随机过程第六章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,第六章：平稳随机过程,严平稳过程的定义,宽平稳过程的定义,平稳过程的数字特征,平稳过程自相关函数的性质,时间平均和集合平均的概念,平稳过程遍历性定义,遍历性判定定理,遍历性应用举例,2,严平稳过程的定义,设,X(t),tT,是随机过程，如果对任意常数,和正整数,n,，,t,1,t,2,t,n,T,，,t,1,+,t,2,+,t,n,+,T,，,(X(t,1,),X(t,2,),X(t,n,),与,(X(t,1,+,),X(t,2,+,),X(t,n,+,),有相同的联合分布，则称,X(t),tT,为严平稳过程或侠义平稳过程。,严平稳过程的统计特征是由有限维分布函数决定的，在实际应用中难以确定。,3,宽平稳过程的定义,设,X(t),tT,是随机过程，如果,1,、,X(t),tT,是二阶矩过程；,2,、对任意,tT,，,m,X,(t,)=,EX(t,)=,常数；,3,、对任意,s,t,T,，,R,X,(s,t,)=,EX(s)X(t,)=,R,X,(s-t,),。,则称,X(t),tT,为广义平稳过程，简称为宽平稳过程,4,对于严平稳随机过程,X(t,),（以实过程为例）的一维分布,F,1,(X,1,t,1,)=F,1,(X,1,t,1,+,),，若令,=-t,1,，则,F,1,(X,1,t,1,)=F,1,(X,1,0)=F,1,(X,1,),因此严平稳随机过程的一维分布函数与时间无关，其在任何时刻的统计规律相等。,若随机过程,X(t,),为严平稳，则其均值、均方值和方差均为常数。,5,对于严平稳随机过程,X(t,),的二维分布,F,2,(X,1,X,2,;t,1,t,2,)=F,2,(X,1,X,2,;t,1,+,t,2,+,),，若令,=-t,1,，则,F,2,(X,1,X,2,;t,1,t,2,)=F,2,(X,1,X,2,;0,t,2,-t,1,),，令,t,2,-t,1,=,，则,F,2,(X,1,X,2,;t,1,t,2,)=F,2,(X,1,X,2,;,),严平稳过程,+,二阶矩过程,=,宽平稳；反之不成立,。,6,例题,1,：,设,Y,是随机变量，试分别考虑,X(t,)=Y,和,X(t,)=,tY,的平稳性。,例题,2,：,设,X,n,，,n=0,1,2,是实的互不相关随机变量序列，且,EX,n,=0,DX,n,=,2,。试讨论随机序列的平稳性。,例题,3,：,设,Xn,，,n=1,2,是相互独立且都服从,N(0,1),的随机变量序列，,Yn,，,n=1,2,是相互独立且都服从 上的均匀分布的随机变量序列，且,Xn,与,Yn,相互独立，,n=1,2,。令,证明,Zn,，,n=1,2,是宽平稳过程，但不是严平稳过程。,7,联合平稳过程,设,X(t),tT,和,Y(t),tT,是两个平稳过程，若它们的互相关函数,和 仅与,有关，而与,t,无关，则称,X(t,),和,Y(t,),是联合平稳随机过程。,当两个平稳过程,X(t,),，,Y(t,),是联合平稳时，则它们的和也是平稳过程。,8,4,、,R,X,(,),是非负定的，即对任意实数,t,1,t,2,t,n,及复数,a,1,a,2,a,n,，有,平稳过程自相关函数的性质,设,x(t),tT,为平稳过程，则其相关函数具有下列性质：,5,、若,X(t,),是周期为,T,的周期函数，即,X(t,)=,X(t+T,),，则,R,X,(,)=R,X,(,+T),；,6,、若,X(t,),是不含周期分量的非周期过程，当,|,|,时，,X(t,),与,X(t,+,),相互独立，则,1,、,2,、,3,、,9,联合平稳过程自相关函数的性质,10,收敛性概念,对于概率空间,(,F,P),上的随机序列,X,n,每个试验结果,e,都对应一序列，如果该序列对每个,e,都收敛，则称随机序列,X,n,处处收敛，即满足,称二阶矩随机序列,X,n,(e,),以概率,1,收敛于二阶矩随机变量,X(e,),，即,或称,X,n,(e,),几乎处处收