多元函数微分法及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第 八 章,多元函数微分法及其应用,81 多元函数的基本概念,一、多元函数的概念,以前我们接触到的函数,y,=,f,(,x,),有一个特点, 就是只有一个自变量, 函数,y,是随着这一个自变量的变化而变化的. 我们称为一元函数. 如,y,= sin,x,y,=,x,2,+ 3cos,x,等.,说明:,1. 由于,R,2,R,3,中的点与向量一一对应. 因此以后在表述时不再区分这两个概念.,在无特别声明时, 总用,X,Y,等表,R,2,R,3,中的点(向量). 用,x,y,z,a,b,c,等表实数.,2. 由于有多种乘积使用记号 , 因此, 阅读教材时, 应注意区别 ,a, ,A,P, ,X,B, 的含意.,对 + 也类似.,所谓多元函数, 直观的说, 就是有多个自变量的函数. 函数,y,随多个自变量的变化而变化.,圆柱体体积,V,=, r,2,h,体积,V,随,r,h,的变化而变化.,一对数(,r,h,),就有唯一的一个,V,与之对应.,或者说, 任给,长方体体积,V =,xyz,V,随,x,y,z,的变化而变化.,一组数(,x,y,z,),就有唯一的一个,V,与之对应.,或者说, 任给,这些都是多元函数的例子. 有二个自变量的称为二元函数. 有三个自变量的称为三元函数, , 有,n,个自变量的称为,n,元函数.,与一元函数类似, 我们有,二元函数定义,设,D,是,xy,平面上的一个点集,即,D,R,2,若对任意的点,X,= (,x,y,),D,R,2,按照某个对应规则,f,总有唯一确定的实数,z,与之对应, 则称,f,是定义在,D,上的二元实值函数, 记作,f,:,D,R,X,= (,x,y,) ,z .,称,z,为点,X,= (,x,y,),在,f,下的像, 记作,f,(,X,),或,f,(,x,y,),即,z = f,(,X,) =,f,(,x,y,).,也称作,X,= (,x,y,),所对应的函数值.,称,D,为函数,f,的定义域.,D,在,f,下的像集,f,(,D,)=,f,(,X,)|,X,D,称为,f,的值域.,习惯上, 称,z = f,(,X,) =,f,(,x,y,),为二元函数, 另外, 称,x,y,为自变量,z,为因变量.,比如,z,= sin,x,+cos,y,z,= 3,x,2,+,e,y,.,注1,.,一般说来, 自变量,x,y,都是独立变化的. 它们只受到 (,x,y,),D,的限制.,f,(,x,y,) 的表达式, 算,f,(,x,0,y,0,),的方法与一元函数类似.,另外, 若给出了,注2,.,特别, 若定义域,D,是,x,y,面上一条曲线.,D,:,y = g,(,x,).,g,事实上,x,D,上的点,(,x,g,(,x,) = (,x,y,),z .,f,=,f,(,x,g,(,x,),成为一元函数.,则二元函数,z,=,f,(,x,y,),注3,.,任何一个一元函数都可扩充为一个 二元函数.,事实上,z,=,f,(,x,),=,f,(,x,) + 0 ,y,只须将,z,作为一元函数的定义域,D,R,扩充为,R,2,中点集即可.,注2, 注3说明二元函数是一元函数的推广, 而一元函数则是二元函数的特殊情形. 一元函数是定义在,xy,面上一条直线(,x,轴)上的二元函数.,类似的, 有,n,元函数定义.,设,D,R,n,若对任意的,X,= (,x,1,x,2, ,x,n,),D,R,n,按某个对应规则,f,总有唯一确定的实数,z,与之对应, 则称,f,是定义在,D,上的,n,元实值函数. 记作,f,:,D,R,X,= (,x,1,x,2, ,x,n,),z .,并记,z,=,f,(,X,),或,z,=,f,(,x,1,x,2, ,x,n,).,定 义,解:,与一元函数类似. 