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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,本章内容,Contents,常见的几种力,共点力作用下物体的平衡,一般物体的平衡,平衡的种类,chapter 2,流体静力学,边长为,a,的均匀立方体，对称地放在一个半径为,r,的圆柱面顶,部，如图所示，假设静摩擦因数足够大，足以阻止立方体下,滑，试证物体稳定平衡条件为,r,?,a,/,2,a,r,当立方体偏离一个很小的角度,，无滑动地沿圆柱体,“,滚动,”,至触点,C,时，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为,O,和,O,，如图所示，因为,弧,?,OC,?,?,?,r,，,O,a,a,O,?,C,?,tan,?,?,?,2,2,而弧,OC,?,O,?,C,所以,如果,O,C,a,?,?,r,?,?,2,r,，就有,r,?,a,/,2,?,?,此时可保证立方体的重心在过,C,点的铅垂线的左方，也就是说立方体,所受重力和支持力的合力矩会使它恢复到原来的位置，即立方体处于,稳定平衡,如果,r,?,a,/,2,，就有,?,?,O,O,C,O,O,C,r,r,注意,:,是正方体转过的微小角度,.,当立方体偏离一个很小的角度,，无滑动地沿圆柱体,“,滚动,”,至触点,C,时，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为,O,和,O,，如图所示,.,因为弧,?,?,?,r,，,a,a,O,?,C,?,?,sin,?,?,?,?,?,2,2,?,OC,O,因为角度,极小,因此可忽略,O,相对,O,的水平移动,仔细计算为角度,的,平方项,即二阶小量,可以忽略,.,O,C,C,满足弧,r,OC,?,O,?,C,?,则可保证立方体有回复力矩,即立,方体处于稳定平衡,a,所以,?,?,r,?,?,?,2,解得,r,?,a,/,2,当立方体偏离一个很小的角度,，无滑动地沿圆柱体,“,滚动,”,至触点,M,时，设圆柱体和立方体原来的接触点分别为,O,和,O,，如图所示，因为,OM,?,r,?,稳定平衡条件是重心位置,C,高于,C,.,C,C,O,a,a,r,cos,?,?,?,r,sin,?,?,cos,?,?,r,?,2,2,对于很小的角度,sin,?,?,?,解得,即,且,O,M,r,a,?,2,r,r,?,a,/,2,?,?,arctan,否则会向下滑动,.,用一根细线铅直悬挂一根长为,l,的均匀细木杆，置于水桶內水面上,方，如图所示当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中当木杆,浸入水中超过一定深度,l,时,木杆开始出现倾斜现象,已知木杆密度,的密度为,0,为,水,求,l,.,l,设杆的截面积为,S,，密度为,，水的密度为,0,，杆浸在水中的长度为,l,，微扰,使杆偏离重力线一个小角度,.,重力的力矩为,l,M,G,?,lS,g,?,sin,2,浮力的力矩为,M,F,临界点为,即,l,?,?,l,?,S,0,g,?,(,l,?,),sin,2,M,G,?,M,F,A,l,l,?,lS,g,?,sin,?,l,?,S,0,g,?,(,l,?,),sin,2,2,可解得,因为,?,l,?,?,l,?,1,?,?,?,0,?,?,?,0,?,?,C,F,D,l,?,?,l,?,l,?,?,l,?,1,?,?,?,0,?,?,?,0,?,?,mg,B,所以取,?,l,?,?,l,?,1,?,?,?,0,?,?,?,0,?,?,A,C,F,D,mg,B,要使根号成立,则水的密度大于木杆的密,?,度,.,因此,l,?,?,l,?,1,?,?,?,0,?,?,?,0,?,?,木杆将偏离重力线,.,否则为稳定平衡,.,所得,结果是杆处于随遇平衡时的值,.,如图所示，将一支正六棱柱形铅笔放在斜面上，斜面倾角,=40,o,，铅笔与水平方向的成,角，铅笔静止，试问：,（,1,）铅笔与斜面之间的静摩擦因数至少为多大？