《DSP第十一讲》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第十一讲,3.2.5 DFT,的共轭对称性,3,.3,频域抽样理论-抽样,Z,变换,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,要点,为什么要定义圆周对称？,DFT,对称性的特点？,频域抽样提出的背景？,3.2.5 DFT,的共轭对称性,与,DTFT,对称性的区别,DTFT,以,(-,+),为变换空间，所以在讨论对称性质中，以原点为对称中心，序列的移位范围无任何限制，因为无论如何不会移出变换区间；,DFT,以,(0,N-1),为变换空间，所以在讨论对称性质中，序列的移位会移出变换区间，所以要在区间,(0,N-1),上定义,有限长序列的共轭对称序列和反对称序列；,DFT,以,(0,N-1),为变换空间，所以在讨论对称性质中，将会得出其对称中心为,n=N/2,。,1.,有限长序列的共轭对称分量,与共轭反对称分量,有限长序列的共轭对称分量与共轭反对称分量分别定义为：,由于,所以,这表明长为,N,的有限长序列可分解为两个长度相同,的两个分量。,1.,有限长共轭对称序列与共轭反对称序列,上式已给出有限长共轭序列对称共轭反对称序列的对称中心为,n=N/2,，任意有限长序列其圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量可简写为：,共轭对称与共轭反对称序列示意图,有限长序列,x(n,),的实、虚分解 及其,DFT,对称性,则有：,证明：,2.DFT,的共轭对称性,有限长序列,x(n,),的对称分量分解 及其,DFT,对称性,参见式（,3.2.12,）,实、纯虚序列的对称特性,当,x,(n),为实序列时，则,X(k)=,X,ep,(k,),又据,X,ep,(k,),的,对称性：,当,x,(n),为纯虚序列时，则,X(k)=,X,op,(k,),又据,X,op,(k,),的,对称性：,(1),X,(,k,),共轭对称，即,X,(,k,)=,X,*,(,N,-,k,),k,=0,1,N,-1,(2),如果,x,(,n,),是实偶对称序列，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,),，则,X,(,k,),实偶对称，即,X,(,k,)=,X,(,N,k,),(3),如果是奇对称序列，即,x,(,n,)=,x,(,N,n,),，则,X,(,k,),纯虚奇对称，即,X,(,k,)=,X,(,N,k,),实序列的对称特性小结,序列,DFT,有限长序列的共轭对称性总结,1,：复数序列的共轭对称性,序列,DFT,有限长序列共轭对称性总结,2:,实数序列的共轭对称性,有限长序列共轭对称性总结,3:,纯虚序列的共轭对称性,序列,DFT,例,3.2.2,假设,x,1,(n),和,x,2,(n),都是,N,点的实数序列，设想用一次,N,点,DFT,运算来计算它们各自的,DFT:,共轭对称性的应用,解：,由,(3.2.17),、,(3.2.18),和,(3.2.19),式得到：,所以，由,X,(,k,),可以求得两个实序列,x,1,(,n,),和,x,2,(,n,),的,N,点,DFT,：,3,.3,频率域采样 频域采样,定理,讨论：,时域采样,:,对一个,频带有限的,信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。,频域采样,:,对一有限序列,(,时间有限序列,),进行,N,点,DFT,所得,x(k),就是序列傅氏变换的采样,.,所以,DFT,是频域,N,点抽样的结果。,问题,:,能否由频域抽样,X(k,),恢复序列,x(n,),能否由频域抽样,X(k,),恢复,x(z,),或,若能恢复其条件是什么？如何推导频域内插恢复公式,?,回忆时域内插恢复公式,!,X(n,),为,M,点的有限长序列。