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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第四章 三角函数,4,.,4,三角函数的综合应用,高考数学,(浙江专用),1,考点三角函数的最值与综合应用,1.(2017课标全国文,6,5分)函数,f,(,x,)=,sin,+cos,的最大值为,(),A.,B.1C.,D.,五年高考,答案,A,f,(,x,)=,sin,+cos,=,+,cos,x,+,sin,x,=,sin,x,+,cos,x,=,2sin,=,sin,f,(,x,)的最大值为,.,故选A.,2,一题多解,cos,=cos,=sin,=sin,f,(,x,)=,sin,f,(,x,),max,=,.故选A.,2.(2016课标全国,12,5分)已知函数,f,(,x,)=sin(,x,+,),x,=-,为,f,(,x,)的零点,x,=,为,y,=,f,(,x,)图象的对称轴,且,f,(,x,)在,单调,则,的最大值为,(),A.11B.9C.7D.5,3,答案,B依题意,有,(,m,、,n,Z),又|,|,m,+,n,=0或,m,+,n,=-1.当,m,+,n,=0时,=4,n,+1,=,由,f,(,x,)在,上单调,得,-,12,取,n,=2,得,=9,f,(,x,)=sin,符合题意.当,m,+,n,=-1时,=-,=4,n,+3,取,n,=2,得,=11,f,(,x,)=,sin,此时,当,x,时,11,x,-,f,(,x,)不单调,不合题意.故选B.,3.(2017课标全国文,13,5分)函数,f,(,x,)=2cos,x,+sin,x,的最大值为,.,答案,解析,本题主要考查三角函数的最值.,由题意可知,f,(,x,)=2cos,x,+sin,x,=,sin(,x,+,)(tan,=2),f,(,x,)的最大值为,.,4,4.(2017课标全国理,14,5分)函数,f,(,x,)=sin,2,x,+,cos,x,-,的最大值是,.,答案,1,解析,本题主要考查三角函数的最值.,由题意可得,f,(,x,)=-cos,2,x,+,cos,x,+,=-,+1.,x,cos,x,0,1.,当cos,x,=,时,f,(,x,),max,=1.,5.(2017北京文,16,13分)已知函数,f,(,x,)=,cos,-2sin,x,cos,x,.,(1)求,f,(,x,)的最小正周期;,(2)求证:当,x,时,f,(,x,),-,.,5,解析,本题考查三角恒等变换,三角函数的性质.,(1),f,(,x,)=,cos 2,x,+,sin 2,x,-sin 2,x,=,sin 2,x,+,cos 2,x,=sin,.,所以,f,(,x,)的最小正周期,T,=,=.,(2)证明:因为-,x,所以-,2,x,+,.,所以sin,sin,=-,.,所以当,x,时,f,(,x,),-,.,易错警示,正确化简,y,=,f,(,x,)是解题的关键.在(2)中,证明,f,(,x,),-,时容易忽视,x,的取值范围.,6,6.(2017山东理,16,12分)设函数,f,(,x,)=sin,+sin,其中0,3.已知,f,=0.,(1)求,;,(2)将函数,y,=,f,(,x,)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平,移,个单位,得到函数,y,=,g,(,x,)的图象,求,g,(,x,)在,上的最小值.,7,解析,本题考查了,y,=,A,sin(,x,+,)的图象和性质及最值.,(1)因为,f,(,x,)=sin,+sin,所以,f,(,x,)=,sin,x,-,cos,x,-cos,x,=,sin,x,-,cos,x,=,=,sin,.,由题设知,f,=0,所以,-,=,k,k,Z.,故,=6,k,+2,k,Z,又0,0,0)的图象变换:,由,y,=sin,x,的图象变换得到,y,=,A,sin(,x,+,)(,A,0,0)的图象有两种方法.,方法一:(先平移后伸缩),y,=sin,x,的图象,y,=sin(,x,+,)的图象,y,=sin(,x,+,)的图象,y,=,A,sin(,x,+,)的图象.,方法二:(先伸缩后平移),y,=sin,x,的图象,y,=sin,x,的图象,y,=,sin(,x,+,)的图象,y,=,A,sin(,x,+,)的图象.,7.