【教学课件】第三节函数的单调性与极值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 函数的单调性与极值,一、函数的单调性,二、函数的极值,三、函数的最大值和最小值,一、函数的增减性判别法,b,a,y,O,x,A,B,，,曲线上升,A,a,O,y,b,x,B,，,曲线下降,定理1,设函数,f,(,x,)在闭区间,a,b,上连续，在(,a,b,)内可导，则,（i）如果在(,a,b,)内,f,(,x,)0，,（ii）如果在(,a,b,)内,f,(,x,),f,(,x,0,)），,则称,f,(,x,0,)为,f,(,x,)的极大值(或极小值）,如果恒有,f,(,x,),f,(,x,0,)，,定义,函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。,从图中可以看出，极值点一定是单增区间和单减区间的分界点，,不存在的点.,因此极值点只能是 和,但驻点和导数不存在的点不一定是极值点.,但,f,(,x,)在点,x,=0不取得极值。,O,x,y,通常称为函数,f,(,x,)的驻点,因此，极值点只可能是驻点或导数不存在的点.,例如，对函数,y,=,x,3,y,=3,x,2,x,=0是驻点,使导数,f,(,x,)等于零的点,x,0,可以证明：若函数,f(x),在,x,0,处可导，且在,x,0,处取得极值，则这个函数在,x,0,处的导数为零。即,不存在的点。,(iii)若在,x,0,的两侧，,f,(,x,)不变号，,定理2,（,极值存在的一阶充分条件,）,设,f,(,x,)在,x,0,的某邻域内连续，,在该邻域（,x,0,可除外）可导，,x,0,为,f,(,x,)的驻点或使,f,(,x,),(i)若当,x,0；,则,f,(,x,0,),是,f,(,x,)的极大值；,(ii),若当,x,x,0,时，,f,(,x,),x,0,时，,f,(,x,)0，,当,x,x,0,时，,f,(,x,)0时，,f,(,x,0,)是,f,(,x,)的极小值。,例5,的极值.,定理3,（极值存在的二阶充分条件）,设函数,f,(,x,)在点,x,0,处具有二阶导数，,（i）当,f,(,x,0,)0时，,f,(,x,0,)是,f,(,x,)的极大值；,令,得驻点:,由极值第二判别法,x,=1时,f,(,x,)有极小值:,f,(1)=4.,由于,所以,需用极值第一判别法判定:,从而,时,无极值.,三、最大值、最小值问题,（2）计算区间端点处的函数值；,例6 求函数,上的最大值与最小值。,在区间,1 求连续函数,f,(,x,)在,a,b,上的最值：,（1）计算函数驻点与不可导点处的函数值；,（3）对以上两类函数值进行比较即得。,令,函数的不可导点为,x,=0,1.,解,得驻点,函数,f,(,x,)在区间端点、驻点以及不可导点处的函数值为：,比较之，得最大值：,最小值：,一般地说，若函数,f,(,x,)的最大(小)值是在区间,(,a,b,)内取得，则该最大（小）值必为极大（小）值,在实际问题中，往往根据问题的性质，就可断定,此时，如果确定,f,(,x,)在这个区间内部只有一个驻点,x,0,（或导数不存在的点），,可导函数,f,(,x,)在其区间内部确有最大值（或最小值），,那么，这个点就是函数的最值点,注1：,注2：,2 实际问题中最值的求法,例7 如图所示为稳压电源回路，电动势为,e,内阻为,r,负载电阻为R，问R为多大时，输出功率最大？,解：由电学知道，消耗在负载电阻R上的功率,I为回路中的电流.,又由欧姆定律知道,则有,令,此实际问题应有最大值，故当,输出的功率最大，,