敛于,X(e,),，及作,称二阶矩随机序列,X,n,(e,),依概率收敛于二阶矩随机变量,X(e,),，若对于任给,0,，有,记作,11,设有二阶矩随机序列,X,n,和二阶矩随机变量,X,，若有,成立，则称,X,n,均方收敛于,X,，记作,称二阶矩随机序列,X,n,依分布收敛于二阶矩随机变量,X,，若,X,n,相应的分布函数列,F,n,(x,),，在,X,的分布函数,F(x,),的每一个连续点处，有,记作,a.e,m.s,P,d,不收敛,12,定理,6.3,设,X,n,Y,n,Z,n,都是二阶矩随机序列，,U,为二阶矩随机变量，,C,n,为常数序列，,a,b,c,为常数，令,l.i.mX,n,=X,，,l.i.mY,n,=Y,，,l.i.mZ,n,=Z,，有,13,定理,6.4,设,X,n,为二阶矩随机序列，则,X,n,均方收敛的充要条件为下列极限存在：,定义,6.6,设有二阶矩过程,X(t),tT,，若对每一个,tT,，有,则称,X(t,),在,t,点均方连续，记作,若,T,中一切点都均方连续，则称,Xt,在,T,上均方连续。,定理,6.5,二阶矩过程,X(t,),，,tT,在,t,点均方连续的充要条件为相关函数,R,X,(t,1,t,2,),在点,(,t,t,),处连续。,14,均方导数,定义,6.7,设,X(t),tT,为二阶矩过程，若存在另一个随机过程,X,(t,),，满足,则称,X(t,),在,t,点均方可微，记作,15,二阶矩过程的相关函数,R,X,(t,1,t,2,),的广义二阶导数记作,定理,6.6,二阶矩过程,X(t),tT,在,t,点均方可微的充要条件微相关函数,R,X,(t,1,t,2,),在点,(,t,t,),的广义二阶导数存在。,推论：数学期望运算与求导运算可以交换顺序。,16,均方积分,定义,6.8,设,X(t),tT,为二阶矩过程，,f(t,),为普通函数，其中,T=,a,b,，设,T,的任一划分为,a=t,0,t,1,t,n,=b,，记,做和式,如果当,n,0,时，,S,n,均方收敛于,S,，即,则称,f(t)X(t,),在区间,a,b,上均方可积，记作,定理,6.7,f(t)X(t,),在区间,a,b,上均方可积的充要条件为,存在。二阶矩过程,X(t,),在区间,a,b,上均方可积的充要条件为,R,X,(t,1,t,2,),在,a,ba,b,上可积。,18,定理,6.8,设,f(t)X(t,),在区间,a,b,上均方可积，则有,定理,6.9,设,X(t),tT,为二阶矩过程在区间,a,b,上均方连续，则,在均方意义下存在，且随机过程,Y(t,),tT,在区间,a,b,上均方可微，且有,Y(t,)=,X(t,),。,19,20,时间平均和集合平均概念,集合平均,m,X,是随机过程的均值，即任意时刻的过程取值的统计平均。,时间平均,是随机过程的样本函数按不同时刻取平均，它随样本不同而不同，是个随机变量。,对于一个确定的样本,时间平均,集合平均,21,定义,6.10,设,X(t,),-t,是均方连续的平稳过程，若,以概率,1,成立，则称该平稳过程的均值具有各态历经性。若,以概率,1,成立，则称该平稳过程的相关函数具有各态历经性。,定义,6.11,如果均方连续的平稳过程,X(t),tT,的均值和相关函数都具有各态历经性，则称该平稳过程为具有各态历经性或遍历性。,22,定理,6.10,设,X(t,),-t,是均方连续的平稳过程，则它的均值具有各态历经性的充要条件为,例题,6.9,：,随机过程,X(t,)=,acos(wt,+,),a,w,为常数，,为,(0,2,),上均匀分布的随机变量，试分析,X(t,),遍历性,。,23,24,定理,6.11,设,X(t,),-t,是均方连续的平稳过程，则其相关函数具有各态历经性的充要条件为,其中,25,各态历经定理的意义：,一个实平稳过程，如果它是各态历经的，则可用任意一个样本函数的时间平均代替过程的集合平均，即,若样本函数,X(t,),只在有限区间,0,T,上给出，则对于实平稳过程有下列估计式,26,作业：,6.7 6.21,