动态系统的描述

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 动态系统的描述,2-1 SISO线性连续系统的动态模型,时域模型：微分方程,权函数和卷积,阶跃响应,状态方程,频域模型：传递函数G(S),频率特性G(j),连续系统的离散化,第二章 动态系统的描述,2-2 线性离散系统的动态模型,线性差分方程,权序列与卷积和,状态方程,2-3 随机动态系统的数学模型,随机噪声的数学模型,随机型差分方程,预报误差模型,2-1 线性连续系统的动态模型,时域模型：,微分方程,线性系统输入u(t)，输出y(t)，u(t)的n阶导数与y(t)的n阶导数分别用u,(n),(t)与y,(n),(t)表示，用微分方程描述n阶线性定常系统的动态特性：,线性连续系统,u(t),y(t),(2-1-1),2-1 线性连续系统的动态模型,时域模型：,权函数和卷积,系统输入为单位脉冲,(t)，输出g(t)为脉冲响应：,系统在任意输入u(t)作用下，有：,(2-1-2),2-1 线性连续系统的动态模型,时域模型：,权函数和卷积,考虑到,0时，u(,)=0，g(,)=0，那么：,或者等价的有：,称为u(t)与g(t)的卷积，g(t)为权函数（加权函数）。已知g(t) 可求出任意u(t)作用下的y(t),(2-1-3),(2-1-3),2-1 线性连续系统的动态模型,时域模型：,阶跃响应函数,输入为单位阶跃函数：,输出为单位阶跃响应函数：,若令t -,=，则有,：,(2-1-4),(2-1-5),(2-1-6),2-1 线性连续系统的动态模型,单位阶跃相应函数k(t)与g(t)之间的关系：,已知k(t)可求出任意u(t)作用下的y(t)：,2-1 线性连续系统的动态模型,时域模型：,状态方程,把高阶微分方程改写成一阶微分方程组可以得到状态方程：,其中x(t)为k维列向量，A为kk维矩阵，B为k维列向量，C为k维行向量，d为标量。与(2-1-1)式输入输出关系等价的状态方程(2-1-7)式不是唯一的,(2-1-7),2-1 线性连续系统的动态模型,频域模型：,传递函数G(s),由微分方程(2-1-1)式的拉氏变换可以得到：,由状态方程(2-1-7)式的拉氏变换可以得到：,2-1 线性连续系统的动态模型,频域模型：,频率特性G(j),令G(s)中的s=j ，得到：,幅频特性,：,相频特性：,对数幅频特性、对数相频特性：Bode图,幅相频率特性：Nyquist图,(2-1-12),2-1 线性连续系统的动态模型,连续系统的离散化：,从解微分方程的角度,近似认为在一个采样周期中u(t)保持不变；求解x(t)和y(t)而得到离散化后的方程，即经过采样后系统的状态方程：,离散化后方程,（k=t,0,，k+1=t）,：,(2-1-26),2-1 线性连续系统的动态模型,连续系统的离散化：,从解微分方程的角度,因为在一个采样周期T中u(t)将保持不变：,2-1 线性连续系统的动态模型,连续系统的离散化：,从拉氏变换到Z变换的角度,对象G,0,(s) 离散后的Z传递函数G,0,(z)是：,其中零阶保持器的传递函数为：,从以上两个角度得到的结果完全等价,2-2 线性离散系统的动态模型,SISO系统的线性定常差分方程,其中k即kT，a,j,b,j,是常系数，移位算子q,-1,y(k) =y(k-1),线性离散系统,u(k),y(k),(2-2-1),(2-2-2),2-2 线性离散系统的动态模型,与Z传递函数的关系,对于SISO系统，可以找出差分方程与Z传递函数之间的关系。零初始条件下对(2-2-1)式进行Z变换：,其中z=e,-Ts,，按Z传递函数定义，有：,2-2 线性离散系统的动态模型,MIMO系统的差分方程,式(2-2-1)的SISO系统差分方程表达方法可以推广到MIMO系统。