,（,2,）,角至少为多大？,(,竞赛书第,31,页第,14,题,),如图所示，所取的截面过这支笔的重心，,x,轴与铅笔的棱平行，,y,轴,与铅笔的棱垂直，且两者都在斜面上，,z,轴,(,图中未画出,),为垂直斜面,向上由笔不滑动，,f,?,mg,sin,f,?,N,?,mg,cos,得,?,0,.,8391,由笔不转动，通过,O,点的棱为轴，摩擦力力矩为,0,则弹力矩及重力矩为：,y,x,O,a,3,M,重力,?,F,z,?,?,F,y,?,a,?,F,x,?,0,?,0,2,2,mg,sin,mg,sin,cos,（等号成立时弹力对轴无力矩）,F,z,?,?,mg,cos,F,y,?,?,mg,sin,cos,o,（表示重力各个方向的分力）得,?,46,.,5,（,46,o,30,）,或者：设正六面体的截面边长为,a,，,由力矩平衡条件，有,a,3,M,?,?,mg,cos,?,?,mg,sin,?,cos,?,a,?,0,2,2,a,O,mg,cos,mg,sin,mg,在竖直墙面上有两根水平木桩,A,和,B,，有一细木棒置于,A,之上、,B,之下时与竖直方向成,角静止，棒与,A,、,B,的静摩擦因数都为,0,，现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠，如图所示，,求此时棒的重心的位置离,A,桩的距离已知木桩沿杆方向相距,2,a,.,B,A,设,A,木桩与重心之间的距离为,x,，由平衡条件，有,mg,cos,?,f,A,?,f,B,?,0,(,N,A,?,N,B,),N,重心为轴,A,?,x,?,N,B,?,?,2,a,?,x,?,B,为轴,N,A,?,2,a,?,mg,?,?,2,a,?,x,?,sin,a,(cot,?,0,),联立解得：,x,?,0,由式可知，所以本式仅对,cot,?,0,适用,cot,?,0,若,B,N,A,f,B,N,B,f,A,A,mg,设想,x,=0,，此时棒与木桩,B,无作用力但由于,0,足够大，,f,A,就能维持细棒,平衡；当,x,0,时，细棒与木桩,B,产生弹力，细棒更不会下滑,所以要使细棒静止，其重心与木桩,A,之间的距离应满足的条件是,a,x,?,(cot,?,0,),0,(,cot,?,0,),B,A,x,?,0,(,cot,?,0,),静止流体内一点的压强,等于过此点任意一假想面元上正压力大小,与面元面积之比,当面元面积趋于零时,.,在重力的作用下,静止流体内等,高的各点的压强相等,在竖直方向上压强随流体深度增加而增加,.,P,=,P,0,+,gh,式中,P,0,为流体上表面的大气压强,为流体密度,h,为深度,.,由于液体的可流动性,在液体中任意取一小面元,液体分子间的,相互作用必定垂直于该面元面无切向力,由于该面元是在液体中某点,任取的,可以断定,:,压强与方向无关,对液体中任一点来说压强是一确,定值,.,浮力是浸没在静止流体中的物体受到流体对它的各个方向的总,压力的合力,.,浮力的方向是竖直向上的,其大小等于被物体所排开,的流体的重力,.,F,=,gV,式中,为流体的密度,V,为物体浸没在流体中的体积,.,浮力,的大小与物体的重量无关,与物体在流体中的深度无关,.,一个半径为,R,的马德堡半球，抽成真空后置于大气压,强为,p,0,的空气中，不计球壳重量，则两半球的压力为,A,F,?,0,B,F,?,4,R,2,p,0,C,F,?,2,R,2,p,E,F,?,R,2,p,0,E,0,D,F,?,4,R,2,p,/,3,0,如图所示，,A,是一块质量为,M,的木块，,B,是质量为,m,的小铁块，,共同浮在水面上，若将小铁块从木块上取下而直接放在水中，,那么水的高度将如何变化？