3.1.1方程的根与函数的零点

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.1.1,方程的根与函数的零点,思考：一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),的根与二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象有什么关系？,我们知道，令一个一元二次函数,的函数值,y,0,，则得到一元二次方程,问题,1,观察下表,(,一,),，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与,x,轴的交点的关系。,没有交点,(1,0),x,2,-2x+3=0,x,2,-2x+1=0,(-1,0),(3,0),x,2,-2x-3=0,1.,方程根的个数就是函数图象与,x,轴交点的个数,。,结 论,:,无实数根,x,1,=x,2,=1,x,1,=-1,x,2,=3,y=x,2,-2x+3,y=x,2,-2x+1,y=x,2,-2x-3,图象与,x,轴的交点,函数的图象,一元二次方程,方程的根,二次函数,2.,方程的实数根就是函数图象与,x,轴交点的横坐标,。,若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程,ax,2,+bx+c=0(a0),及相应的二次函数,y=ax,2,+bx+c(a0),的图象与,x,轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？,(,观察表二,),问题,2,0,=0,判别式,=,b,2,4ac,方程,ax,2,+,bx+c,=0,(a0),的根,函数,y=ax,2,+,bx,+c(a0),的图象,函数的图象,与,x,轴的交点,0,(,x,1,0),(,x,2,0),没有实根,没有交点,两个不相等,的实数根,x,1,、,x,2,有两个相等的,实数根,x,1,=x,2,(,x,1,0),结论,：,1.,方程根的个数就是函数图象与,x,轴交点的个数。,2.,方程的实数根就是函数图象与,x,轴交点的横坐标。,对于函数,y=,f(x,),我们把使,f(x,)=0,的实数,x,叫做函数,y=,f(x,),的零点（,zero point),。,方程,f(x,)=0,有实数根,函数,y=,f(x,),的图象与,x,轴有交点,函数,y=,f(x,),有零点,函数零点的定义：,等价关系,结论,：,函数的零点就是方程,f(x,)=0,的实数根，也就是函数,y=,f(x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标,.,例,1,求下列函数的零点,零点存在性探究,（,1,）观察二次函数,f(x,)=x,2,2x,3,的图象,:,在,2,1,上，,我们发现函数,f(x,),在区间（,-2,1),内有零点,x,有,f(,2),0,f(1),0,。,f(-2),f(1)0,(),。,在,2,4,上，我们发现函数,f(x,),在区间（,2,4),内有零点,x,，有,f(2)0,f(4),0,f(2),f(4)0,（,),。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,2,4,-1,3,思考,：,函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？,（,）观察下面函数的图象,0,（或）,在区间,a,b,上,(,有,/,无,),零点,；,0,（或）,在区间,b,c,上,(,有,/,无,),零点；,0,（或）,在区间,c,d,上,(,有,/,无,),零点；,由以上两步探索，,你可以得出什么,样的结论？,a,b,c,d,有,有,有,如果函数,y=,f(x,),在区间,a,b,上的图象是连续,不断的一条曲线,，并且有,f(a),f(b,)0,，那么，函,数,y=,f(x,),在区间,(,a,b,),内有零点，即存在,c(a,b,),，使得,f(c,)=0,，这个,c,也就是方程,f(x,)=0,的根。,零点存在性定理,：,2.,若,f(x,),在（,a,b,）内有零点，一定能得出,f(a),f(b,)0,吗？,思考,1.,若,f(a)f(b,)0,则,f(x,),在（,a,b,）内就有零点吗？,对函数零点存在性的判定要注意四点：,1.,函数的图象既要在区间,a,b,上连续，,又要在区间,a,b,端点处的函数值异号。,2.,函数在区间,a,b,上连续，且存在零点，,在区间,a,b,端点的函数值可能异号也可能同号。,3.,函数,f(x,),在,a,b,上是单调函数，,如果,f(a)f(b,)0,，那么这个函数在区间,(,a,b,),上没有零点。,4.,只能用来判断函数零点的存在性，不能用来,判断函数零点的个数。,由表,3-1,和图,3.13,可知,f(2)0,，,即,f(2)f(3)0,f(1.5)=,2.8750,所以,f(x,)=,x,3,3x+5,在区间,(1,1.5),上有零点。又因为,f(x,),是,(,）,上的减函数，所以在区间,(1,1.5),上有,且只有一个零点。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,4,3,2(1),f(x,)=,x,3,3x+5,.,.,.,.,.,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,解：,作出函数的图象，如下：,.,.,.,.,因为,f(3),30,所以,f(x,)=,2x,ln(x,2),3,在区间,(3,4),上有零点。又因为,f(x,)=2x,ln(x,2),3,是,(2,，）上的增函数，,所以在区间,(3,4),上有且只有一个零点。,x,y,0,1,3,2,1,1,2,5,-3,-2,4,2(2),f(x,)=2x,ln(x,2),3,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,解：,作出函数的图象，如下：,.,.,.,.,因为,f(0),3.630,所以,f(x,)=e,x,1,+4x,4,在区间,(0,1),上有零点。又因,为,f(x,)=e,x,1,+4x,4,是,(,，,）上的增函数，所以在,区间,(0,1),上有且只有一个零,点。,2(3),f(x,)=e,x,1,+4x,4,x,y,0,1,3,2,1,1,2,1,2,3,4,2,4,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,解：,作出函数的图象，如下：,x,0,80,1,5,5,y,2,40,1,20,4,3,60,40,20,4,3,2,因为,f(,4),40,f(,2),20,f(2),700,所以,f(x,)=3(x+2)(x,3)(x+4)+x,在区间,(,4,3),、,(,3,，,2,),、,(2,3),上各有,一个零点。,2(4),f(x,)=3(x+2)(x,3)(x+4)+x,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：,课堂小结,：,、函数零点的定义；,2,、,函数的零点与方程的根的关系,；,3,、,确定函数的零点的方法,。,a,b,c,d,