,IDFTX(k,)=,X,N,(n,),FT,DTFT,DFS,讨论之前先明确一些概念,x,(,n,),一,.,由,频域抽样恢复原序列,一,.,由,频域抽样恢复原序列（续）,频域抽样时域以,N,点为周期进行延拓的主值区间,原序列,X(z,),在单位圆上的,N,点等间隔采样所得到的周期序列,X(k,),的,IDFS,是原序列,x(n,),以,N,为周期进行延拓的周期序列。,x(n),为无限长序列,混叠失真,x(n),为有限长序列，长度为,M,由于时域抽样造成频域周期延拓，同样，频域抽样造成时域周期延拓。,分两种情况讨论周期延拓是否造成混叠失真：,频域采样定理,若序列长度为,M,，,则只有当频域采样点数,:,时，才有,即可由频域采样 不失真地恢复原信号,，,否则产生时域混叠现象。,1.,由,X,(,k,),恢复,X,(Z),则：,内插公式与内插函数,用频域采样 恢复 的内插公式,2.,记住此公式，第七章数字滤波器的设计中，我们将会看到，该公式提供了一种有用的滤波器结构和滤波器设计途径。,【,例,3.3.1,】,长度为,26,的三角形序列,x,(,n,),如图,3.3.1(a),所示。编写,MATLAB,程序验证频域采样理论。,解,解题思想：先计算,x,(,n,),的,32,点,DFT,，得到其频谱函数,X,(e,j,),在频率区间,0,，,2,上等间隔,32,点采样,X,32,(,k,),，再对,X,32,(,k,),隔点抽取，得到,X,(e,j,),在频率区间,0,，,2,上等间隔,16,点采样,X,16,(,k,),。最后分别对,X,16,(,k,),和,X,32,(,k,),求,IDFT,得到：,绘制,x,16,(,n,),和,x,32,(,n,),波形图验证频域采样理论。,MATLAB,求解程序,ep331.m,如下：,%,数字信号处理,(,第三版）,第,3,章例,3.3.1,程序,ep331.,%,频域采样理论验证,M=26;N=32;n=0:M;,xa,=0:M/2;,xb,=ceil(M/2)-1:-1:0;,xn,=,xa,xb,;,%,产生,M,长三角波序列,x(n,),Xk,=,fft(xn,512);,%512,点,FFT,x(n,),X32k=,fft(xn,32);,%32,点,FFT,x(n,),x32n=ifft(X32k);,%32,点,IFFT,X32(k),得到,x32(n),X16k=X32k(1:2:N);%,隔点抽取,X32k,得到,X16(k),x16n=ifft(X16k,N/2);%16,点,IFFT,X16(k),得到,x16(n),以下绘图部分省略。,图,3.3.1,频域采样定理验证,3.4 DFT,的应用举例,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,3.4.2,用,DFT,进行信号的谱分析,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,0kL-1,则由时域循环卷积定理有,Y(,k,)=DFT,y(n),=H(,k,)X(,k,),0,k,L-1,如果,1.,用,DFT,计算循环卷积,由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可在频域计算。由于,DFT,有快速算法,FFT,，当,N,很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用,DFT(FFT),计算循环卷积。,图,3.4.1,用,DFT,计算循环卷积的原理框图,背景及意义：,在实际应用中，为了分析,LSI,系统或者对序列进行滤波处理时，需要计算两个序列的线性卷积。为了提高运算速度，也希望用,DFT(FFT),计算线性卷积。而与,DFT,对应的是循环卷积，,为此需导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。,假设,h(n),和,x(n),都是有限长序列，长度分别是,N,和,M,。,它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下,：,2.,循环卷积与线性卷积,长度为,N+M-1,长度为,L,其中，,Lmax,N,M,可以看出，上式中,y,c,(,n,),等于,y,l,(,n,),以,L,为周期的周期延拓序列的主值序列。