(2015天津,15,13分)已知函数,f,(,x,)=sin,2,x,-sin,2,x,R.,(1)求,f,(,x,)的最小正周期;,(2)求,f,(,x,)在区间,上的最大值和最小值.,9,解析,(1)由已知,有,f,(,x,)=,-,=,-,cos 2,x,=,sin 2,x,-,cos 2,x,=,sin,.,所以,f,(,x,)的最小正周期,T,=,=.,(2)因为,f,(,x,)在区间,上是减函数,在区间,上是增函数,f,=-,f,=-,f,=,.所以,f,(,x,)在区间,上的最大值为,最小值为-,.,评析,本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角公式,三角函数的最小正周期、单,调性等基础知识.考查基本运算能力.,10,8.(2014重庆,17,13分)已知函数,f,(,x,)=,sin(,x,+,),的图象关于直线,x,=,对称,且,图象上相邻两个最高点的距离为.,(1)求,和,的值;,(2)若,f,=,求cos,的值.,11,解析,(1)因为,f,(,x,)的图象上相邻两个最高点的距离为,所以,f,(,x,)的最小正周期,T,=,从而,=,=2.,又因为,f,(,x,)的图象关于直线,x,=,对称,所以2,+,=,k,+,k,=0,1,2,.由-,得,k,=0,所以,=,-,=-,.,(2)由(1)得,f,=,sin,=,所以sin,=,.,由,得0,-,所以cos,=,=,=,.,因此cos,=sin,=sin,=sin,cos,+cos,sin,12,9.(2014四川,16,12分)已知函数,f,(,x,)=sin,.,(1)求,f,(,x,)的单调递增区间;,(2)若,是第二象限角,f,=,cos,cos 2,求cos,-sin,的值.,13,解析,(1)因为函数,y,=sin,x,的单调递增区间为,k,Z.,由-,+2,k,3,x,+,+2,k,k,Z,得,-,+,x,+,k,Z.,所以,函数,f,(,x,)的单调递增区间为,k,Z.,(2)由已知,有sin,=,cos,(cos,2,-sin,2,),所以sin,cos,+cos,sin,=,(cos,2,-sin,2,).,即sin,+cos,=,(cos,-sin,),2,(sin,+cos,).,当sin,+cos,=0时,由,是第二象限角,知,=,+2,k,k,Z.,此时,cos,-sin,=-,.,当sin,+cos,0时,有(cos,-sin,),2,=,.,14,由,是第二象限角,知cos,-sin,0,此时cos,-sin,=-,.,综上所述,cos,-sin,=-,或-,.,评析,本题主要考查正弦型函数的性质,二倍角与和差角公式,简单的三角恒等变换等基础知,识,考查运算求解能力,考查分类与整合、化归与转化等数学思想.,10.(2013陕西,16,12分)已知向量,a,=,b,=(,sin,x,cos 2,x,),x,R,设函数,f,(,x,)=,a,b,.,(1)求,f,(,x,)的最小正周期;,(2)求,f,(,x,)在,上的最大值和最小值.,15,解析,f,(,x,)=,(,sin,x,cos 2,x,),=,cos,x,sin,x,-,cos 2,x,=,sin 2,x,-,cos 2,x,=cos,sin 2,x,-sin,cos 2,x,=sin,.,(1),f,(,x,)的最小正周期为,T,=,=,即函数,f,(,x,)的最小正周期为.,(2)0,x,-,2,x,-,.