含绝对值不等式的解法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,含绝对值不等式的解法,一、复习目标,掌握解含绝对值的不等式的,方法、步骤与技巧,.,二、重点解析,1.,绝对值等式与,不等式具有的性质及运算法则是解绝对值不等式的依据,.,2.,解含有绝对值的不等式的,方法关键是去掉绝对值符号,基本方法有如下几种,:,(1),分段讨论,:,根据,|,f(x,)|=,去掉绝对值符号,.,-,f(x,),f(x,)0,f(x,),f(x),0,(2),利用等价不等式,:,|,f(x)|,g(x),-,g(x),f(x),g(x,).,|,f(x)|,g(x),f(x),-,g(x,),或,f(x),g(x,).,两端同时平方,:,即运用移项法则,使不等式两边都变为非负数,再平方,从而,去掉绝对值符号,.,三、知识要点,2.|f(x)|0),-,a,f(x,)a;,1.|x|,0;|x|=,x,x,0,-,x,x,a(a,0),f(x)a;,|,f(x,)|,g(x),-,g(x,),f(x,),g(x),f(x,),g(x,);,|,f(x,)|,g(x)|,f,2,(x),g,2,(x).,3.,形如,|,x,-,a|+|x,-,b,|,c(a,b,),的绝对值不等式的解法有二,:,零点分区间讨论法,;,运用绝对值的几何意义,.,4.,重要绝对值不等式,|a|,-,|,b|,|a,b|,|a|+|b,|.,使用时,(,特别是求最值,),要注意等号成立的条件,即,:,|,a+b,|=|a|+|b|,ab,0;,|a,-,b|=|a|+|b|,ab,0;,|a|,-,|b|=|a+b|,b(a+b),0;,|a|,-,|b|=|a,-,b|,b(a,-,b),0.,注,:,|a|,-,|b|=|,a+b|,|a,|=|,a+b|+|b,|,|(,a+b),-,b,|,=|,a+b|+|b,|,b(a+b),0.,同理可得,|a|,-,|b|=|a,-,b|,b(a,-,b),0.,典型例题,1,解不等式,|x+1|+|x,-,3|5.,解,:,原不等式的解集是下面三个不等式组解集的并集,:,满足,的,x,不存在,;,x5.,-,1,x,3,x+1+3,-,x5.,或,x3,x+1+x,-,35.,或,由,得,x .,7,2,x .,7,2,3,2,原,不等式的解集为,(,-,-,),(,+,).,7,2,3,2,典型例题,1,解不等式,|x+1|+|x,-,3|5.,另解,:,如图,:,数轴上表示数,-,1,3,的两个点之间的距离为,4,点,-,到,-,1,3,两点间的距离之和,|x+1|+|x,-,3|=5.,3,2,7,2,故不难看出,当,x,落在,-,左侧或 右侧时正好满足,|x+1|+|x,-,3|5.,3,2,7,2,原,不等式的解集为,(,-,-,),(,+,).,7,2,3,2,2,3,-,1,0 1,2 3,-,2,7,x,学一学,练一练,不等式,|x,-,4|+|x,-,3|a,有解,求,a,的取值范围,.,解,:,不等式,|x,-,4|+|x,-,3|x,-,4|+|x,-,3|,成立,a,大于数轴上表示数,3,与,4,的两点间的距离,1,故,a,的取值范围是,(1,+,).,或先考虑无解时,a,的范围,.,典型例题,2,解法一,零点分区间讨论,解不等式,|,|x+3|,-,|x,-,3|,|,3.,原不等式等价于,:,x3,-,3,x,3,|x+3+x,-,3|3,x3,|x+3,-,x+3|3.,或,或,即,x,-,3,或,-,3,x,-,或,3.,3,2,3,2,x .,3,2,3,2,原,不等式的解集为,(,-,-,),(,+,).,3,2,3,2,解法二,两边平方,原不等式等价于,(|x+3|,-,|x,-,3|),2,9.,即,2x,2,+92|x,2,-,9|,(,2x,2,+9),2,(2|x,2,-,9|),2,.,即,4x,2,-,90.,x .,3,2,3,2,原,不等式的解集为,(,-,-,),(,+,).,3,2,3,2,典型例题,2,解法三,利用绝对值不等式性质,解不等式,|,|x+3|,-,|x,-,3|,|,3.,33.,x .,3,2,3,2,原,不等式的解集为,(,-,-,),(,+,).,3,2,3,2,学一学,练一练,解,:,|x,2,-,3|x|,-,3|,1,-,1,x,2,-,3|x|,-,3,1.,解不等式,|x,2,-,3|x|,-,3|,1.,x,2,-,3|x|,-,4,0.,x,2,-,3|x|,-,2,0,|x|,2,-,3|x|,-,4,0.,|x|,2,-,3|x|,-,2,0,|x|,4,|x|,.,3+,17,2,-,4,x,4,x,-,或,x,.,3+,17,2,3+,17,2,原不等式的解集为,-,4,-,4.,3+,17,2,3+,17,2,-,4,x,-,或,x,4.,3+,17,2,3+,17,2,或,|x|,4.,3+,17,2,典型例题,3,x,-,4,或,-,1,x,1,或,x,4.,原不等式的解集为,(,-,-,4,-,1,1,4,+,).,解不等式,|,1.,x,2,-,4,3x,解法一,|,1,-,1,1,x,2,-,4,3x,x,2,-,4,3x,x,2,-,4,3x,-,1,x,2,-,4,3x,1.,x,2,-,4,x,2,+3x,-,4,0,0.,x,2,-,4,x,2,-,3x,-,4,(x+4)(x+2)(x,-,1)(x,-,2),0(x,2),(x+2)(x+1)(x,-,2)(x,-,4),0(x,2).,x,-,4,或,-,22,x,-,2,或,-,1,x0,3,-,x,3+x,2,-,x,x+2,|.,解法一,|,.,3,-,x,3+x,2,-,x,x+2,2,-,x,x+2,x,-,3,3+x,3,-,x,3+x,0 x(,x,-,2,)(,3+x,),(,3,-,x,)(,x+2,)(,2,-,x,)(,3+x,).,x0,-,x,2,+x+,6,x,2,+x,-,6,-,x,2,+x+6,-,x,2,-,x+6,x0,x0,x,2,0,3,-,x,3+x,2,-,x,x+2,|.,解法二,|,或,3,-,x,3+x,2,-,x,x+2,x,2,3,-,x,3+x,x,-,2,x+2,.,0 x ,或,0 x(,2,-,x,)(,3+x,),x,2,(,3,-,x,)(,x+2,)(,x,-,2,)(,3+x,).,或,0 x,-,x,2,-,x+6,x,2,-,x,2,+x+,6,x,2,+x,-,6.,或,0 x0,x,2,x,2,6,.,0 x2,或,2,x,6,.,0 x,6,.,原,不等式组的解集为,(0,6).,备选题,1,解不等式,(1),3;(2),|x+2|,-,|x,-,3|4.,1+|x|,|x|,-,1,(2),|x+2|,-,|x,-,3|4,等价于,解,:,(1),3,0,1+|x|,|x|,-,1,1+|x|,-,3(|x|,-,1),|x|,-,1,2|x|,-,4,|x|,-,1,0,1,|x|,2.,-,2,x,-,1,或,1x,2.,故,原不等式的解集为,-,2,-,1),(1,2.,x,-,2,-,x,-,2+x,-,34,-,2,x,3,x+2+x,-,33,x+2,-,x+34.,或,或,x,-,2,或,-,2,x .,5,2,即,x,.,5,2,原,不等式的解集为,(,-,).,5,2,备选题,2,解,:,mR,可讨论如下,:,1,-,2m,3x,-,22m,-,1.,解关于,x,的不等式,|3x,-,2|,0,即,m,时,原不等式等价于,1,2,解得,-,x,时,原不等式的解集为,(,-,).,2m,-,3,3,2m+1,3,1,2,1,2,备选题,3,解,:,依题意当,x3,时,不等式,|x,2,-,4x+p|+|x,-,3|,5,恒不成立,.,当,x3,时,|x,2,-,4x+p|+|x,-,3|5,恒成立,.,即当,x3,时,|x,2,-,4x+p|8,-,x,恒成立,.,即,x,2,-,4x+p8,-,x,或,x,2,-,4x+px,-,8,对,38,时,|x,2,-,4x+p|8,-,x,恒成立,只要当,38,-,x,恒成立即可,.,由,式,对,3x,8,恒成立,得,p,8;,由,式,对,3x,8,恒成立,得,p,-,32.,p,-,x,2,+3x+8=,-,(x,-,),2,+,3,2,4,41,或,p,-,x,2,+5x,-,8=,-,(x,-,),2,-,5,2,7,4,但当,x=3,时,|x,2,-,4x+p|+|x,-,3|,5,要成立,即,|p,-,3|,5,-,2,p,8.,故由,、,知,p=8.,备选题,4,解,:,(1),f(0)=f(1),b=1+a+b.,a=,-,1.,f(x,)=x,3,-,x+b.,=x,2,2,+x,1,x,2,+x,1,2,-,1,.,x,1,x,2,-,1,1,且,x,1,x,2,0,x,2,2,+x,1,x,2,+x,1,2,3.,即,|k|2.,(2),0,x,1,x,2,1,已知函数,f(x,)=x,3,+ax+b,定义在区间,-,1,1,上,且,f(0)=f(1),又,P(x,1,y,1,),Q(x,2,y,2,),是其图象上任意两点,(x,1,x,2,).(1),设直线,PQ,的斜率为,k,求证,:|k|2;(2),若,0,x,1,x,2,1,求证,:|,y,1,-,y,2,|1.,则,k=(x,2,3,-,x,2,+b),-,(x,1,3,-,x,1,+b),x,2,-,x,1,y,2,-,y,1,x,2,-,x,1,1,=(x,2,3,-,x,1,3,),-,(x,2,-,x,1,),x,2,-,x,1,1,-,1,x,2,2,+x,1,x,2,+x,1,2,-,1,2.,|,x,2,2,+x,1,x,2,+x,1,2,-,1|,2.,由,(1),知,|,y,2,-,y,1,|2|,x,2,-,x,1,|=2(,x,2,-,x,1,).,又,|,y,2,-,y,1,|=|,f(x,1,),-,f(x,2,),|=|,f(x,1,),-,f(0)+f(1),-,f(x,2,),|,|,f(x,1,),-,f(0)|+|f(1),-,f(x,2,),|2|,x,1,-,0,|+2|,1,-,x,2,|=2(,x,1,-,x,2,)+2,即,|,y,2,-,y,1,|2(,x,1,-,x,2,)+2.,+,得,2,|,y,1,-,y,2,|2.,|,y,1,-,y,2,|1.,备选题,5,解不等式,4x,2,+4mx+m,2,x,-,m(xR,).,解,:,原不等式等价于,|2x+m|,x,-,m,-,(,x,-,m,),2x+m0,且,x,-,2,m.,当,m,0,时,x,不存在,;,当,m0,时,0 x,-,2,m.,故,当,m,0,时,原不等式的解集为,;,当,ma.,解,:,显然当,aax,2,+2x,-,3a,或,x,2,+2x,-,30,其两不等根为,:,即,a,0,时,x,2,+2x,-,3,-,a0 ,或,x,2,+2x,-,3+a0.,x,1,=,-,1,-,4+a,x,2,=,-,1+,4+a,.,x,-,1+,4+a,.,由,方程,x,2,+2x,-,3+a=0,中,=16,-,4a,当,a,4,时,0,x,不存在,;,当,0,a,0,方程,x,2,+2x,-,3+a=0,的,两不等根为,:,x,3,=,-,1,-,4,-,a,x,4,=,-,1+,4,-,a,.,-,1,-,4,-,a,x,-,1+,4,-,a,.,综上所述,当,a0,时,原不等式的解集为,R;,当,0,a3a+1,即,a,时,B=3a+1,2,由,AB,得,:,1,3,2a,3a+1,且,a,2,+1,2.,解得,a=,-,1,.,当,2,时,B=2,3a+