若,y,l,(,n,),的长度为,N,M,1,，则只有当循环卷积长度,L,N,M,1,时，,y,l,(,n,),以,L,为周期进行周期延拓时才无时域混叠现象。此时取其主值序列显然满足,y,c,(,n,)=,y,l,(,n,),。由此证明了循环卷积等于线性卷积的条件是：,L,N,M,1,线性卷积与循环卷积的关系,图,3.4.2,线性卷积与循环卷积,线性卷积与循环卷积图示,x(n,)=1,，,1,，,1,，,1,h(n,)=1,，,1,，,1,，,1,，,1,线性卷积,y(n,)=1,，,2,，,3,，,4,，,4,，,3,，,2,，,1,6,点圆周卷积,X(n,)=1,，,1,，,1,，,1,，,0,，,0,h(0-m)=1,，,0,，,1,，,1,，,1,，,1 y(0)=3,h(1-m)=1,，,1,，,0,，,1,，,1,，,1 y(1)=3,h(2-m)=1,，,1,，,1,，,0,，,1,，,1 y(2)=3,h(3-m)=1,，,1,，,1,，,1,，,0,，,1 y(3)=4,h(4-m)=1,，,1,，,1,，,1,，,1,，,0 y(4)=4,h(5-m)=0,，,1,，,1,，,1,，,1,，,1 y(5)=3,-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7,1,，,2,，,3,，,4,，,4,，,3,，,2,，,1,1,，,2,，,3,，,4,，,4,，,3,，,2,，,1,3,，,3,，,3,，,4,，,4,，,3,直接做圆周卷积,利用圆周卷积与线性卷积的关系,图,3.4.3,用,DFT,计算线性卷积框图,M,N,。若仍选取,L,N,M,1,，以,L,为循环卷积区间，并用上述快速卷积法计算线性卷积，则要求对短序列补很多零点，而且长序列必须全部输入后才能进行快速计算。因此要求存储容量大，运算时间长，并使处理延时很大，不能实现实时处理。通常采用分段卷积。若,将,x(n),均匀分段，每段长度取,M,，,则,于是，,h(n),与,x(n),的线性卷积可表示为,3.,长序列的分段卷积,图,3.4.4,重叠相加法卷积示意图,用,DFT,计算分段卷积,y,k,(,n,),的方法：,（,1,）,i,=0,；,L,=,N,M,1,；,计算并保存,H,(,k,)=DFT,h,(,n,),L,;,（,2,）,读入,x,i,(,n,)=,x,(,n,),R,M,(,n,kM,),，,构造变换区间,0,，,L-1,上的序列，实际中就是将,x,i,(,n,),的,M,个值存放在长度为,M,的数组中,并计算,（,3,）,；,（,4,）,，,n,=0,1,2,L,1,；,（,5,）,计算：,（,6,）,i,=,i,1,，返回,(2),。,应当说明，一般,x,(,n,),是因果序列，假设初始条件,y,-1,(,n,)=0,。,MATLAB,信号处理工具箱中提供了一个函数,fftfilt,，,该函数用重叠相加法实现线性卷积的计算。调用格式为：,y=,fftfilt(h,x,，,M),。式中,h,是系统单位脉冲响应向量；,x,是输入序列向量；,y,是系统的输出序列向量（,h,与,x,的卷积结果）；,M,是由用户选择的输入序列,x,的分段长度，缺省,M,时，默认输入序列,x,的分段长度,M=512,。,【,例,3.4.1,】,假设,h,(,n,)=,R,5,(,n,),，,x,(,n,)=,cos(,n,/10),+cos(2,n,/5),u,(,n,),，用重叠相加法计算,y,(,n,)=,h,(,n,)*,x,(,n,),，并画出,h,(,n,),、,x,(,n,),和,y,(,n,),的波形。,解,h,(,n,),的长度为,N,=5,对,x,(,n,),进行分段，每段长度为,M,=10,。计算,h,(,n,),和,x,(,n,),的线性卷积的,MATLAB,程序如下：,%,例,3.4.1,重叠相加法的,MATLAB,实现程序：,ep341.m,Lx=41;N=5;M=10;%Lx,为信号序列,x(n,),长度,hn,=ones(1,N);hn1=,hn,zeros(1,Lx-N),;,%,产生,h(n,),，其后补零