由正弦函数的性质,当2,x,-,=,即,x,=,时,f,(,x,)取得最大值1.,当2,x,-,=-,即,x,=0时,f,(0)=-,16,当2,x,-,=,即,x,=,时,f,=,f,(,x,)的最小值为-,.,因此,f,(,x,)在,上的最大值是1,最小值是-,.,评析,本题考查平面向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的性质及给定区间求三角函数,的最值问题,综合考查学生应用知识能力和运算求解能力.正确求解函数,f,(,x,)的解析式是解题的,关键.,17,11.(2014湖北,17,11分)某实验室一天的温度(单位:)随时间,t,(单位:h)的变化近似满足函数关系:,f,(,t,)=10-,cos,t,-sin,t,t,0,24).,(1)求实验室这一天的最大温差;,(2)若要求实验室温度不高于11,则在哪段时间实验室需要降温?,以下为教师用书专用,18,解析,(1)因为,f,(,t,)=10-2,=10-2sin,又0,t,24,所以,t,+,11时实验室需要降温.,由(1)得,f,(,t,)=10-2sin,故有10-2sin,11,即sin,-,.,又0,t,24,因此,t,+,即10,t,18.,在10时至18时实验室需要降温.,评析,考查了正弦函数的性质,考查了运算求解能力.正确利用正弦函数的单调性是解题的关,键.计算失误是造成失分的重要原因之一,应充分重视.,19,1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,5)函数,f,(,x,)=2cos,x,sin,的最大值为,(,),A.1-,B.1+,C.,D.2,三年模拟,一、,选择题,A组 20152017年高考模拟基础题组,答案,A,f,(,x,)=2cos,x,=,sin 2,x,-,(1+cos 2,x,)=sin,-,f,(,x,),max,=1-,.,20,2.(2016浙江名校(柯桥中学)交流卷四,4)已知函数,y,=2sin,x,的定义域为,a,b,值域为-2,1,则,b,-,a,的,值不可能是,(),A.,B.C.,D.2,答案,D函数,y,=2sin,x,的最小正周期为2,值域-2,1含最小值不含最大值,故定义域的长度,b,-,a,小于一个周期,故选D.,二、填空题,3.(2017浙江高考模拟训练冲刺卷四,11)若函数,f,(,x,)=,a,sin,x,+,b,cos,x,(,ab,0)的最小值为,f,且,f,=-2,则,=,f,(0)的值为,.,答案,;-2,解析,依题意有,a,sin,+,b,cos,=-,即,a,+,b,=-,可得,b,=,a,故,=,从而,f,(,x,)=2,a,sin,所以,f,=2,a,sin,=-2,解得,a,=-,故,f,(0)=2,sin,=-2.,21,4.(2017浙江五校联考(5月)已知函数,f,(,x,)=(sin,x,+,cos,x,)(cos,x,-,sin,x,).,(1)求函数,f,(,x,)的单调递增区间;,(2)若,f,(,x,0,)=,x,0,求cos 2,x,0,的值.,三、解答题,解析,(1),f,(,x,)=(sin,x,+,cos,x,)(cos,x,-,sin,x,)=2sin,.,令2,k,-,2,x,+,2,k,+,(,k,Z),得,k,-,x,k,-,(,k,Z),故函数,f,(,x,)的单调递增区间为,(,k,Z).,(2),f,(,x,0,)=2sin,=,sin,=,又,x,0,cos,=-,cos 2,x,0,=cos,=,+,=,.,22,5.(2017浙江名校协作体,18)已知0,函数,f,(,x,)=,cos(2,x,+,)+sin,2,x,.,(1)若,=,求,f,(,x,)的单调递增区间;,(2)若,f,(,x,)的最大值是,求,的值.,解析,(1)由题意可知,f,(,x,)=,cos 2,x,-,sin 2,x,+,(3分),=,cos,+,.,(5分),由2,k,-,2,x,+,2,k,k,Z,得,k,-,x,k,-,k,Z.,所以,f,(,x,)的单调递增区间为,k,Z.,
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