就是要求使这个式子有意义的平面上的点的集合.,例1.,求,z,= ln (,x,+,y,),的定义域,D,并画出,D,的图形.,x + y, 0.,故 定义域,D,= (,x,y,)|,x + y, 0,画直线,y,1,= ,x,.,由于,D,中点 (,x,y,),的纵坐标,y,要大于直线,y,1,= ,x,上点的纵坐标,y,1,故,D,表示直线,y,1,= ,x,上方点的集合. (不包括边界,y,1,= ,x,上的点),为画,D,的图形, 由,x + y, 0,得,y, ,x,= (,y,1,).,x + y,= 0,x,y,o,如图,y, ,x,D,(不包括直线,x + y,= 0),例2.,解:,故,故,D,表示到原点距离不超过1的点的集合. 即,D,为单位圆盘 (包括圆周).,x,y,o,x,2,+,y,2,= 1,(包括圆周),D,二、平面点集,1. 邻域:,以点,X,0,= (,x,0,y,0,),为中心, 以,为半径的圆内部点的全体称为,X,0,的,邻域.,即,记 (,X,0,) = U,(,X,0,) ,X,0, 称为,X,0,的去心,邻域.,如图,X,0,X,0,U,(,X,0,), (,X,0,),当不关心邻域半径时, 简记为,U,(,X,0,),和, (,X,0,).,2.,内点,:,设,E,是一平面点集,X,0,= (,x,0,y,0,),E,若,存在,邻域 U(,X,0,) ,E,则称,X,0,为,E,的内点.,E,的全体内点所成集合称为,E,的内部, 记为,E,0,.,D,= (,x,y,)|,x,2,+,y,2,1,如图,x,y,o,x,2,+,y,2,= 1,1,1,D,易知, 圆内部的每一点都是,D,的内点. 但圆周上的点不是,D,的内点.,x + y,= 0,x,y,0,如图,D,又如,z,= ln (,x,+,y,),的定义域,D,= (,x,y,)|,x+y, 0,易见, 直线上方每一点都是D,的内点. 即,D,=,D,但直线上的点不是,D,的内点.,3. 边界点:,设,E,是一平面点集,X,0,= (,x,0,y,0,),是平面上一个点. 若,X,0,的,任何,邻域,U(,X,0,)内既有属于,E,的点, 又有不属于,E,的点,则称,X,0,为,E,的边界点.,E,的全体边界点所成集合称为,E,的边界. 记作,E,.,如, 例1中定义域,D,的边界是直线,x,+,y,= 0,上点的全体. 例2中定义域,D,的边界是单位圆周,x,2,+,y,2,= 1,上的点的全体. 如图,x,y,o,1,1,x,2,+,y,2,= 1,D,x + y,= 0,x,y,o,E,的边界点可以是,E,中的点, 也可以不是,E,中的点.,D,4. 开集,设,E,是一平面点集, 若,E,中每一点都是,E,的内点.,即,E,E,0,则称,E,是一个开集.,由于总有,E,0,E,因此,E,E,0,E,=,E,0,故也可说,比如, 例1中,D,是开集, (,D,=,D,0,),而例2中,D,不是开集.,若,E,=,E,0, 则称,E,是一个开集.,规定, R,2,为开集.,x,y,o,E,又比如,E,如图,若,E,不包含边界, 则,E,为开集.,若,E,包含边界, 则,E,不是开集.,结论,:,非空平面点集,E,为开集的充要条件是,E,中每一点都不是,E,的边界点. 即,E,不含有,E,的边界点.,证:,必要性.,设,E,为开集,X,E,由开集定义知,X,为,E,的内点. 故,X,不是,E,的边界点.,充分性,.,若,E,中每一点都不是,E,的边界点.,要证,E,为开集.,X,E,由于,X,不是,E,的边界点.,故必存在,X,的一个邻域U(,X,),在这个邻域 U(,X,),内或者全是,E,中的点. 或者全都不是,E,中的点, 两者必居其一.,由于,X,E,故后一情形不会发生.,因此, U(,X,),内必全是,E,中的点. 故,X,E,0,即,E,E,0,所以,E,是开集.,5. 