两种特殊情况：,振动与其它运动形式一样也可以进行合成与分解，如,琴弦的振动是由若干种频率的简谐振动合成的，我们,研究几种基本而重要的简谐振动的合成,A,1,A,2,A,x,A,1,A,2,A,x,14,同方向、不同频率简谐振动的合成,m,n,为整数，,m,n,用,x-t,图像合成最方便,如：,T,1,=2,s,T,2,=3s,x,1,t,2s,x,2,t,3s,x,t,6s,结论：,合振动不是简谐,振动，但有周期性，合,振动周期为两个分振动,周期的最小公倍数,15,t,x,合振幅做周期性变化的现象叫拍，合振幅大小每变化,一个周期叫,1,拍，单位时间内拍出现的次数叫拍频,两个分振动频率很高,又非常接近,即,可视为振幅做周期性缓慢变化的准简谐振动，又称调幅,振动,16,方向垂直、同频率简谐振动的合成,x,y,将两个式子展开，消去参数,t,可得质点,运动的轨迹方程（具体展开见教材）：,在一般情况下，为一椭圆方程，椭圆的形状、大小，,长、短轴方位，由振幅和相位差决定,17,x,y,r,r,x,y,x,y,x,y,讨论几种,特殊情况,18,方向垂直、不同频率简谐振动的合成,若分振动频率不成整数比，则合运动轨迹不能形成稳定的封闭曲线，质点运动不具有周期性,若分振动频率成整数比，则合运动轨迹为一稳定的封闭曲线，质点运动具有周期性，轨迹图形称为利萨如图形，教材图,-9.17,给出了几种利萨如图形,图形的花样与振幅、初相、频率比有关,19,用作图法画利萨如图形,T,1,:T,2,=1:2 A,1,:A,2,=3:2,1,=-/2,2,=/2,A,1,A,2,x,y,1,2,1,2,3,4,5,6,7,8,1,2,3,4,5,6,7,8,20,因受阻力作用振幅不断减小的振动叫阻尼振动把弹簧振子放在水、甘油、沥青中，振子所做的振动就是三种不同的阻尼振动,阻尼振动的动力学方程,x,动力学方程,:,9.6,阻尼振动,显然，为,二阶齐次线性常微分方程，根据微分方程理论，,其解（即运动学方程）按,大小有三种情况,阻力系数,与物体形状、媒质有关,21,振幅按指数规律衰减的振动，不是周期,运动,是往复运动,阻尼振动的运动学特征,x,t,越大,振幅 衰减越快,相,隔一周期振幅比的对数，叫做对数减缩,x,t,0,无往复性,经较长时间单调返回平衡位置,无往复性，能很快地返回平衡位置,=,0,22,9.7,受迫振动,受拍振动的动力学方程,据牛顿第二定律：,动力学方程,:,振动系统在连续的周期性外力（驱动力）,作用下的振动就是受拍振动,显然，其动力学方程为二阶非齐次线性常微分方程,x,23,受迫振动的运动学特征,前一项即为阻尼振动方程的解，经一段时间后就衰减掉了，,系统达到稳定状态后,这是一个与简谐振动相似的等幅振动，但振动频率是由驱动,力决定的，并非由振动系统本身决定，,A,0,也并非由初始条,件决定，将,代入,中，可求得（具体过程见教材）,为二阶非齐次线性微分方程,其解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解,注意：由于驱动力的初相为零（），因而,是,受迫振动的位移与驱动力的相位差,24,位移共振,位移振幅,A,0,是驱动力频率,的函数，当位移振幅达极大值时，即发生位移共振，对应的频率叫位移共振频率，用,r,表示,.,求,式分母对,的导数：,将,代入,中，得,将,代入,中，得,由,可知：,当,0,时,r,=,0,A,r,，,r,-/2,，,即位移落后驱动力,/2,1,0,2,1,=0,0,A,0,25,受迫振动的能量转换,在一般情况下，驱动力与速度相位不同，即驱动力的方向变化与物体运动的方向变化不同步。两者方向相同时，驱动力做正功，两者方向相反时，驱动力做负功。正功,-,负功,=,克服阻力做的功，使能量得到补充，维持振幅不变。但在共振时，若阻尼很小，这时驱动力与速度同相，驱动力总是做正功，因而振幅和能量趋于无穷大,26,