《维向量教学》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第一节 n维向量,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义1,分量全为复数的向量称为,复向量.,分量全为实数的向量称为,实向量,，,一、 维向量的概念,例如,n维实向量,n维复向量,第1个分量,第n个分量,第2个分量,二、 维向量的表示方法,维向量写成一行，称为,行向量,，也就是行,矩阵，通常用等表示，如：,维向量写成一列，称为,列向量,，也就是列,矩阵，通常用等表示，如：,注意,行向量和列向量总被看作是,两个不同的,向量,；,行向量和列向量都按照,矩阵的运算法则,进行运算；,当没有明确说明是行向量还是列向量时，,都当作,列向量,.,向量,解析几何,线性代数,既有大小又有方向的量,有次序的实数组成的数组,几何形象：可随意,平行移动的有向线段,代数形象：向量的,坐标表示式,坐标系,三、向量空间,空间,解析几何,线性代数,点空间,：点的集合,向量空间,：向量的集合,坐标系,代数形象：向量空,间中的平面,几何形象：空间,直线、曲线、空间,平面或曲面,一一对应,叫做,维向量空间,时， 维向量没有直观的几何形象,叫做 维向量空间 中的,维超平面,确定飞机的状态，需,要以下6个参数：,飞机重心在空间的位置参数,P(x,y,z),机身的水平转角,机身的仰角,机翼的转角,所以，确定飞机的状态，需用6维向量,维向量的实际意义,课堂讨论,在日常工作、学习和生活中，有许多问题都,需要用向量来进行描述，请同学们举例说明,向量的表示方法：行向量与列向量；, 向量空间：,解析几何与线性代数中向量的联系与区别、,向量空间的概念；, 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用,四、小结, 维向量的概念，实向量、复向量；,若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用,思考题,如果我们还需要考察其它指标，,比如平均成绩、总学分等，维数还将增加,思考题解答,答,36维的,第二节 向量组的线性相关性,扬州大学数学科学学院,线性代数,若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组,例如,一、向量、向量组与矩阵,向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组,反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,线性方程组的向量表示,方程组与增广矩阵的列向量组之间,一一对应,定义,线性组合,向量 能,由向量组 线性表示,定理1,定义,向量组 能由向量组 线性表示,向量组等价,从而,注意,定义,二、线性相关性的概念,则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关,定理向量组 （当 时）线性相关,的充分必要条件是 中至少有一个向,量可由其余 个向量线性表示,证明,充分性,设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示.,即有,三、线性相关性的判定,故,因 这 个数不全为0，,故 线性相关.,必要性,设 线性相关，,则有不全为0的数使,因 中至少有一个不为0，,不妨设则有,即 能由其余向量线性表示.,证毕.,线性相关性在线性方程组中的应用,结论,定理2,下面举例说明定理的应用.,证明,（略）,解,例,解,例,分析,证,定理3,证明,说明,说明,. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方,程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；,. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性,在线性方程组中的应用；,（,重点,）,. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，,两个定理,（,难点,）,四、小结,思考题,证明,（）、（）略,（）,充分性,必要性,思考题解答,第二节 向量组的秩,扬州大学数学科学学院,线性代数,定义,最大线性无关向量组,最大,无关组,一、最大线性无关向量组,定理,二、矩阵与向量组秩的关系,结论,说明,事实上,定理,三、向量组秩的重要结论,推论1,推论2,思考,证一,证二,注意,最大线性无关向量组的概念：,最大性,、,线性无关性, 矩阵的秩与向量组的秩的关系：,矩阵的秩矩阵列向量组的秩,矩阵行向量组的秩, 关于向量组秩的一些结论：,一个定理,、,三个推论, 求向量组的秩以及最大无关组的方法：,将向量组中的向量作为列向量构成一个矩,阵，然后进行初等行变换,四、小结,比较教材例7的证,法一、二、三，并总,结这类题的证法,思考题,证法一根据,向量组等价的定义,，寻找两向量,组相互线性表示的系数矩阵；,思考题解答,证法二利用“,经初等列变换，矩阵的列向量,组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价,”,这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；,证法三直接计算向量组的秩，利用了,向量组,的最大线性无关组等价,这一结论,第四节 向量空间,扬州大学数学科学学院,线性代数,说明,2 维向量的集合是一个向量空间,记作 .,一、向量空间的概念,定义1设 为 维向量的集合，如果集合 非空，,且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称,集合 为向量空间,1集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,例2,判别下列集合是否为向量空间.,解,例3,判别下列集合是否为向量空间.,解,试判断集合是否为向量空间.,一般地，,为,定义2,设有向量空间 及 ，若向量空间，,就说 是 的子空间,实例,二、子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，,那末，向量组 就称为向量的一个,基,，,称为向量空间 的维数,，,并称 为,维向量,空间,三、向量空间的基与维数,定义3,设 是向量空间，如果 个向量,，且满足,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一,个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基,就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的,秩.,向量空间的概念：,向量的集合,对加法及数乘两种运算封闭,；,由向量组生成的向量空间,子空间的概念,向量空间的基和维数：,求向量空间基和维数的方法,四、小结,思考题,思考题解答,第五节 线性方程组解的结构,扬州大学数学科学学院,线性代数,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,为方程 的,解，则,称为方程组(1) 的,解向量,，它也就是向量方程,(2)的解,齐次线性方程组解的性质,（1）若 为 的解，则,也是 的解.,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则,也是 