连通集,设,E,是一非空平面点集, 若,X,Y,E,.,都可用完全含于,E,的折线将它们连接起来, 则称,E,为连通集.,如图,X,Y,E,连通,Y,X,E,不连通,从几何上看, 所谓,E,是连通集, 是指,E,是连成一片的.,E,中的点都可用折线连接.,例1, 2中的,D,都是连通集.,如图,x + y,= 0,x,y,o,x,y,o,1,1,x,2,+,y,2,= 1,6.,开区域(开域),设,E,是一平面点集.,比如, 例1中,D,是开区域.,如图.,E,从几何上看, 开区域是连成一片的, 不包括边界的平面点集.,若,E,是连通的非空开集, 则称,E,是开区域.,7. 闭区域 (闭域),若,E,是开域, 记,称为闭区域.,如图.,E,易见, 例2中的,D,是闭区域. 从几何上看, 闭区域是连成一片的. 包括边界的平面点集.,(本书把)开区域和闭区域都叫作区域.,8. 设,E,R,2, 若存在,r, 0,使,E, U(,O,r,),则称,E,为有界集. 否则称,E,为无界集.,易见, 例1中,D,是无界集, 它是无界开区域, 而例2中,D,是有界集, 它是有界闭区域.,9. 聚点.,设,E,是平面点集,X,0,是平面上一个点. 若,X,0,的,任一,邻域内总有无限多个点属于,E,.,则称,X,0,是,E,的一个聚点.,从几何上看, 所谓,X,0,是,E,的聚点是指在,X,0,的附近聚集了无限多个,E,中的点. 即, 在,X,0,的任意近傍都有无限多个,E,中的点.,X,0,如图,1.,聚点定义也可叙述为: 若,X,0,的任一邻域内至少含有,E,中一个,异于,X,0,的点. 则称,X,0,为,E,的 一个聚点. (自证).,2.,E,的聚点,X,0,可能属于,E,也可能不属于,E,.,3.,E,的内点一定是,E,的聚点.,4. 若,E,是开区域. 则,E,中每一点都是,E,的聚点.,即, 区域中的任一点都是该区域,的聚点.,一般, 集合,E,的边界点不一定是,E,的聚点. 但若,E,是开集, 则,E,的边界点一定是,E,的聚点, 自证.,邻域, 内点, 边界点, 开集, 连通, 有界, 开区域, 闭区域, 聚点,这,些概念都可毫无困难地推广到三维空间,R,3,中去, 且有类似的几何意义. 它们还可推广到 4 维以上的空间中去, 但不再有几何意义.,三、二元函数的几何意义,设,z,=,f,(,X,) =,f,(,x,y,),的定义域是平面区域,D,.,按二元函数定义,X,= (,x,y,),D,. 可以唯一确定实数,z,从而确定了空间一个点,M,(,x,y,z,).,当,X,在,D,中变动时, 点,M,(,x,y,z,),在空间中变动,当,X,取遍,D,中一切点时,M,(,x,y,z,),在,三维空间中 织 出一片曲面.,即, 二元函数表示空间中一片曲面,D,是该曲面在,xy,面上的投影区域.,X,D,M,(,x,y,z,),y,x,z,o,z,=,f,(,X,) =,f,(,x,y,),如,z,=,ax,+,by,+,c, 表平面.,注意, 三元函数,u,=,f,(,x,y,z,),的定义域是,R,3,的一个子集.,三元函数无几何意义.,81 多元函数的基本概念,三、多元函数的极限,回忆一元函数的极限. 设,y,=,f,(,x,),当,x,不论是从,x,0,的左边,还是从,x,0,的右边无限接近于,x,0,时, 对应的函数值无限接近于数,A,.,表示,如图,x,y,A,0,f,(,x,),f,(,x,),y,=,f,(,x,),x,0,x,x,x,x,0,就是, 0, 0.,当0|,x,x,0,|, 时, 有|,f,(,x,),A,| .,设二元函数,z = f,(,X,) =,f,(,x,y,),定义域为,D,.,如图,D,z,=,f,(,x,y,),X,X,如果当,X,在,D,内变动并无限接近于,X,0,时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值,f,(,X,),无限接近于数,A,则称,A,为当,X,趋近于,X,0,时,f,(,X,),的极限.,M,X,0,A,y,z,x,o,f,(,X,),类似于一元函数,f,(,X,),无限接近于数,A,可用 |,f,(,X,),A,| 0, , 0, 当,对应的函数值满足,|,f,(,X,),A,| ,则称,A,为,z,=,f,(,X,),的, 当,X,趋近于,X,0,时(二重)极限.,记作,或,也可记作,f,(,X,),A,(,X,X,0,),或,f,(,x,y,) ,A,(,x,x,0,y,y,0,),定义1,注1.,定义1中要求,X,0,是定义域,D,的聚点, 这是为了保证,X,0,的任意近傍总有点,X,使得,f,(,X,),存在, 进而才有可能判断,|,f,(,X,),A,|,是否小于,的问题.,若,D,是一区域. 则只须要求,就可保证,X,0,是,D,的一个聚点.,另外, 0 |,X,X,0,| 0,时, 有 |,f,(,x,y,) 0 | 0, 使得当,要使,|,f,(,x,y,) 0 | ,只须,即,|,f,(,x,y,) 0 | ,故,例2.,设,f,(,x,y,) =,证明,f,(,x,y,)在 (0, 0)点的极限不存在.,证:,由注2知, 只须证明当,X,沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数,f,(,x,y,),对应的极限也不同即可.,考察,X =,(,x,y,)沿平面直线,y = kx,趋于(0, 0)的情形.,如图,对应函数值,x,o,y,从而, 当,X,= (,x,y,),沿,y = kx,趋于(0,0)时, 函数极限,当,k,不同时, 极限也不同. 因此,f,(,x,y,),在 (0, 0)的极限不存在 .,请考察当,X,= (,x,y,),沿,x,轴, 沿,y,轴趋于(0, 0)的情形.,沿,x,轴,y,= 0.,函数极限,= 0,沿,y,轴,x,= 0.,函数极限,= 0,但不能由此断定该二重极限为0 (注2).,定义2,四、多元函数的连续性,设,z = f,(,X,) =,f,(,x,y,),在区域,D,上有定义.,则称,f,(,X,) 在,X,0,连续,X,0,称为,f,(,X,),的连续点.,否则称,f,(,X,) 在,X,0,间断,X,0,称为,f,(,X,),的间断点.,X,= (,x,y,),D,X,0,= (,x,0,y,0,),D,若,f,(,X,) 在,D,上每一点都连续, 则称,f,(,X,),在,D,上连续, 记为,f,(,X,),C,(,D,).,易知, 例2中,f,(,x,y,)在(0, 0)间断(极限不存在),每一点都间断.,注,1. 二元函数,f,(,X,)在,X,0,连续必须满足三个条件. 在,X,0,有定义, 在,X,0,的极限存在, 两者相等,2. 多元连续函数的和, 差, 积, 商(分母不为0)以及多元连续函数的复合仍是多元连续函数.,定义可推广到三元以上函数中去.,3. 多元初等函数在它有定义的区域内都是连续的.,所谓多元初等函数是指以,x,y,z, 为自变量的基本初等函数,f,(,x,),(,y,),g,(,z,), 以及常函数, 经有限次四则运算和复合所构成的函数.,如,f,(,x,) =,e,xy,sin(,x,2,+,y,),=,e,0,sin0 = 0.,4. 二元连续函数的几何意义:,定义在区域,D,上的二元连续函数,z,=,f,(,X,) =,f,(,x,y,),表示了在,D,上的一片没有 空洞, 没有 裂缝 的连续曲面.,这里条件 ,D,是一区域 是必要的. 若,D,不是区域,z,=,f,(,X,),可能不是通常意义下的连续曲面.,例,. 设,D,= (,x,y,) |,x,y,均为有理数,R,2,.,z =f,(,x,y,),是定义在,D,上的, 在,D,上恒等于1, 在别的点上无定义的函数,即,f,(,x,y,) =,1, 当(,x,y,),D,时,无定义, 当(,x,y,),D,时.,如图,x,y,z,o,1,可知,(,x,0,y,0,),D,但曲面,z = f,(,x,y,)不是通常意义下的连续曲面.,5、有界闭区域上二元连续函数的性质,性质1.,性质2.,有界闭域,连续,有界闭域,连续,