设系统具有m个输入和r个输出，可以定义：,线性多输入多,输出离散系统,u,1,(k),u,2,(k),u,m,(k),y,1,(k),y,2,(k),y,r,(k),2-2 线性离散系统的动态模型,MIMO系统的差分方程,系统可以用向量的差分方程来表示,方程中A,j,，B,j,分别是rr和rm维常系数矩阵,用向后一步平移算子来表示：,其中I、A,1,等为rr维矩阵，B,0,、B,1,等为 rm维矩阵,2-2 线性离散系统的动态模型,SISO系统的权序列与卷积和,权序列定义：系统对于单位脉冲序列(k)的响应,SISO系统的权序列为h(i), i=0, 1, 2, ,系统的输入输出关系可以表示为离散卷积和:,在i0时，u(i)=0，h(i)=0：,2-2 线性离散系统的动态模型,权序列与Z传递函数的关系,权序列与差分方程的关系,比较等式两边相同幂次z,-i,的系数，可得：,2-2 线性离散系统的动态模型,MIMO系统的权序列,考虑m输入r输出的多变量系统，权序列表达式变成权矩阵序列H(i)，其中第i个权矩阵为：,矩阵中元素h,kl,(k)表示第l个输入和第k个输出之间的权系数。相应的卷积和为：,2-2 线性离散系统的动态模型,SISO系统的状态方程,SISO线性定常系统有：,其中x(k)为n维列向量，为nn维矩阵，为n维列向量，G为n维行向量，d为标量,q,-1,G,+,+,d,u(k),x(k+1),x(k),y(k),(2-2-12),2-2 线性离散系统的动态模型,SISO系统的状态方程,假定系统(2-2-12)完全能控能观，则：,那么该系统的权序列与差分方程是唯一确定的,反之，对应某一差分方程或权序列，状态变量选择不同，获得状态方程参数不同,但特定的规范型是唯一的。一般形式的状态方程通过等秩变换，可以得到规范型,2-3 随机动态系统的数学模型,确定系统：无噪声干扰,随机系统：有噪声干扰,噪声：随机因素或难以确定描述的因素,加性噪声：,非加性噪声：,混合信号,有用信号,随机噪声,非加性函数,2-3 随机动态系统的数学模型,随机噪声过程的数学模型,考虑加性噪声、对复杂噪声的抽象的统计描述,随机过程,x(t),过程的实现,固定时刻为随机变量,2-3 随机动态系统的数学模型,随机噪声过程的数学模型,给定时刻的分布规律,不同时刻的相互关系,高维分布函数：不同时刻的统计特性,2-3 随机动态系统的数学模型,平稳随机过程,严平稳随机过程：概率特性不随时间改变,宽平稳随机过程：数字特征不随时间改变,均值：,均方值：,方差：,协方差：,自相关函数：,2-3 随机动态系统的数学模型,平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度,确定性过程,其中,x(t),与,X(w),为傅立叶变换对,平均功率,功率谱密度,2-3 随机动态系统的数学模型,平稳过程的自相关函数与平均功率谱密度,随机过程,自相关函数,R,xx,(,),与平均功率谱密度,S,x,(w),是傅立叶变换对,平均功率,平均功率谱密度,2-3 随机动态系统的数学模型,典型的随机过程,白噪声过程,w(t),或,w(k),：理想化的平稳随机过程,有色噪声过程：经过线性环节滤波的白噪声,均值为零,能量均匀,彼此无关,彼此相关,2-3 随机动态系统的数学模型,随机型差分方程,确定型差分方程,随机型差分方程,白噪声,有色噪声,通常,b,0,=0,2-3 随机动态系统的数学模型,随机型差分方程,受控自回归滑动平均模型（,CARMA,）,受控自回归模型（,CAR,）,Auto Regression,Controlled,Moving Average,2-3 随机动态系统的数学模型,随机型差分方程,自回归滑动平均模型（,ARMA,）,自回归模型（,AR,）,滑动平均模型（,MA,）,2-3 随机动态系统的数学模型,预报误差模型（,PEM: Predictive Error Model,）,描述动态随机模型的一般数学表达式：,预报值,预报值,预报值,新息序列,输入序列,输出序列,时间坐标,参数向量,2-4 小结,目的：给出系统辨识所需的模型类,连续模型与离散模型,微分方程差分方程,连续状态方程离散状态方程,权函数与卷积权序列与卷积和,S,传递函数,Z,传递函数,考虑实际过程中噪声的存在,确定型模型随机型模型,预报误差模型,