的解,证明,由以上两个性质可知，方程组的全体解向量,所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，,因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线,性方程组 的,解空间,证毕.,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,线性方程组基础解系的求法,设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨,设 的前 个列向量线性无关,于是 可化为,现对 取下列 组数：,依次得,从而求得原方程组的 个解：,下面证明 是齐次线性方程组解空,间的一个基,由于 个 维向量,线性无关，,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的,解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基.,说明,解空间的基不是唯一的,解空间的基又称为方程组的,基础解系,若 是 的基础解系，则,其,通解,为,定理1,例1,求齐次线性方程组,的基础解系与通解.,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩,阵，有,例2,解线性方程组,解,对系数矩阵施,行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例3,证,证明,非齐次线性方程组解的性质,三、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,其中 为对应齐次线性方程,组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特,解.,非齐次线性方程组的通解,非齐次线性方程组Ax=b的通解为,与方程组 有解等价的命题,线性方程组 有解,线性方程组的解法,（1）应用克莱姆法则,（2）利用初等变换,特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，,计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可,用来证明很多命题,特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有,无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数,表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效,的计算方法,例4,求解方程组,解,解,例5,求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,齐次线性方程组基础解系的求法,四、小结,（1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为,最简形,由于,令,（2）得出 ，同时也可知方程组的一,个基础解系含有 个线性无关的解向量,故,为齐次线性方程组的一个基础解系.,(,),(,),n,B,R,A,R,=,=,(,),(,),n,B,R,A,R,=, 线性方程组解的情况,思考题,思考题解答,第四章 习题课,扬州大学数学科学学院,线性代数,分量全为实数的向量称为,实向量,分量全为复数的向量称为,复向量,向量的定义,定义,向量的相等,零向量,分量全为0的向量称为零向量,负向量,向量加法,向量的线性运算,数乘向量,向量加法和数乘向量运算称为向量的,线性运,算,，满足下列八条运算规则：,除了上述八条运算规则，显然还有以下性质：,若干个同维数的列（行）向量所组成的集合,叫做向量组,定义,线性组合,定义,线性表示,定理,定义,定义,线性相关,定理,定理,定义,向量组的秩,等价的向量组的秩相等,定理,矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于,它的行向量组的秩,定理,设向量组B能由向量组A线性表示，则向量,组B的秩不大于向量组A的秩,推论,推论,推论,（最大无关组的等价定义）,设向量组是向量组的部分组，若向量组,线性无关，且向量组能由向量组线性表示，,则向量组是向量组的一个最大无关组,向量空间,定义,设 为 维向量的集合，如果集合 非空，且,集合 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集,合 为向量空间,定义,子空间,定义,基与维数,向量方程,齐次线性方程组,解向量,解向量的性质,性质,性质,定义,定理,定义,向量方程,非齐次线性方程组,解向量的性质,性质,性质,解向量,向量方程 的解就是方程组 的解向量,（）求齐次线性方程组的基础解系,线性方程组的解法,第一步：对系数矩阵进行初等行变换，使其,变成行最简形矩阵,第三步：将其余 个分量依次组成 阶,单位矩阵，于是得齐次线性方程组的一个基础解系,（）求非齐次线性方程组的特解,将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为,特解的第 个分量，其余 个分量全部取,零，于是得,即为所求非齐次线性方程组的一个特解,一、向量组线性关系的判定,二、求向量组的秩,三、向量空间的判定,四、基础解系的证法,五、解向量的证法,典型例题,一、向量组线性关系的判定,研究这类问题一般有两个方法,方法1从定义出发,整理得线性方程组,方法利用矩阵的秩与向量组的秩之间关,系判定,例,研究下列向量组的线性相关性,解一,整理得到,解二,分析,证明,证明向量组的一个部分组构成最大线性无,关组的基本方法就是：,分析,根据最大线性无关组的定义来证，它往往还与向量组的秩相联系,证明,求一个向量组的秩，可以把它转化为矩阵的,秩来求，这个矩阵是由这组向量为行（列）向量,所排成的,如果向量组的向量以列（行）向量的形式给,出，把向量作为矩阵的列（行），对矩阵作初等,行（列）变换，这样，不仅可以求出向量组的秩，,而且可以求出最大线性无关组,二、求向量组的秩,若矩阵 经过初等行（列）变换化为矩阵 ，,则 和 中任何对应的列（行）向量组都有相同的,线性相关性,解,判断向量的集合是否构成向量空间，需看集合,是否对于加法和数乘两种运算封闭若封闭，则构,成向量空间；否则，不构成向量空间,解,三、向量空间的判定,例,证明与基础解系等价的线性无关的向量组,也是基础解系,四、基础解系的证法,分析,(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示,(1)该组向量都是方程组的解；,(2)该组向量线性无关；,要证明某一向量组是方程组的基础解,系，需要证明三个结论:,证明,注,当线性方程组有非零解时，基础解系的取,法不唯一，且不同的基础解系之间是等价的,五、解向量的证法,证明,注意,(1)本例是对非齐次线性方程组的解,的结构作进一步的分析和讨论，即非齐次线性方,程组一定存在着个线性无关的解，题中,(2)的证明表明了它的存在性,(3)对非齐次线性方程组，有时也把,如题中所给的个解称为的基础,解系，所不同的是它的线性组合只有当线性组合,系数之和为1时，才是方程组的解,(2)对齐次线性方程组，当时，,有无穷多组解，其中任一解可由其基础解系线性,表示,第四章测试题,一、填空题(每小题5分，共40分),二、计算题,(每小题8分，共24分),三、证明题,(每小题8分，共24分),四、向量组 线性无关,问常数 满足,什么条件时,向量组,线性无关,(12分),测试题答案,