,考查所排开的水的体积。,木块和铁块一起时，排开水的重量等于木,块与铁块的总重量，排开水体积为,(,M,?,m,),g,M,?,m,V,0,?,?,0,g,0,B,A,其中,0,为水的密度。,铁块在水中时，木块排开水的重量等于木块的重量，铁块排开水的,体积等于铁块的体积，则排开水的总体积为,V,1,?,Mg,mg,M,m,?,?,?,0,g,铁,g,0,铁,因为水的密度小于铁的密度，即,0,铁,，所以，可见水面下降。,一个圆台的体积为,V,，底面积为,S,，全部浸没在深为,H,，密度为,的水中，且圆台的底部,与容器底面紧密连成一体，如图所示，试分析圆台是否受到浮力。大气压强为,p,0,.,浮力的本质是液体对物体的压力的合力。由于圆台,底部与与容器底面连成一体，水对圆台的底部无压,力，水对圆台上表面的压力向下，水对圆台侧面的,压力为垂直侧面斜向上。将圆台分成两部分，中间,H,S,部分的高为,h,，则圆柱体只受到向下的压力,f,?,?,p,0,?,g,?,H,?,h,?,?,S,剩余部分受到水对它向上的作用力为,因此，圆台受到合力为,讨论：（,1,）当,F,?,?,V,?,Sh,?,g,F,?,F,?,f,?,Vg,?,(,p,0,?,gH,),S,时，合力向下，无浮力。,Vg,?,(,p,0,?,gH,),S,?,0,时，合力向上，有浮力。,时，合力为零，处于临界状态。,（,2,）当,Vg,?,(,p,0,?,gH,),S,?,0,（,3,）当,Vg,?,(,p,0,?,gH,),S,?,0,有一密度为,1,，半径为,r,的半球放在盛有密度为,2,的液体的容器底部，它与,容器底部密切接触（即半球表面与容器底面间无液体），如图所示，若液,体深度为,H,，问半球体对容器底部的压力是多大？大气压强为,p,0,.,设想半球体的下底面有液体，下底面受到的液体压力为,F,下,?,p,下,S,?,2,gHr,?,p,0,r,半球体受到的浮力为,F,浮,2,2,2,3,?,2,gV,?,2,gr,3,因此，半球体上表面受到的液体的压力为,F,上,?,F,下,?,F,浮,2,?,?,2,gr,?,H,?,r,?,?,p,0,r,2,3,?,?,2,?,H,r,这样，半球体对容器底部的压力，由平衡条件，有,2,?,2,F,?,F,上,?,mg,?,2,gr,?,H,?,r,?,?,1,gr,3,?,p,0,r,2,3,?,3,?,2,?,2,F,?,2,gHr,?,gr,3,(,1,?,2,),?,p,0,r,2,3,2,如图所示，半径为,r,的球浮于密度为,1,和,2,的分层液体的界面处，设,分界面正好位于球的直径平面上，问球所受到的浮力有多大？,由上、下半球面的压力差关系，可以,证明阿基米德定律仍成立，因此,1,2,2,3,F,?,gr,(,1,?,2,),3,（可以分两个半球进行讨论，设中央处的压强为,p,，则分别隔离两个,半球，可证明结论成立。,如果是均质球，则两部分的密度相同。）,如图所示，杯中盛有密度为,的均匀混合液体，经过一段时间之后，,变为两层均匀液体，其密度分别为,1,和,2,（,2,1,），设总体积不变，,问杯内底面所受液体压强是否因此而改变？如有改变，是增大还是减,小？,1,h,h,1,h,2,2,因为液体的总质量不变，若杯子是柱形的，显然液体分层后对容器底面的压强相等，,但现在倾斜的杯壁也支持了一部分液体的重量，故液体对杯底的压强可能要发生变化。,液体对杯底的压强决定于竖直液柱的重量和杯底的横截面积，而竖直液柱的重量又等,于全部液体的重量减去斜柱部分液体的重量，假定密度大的液体在杯底形成的厚度很,小，甚至可以忽略不计，则斜柱部分全是密度为,1,液体，显然斜柱部分的液体重量和,原来相比减小，竖直液柱重量增大，杯底受液体压强增大，这是用极端推理方法求得,的。以下作一般的证明。,
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