【教学课件】第3讲概率论与数理统计

,概率论与数理统计,第三 讲,主讲教师：王燕杰,邮箱：,在实际问题中,除了要考虑某事件,A,的概率,P(,A,),外，有时还要考虑在“事件,B,已经发生”的条件下，事件,A,发生的概率。,1.4.1,条件概率,I.,条件概率的概念,通常记事件,B,发生的条件下,事件,A,发生的概率为,P,(,A,|,B,),。,一般情况下，,P,(,A,|,B,),P,(,A,),。,1.4,条件概率,例,1,：,100,件产品中有,5,件不合格品，而,5,件不合格品中又有,3,件是次品，,2,件是废品。现从,100,件产品中任意抽取一件，假定每件产品被抽到的可能性都相同，求,(1).,抽到的产品是次品的概率；,(2).,在抽到的产品是不合格品条件下,产品是,次品的概率。,解：,设,A,=,抽到的产品是次品,，,B,=,抽到的产品是不合格品,。,(1).,按古典概型计算公式，有,可见，,P(,A,),P(,A,|,B,),。,(2).,由于5件不合格品中有,3,件是次品，故可得,虽然,P(,A,),与,P(,A,|,B,),不同，但二者之间存在什么关系呢,?,先来计算,P(,B,),和,P(,AB,),。,因为,100,件产品中有,5,件是不合格品，所以,P(,B,)=5/100,。,P(AB)=3/100,。,而,P(,AB,),表示事件“抽到的产品是不合格品、又是次品”的概率，再由,100,件产品中只有,3,件即是不合格品又是次品，得,通过简单运算，得,有,P,(,A,)=1/6,，,又,如：,掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点，,求,P,(,A,|,B,),。,已知事件,B,发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是,B,。,于是，,P,(,A,|,B,)=1/3,。,B,中共有,3,个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有,1,个,(2,点,),在集合,A,中。,可以得到：,受此启发，对条件概率进行 如下定义。,若事件,B,已发生,则为使,A,也,发生,试验结果必须是既在,B,中又在,A,中的样本点,即此点必属于,AB,。由于我们已经知道,B,已发生,故,B,就,变成了新的样本空间,于是 就有,(1),。,II.,条件概率定义,为在事件,B,发生条件下，事件,A,的条件概率。,定义,1:,设,A,、,B,是两个事件，且,P,(,B,)0,，称,III.,条件概率的性质,设,B,是一事件，且,P,(,B,)0,则,1.,对任一事件,A,，,0,P,(,A,|,B,)1;,2.,P(|,B,)=1,；,而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。,3.,设,A,1,A,2,互斥，则,例,2,：,有外观相同的三极管,6,只，按电流放大系数分类,4,只属甲类,两只属乙类。不放回地抽取三极管两次,每次只抽一只。求在第一次抽到是甲类三极管的条件下,第二次又抽到甲类三极管的概率。,解,:,记,A,i,=,第,i,次抽到的是甲类三极管,i,=1,2,A,1,A,2,=,两次抽到的都是甲类三极管,由第,2,讲中的例，可知,再由,P(,A,1,)=4/6=2/3,，得,由条件概率的定义：,即 若,P,(,B,)0,则,P,(,AB,)=,P,(,B,),P,(,A,|,B,),(2),而,P,(,AB,)=,P,(,BA,),，,1.4.2,乘法公式,在已知,P,(,B,),P,(,A,|,B,),时,可反解出,P,(,AB,),。,将,A,、,B,的位置对调，有,故,P,(,A,)0,，则,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),。,(3),若,P,(,A,)0,则,P,(,BA,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),，,当,P,(,A,1,A,2,A,n-,1,)0,时，有,P,(,A,1,A,2,A,n,）,=,P,(,A,1,),P,(,A,2,|,A,1,),P,(,A,n,|,A,1,A,2,A,n-,1,).,多个事件乘法公式的推广,:,例,3:,一批灯泡共,100,只，其中,10,只是次品，其余为正品，作不放回抽取，每次取一只，求,:,第三次才取到正品的概率。,解：,设,A,i,=,第,i,次取到正品,i,=1,2,3,。,A,=,第三次才取到正品,。则,:,例,4,：,袋中有同型号小球,b,+,r,个，其中,b,个是黑球，,r,个是红球。每次从袋中任取一球，观其颜色后放回,并再放入同颜色，同型号的小球,c,个。若,B,=,第一、第三次取到红球,第二次取到黑球,，求,P(,B,),。,解,:,设,A,i,=,第,i,次取到红球,i,=,1,2,3,则,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。,综合运用,加法公式,P,(,A,B,)=,P,(,A,)+,P,(,B,),A,、,B,互斥,乘法公式,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,|,A,),P,(,A,)0,1.4.3,全概率公式与贝叶斯公式,例,5:,有三个箱子,分别编号,1,2,3,。,1,号箱装有,1,红球,4,白球,;2,号箱装有,2,红球,3,白球,;3,号箱装有,3,红球。某人从三箱中任取一箱,再从箱中任取一球，求取到红球的概率。,解：,记,A,i,=,球取自,i,号箱,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,。,即,B=A,1,B,A,2,B,A,3,B,，,且,A,1,B,、,A,2,B,、,A,3,B,两两互斥。,B,发生总是伴随着,A,1,A,2,A,3,之一同时发生，,于是，,P,(,B,)=,P,(,A,1,B,)+,P,(,A,2,B,)+,P,(,A,3,B,),运用加法公式,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的,全概率公式。,对和式中的各项,运用乘法公式得,设,A,1,A,2,A,n,是两两互斥的事件，是样本空间的一个划分，且,P,(,A,i,)0,i=,1,2,n,;,另有一事件,B,它总是与,A,1,A,2,A,n,之一同时发生，则,全概率公式,在较复杂情况下，直接计算,P,(,B,),不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的,A,i,使,B,伴随着某个,A,i,的出现而出现，且每个,P(,A,i,B,),容易计算。可用所有,P(,A,i,B,),之和计算,P(,B,),。,由公式,“,全部概率”,P,(,B,),，可分成多个,“部分概率”,P(,A,i,B,),之和。,它的理论和实用意义在于,:,不难看出,:,某一事件,B,的发生有各种可能的原因,A,i,(,i,=1,2,n,),，如果,B,是由原因,A,i,所引起，则,B,发生的概率是,每一原因都可能导致,B,发生，故,B,发生的概率是各原因引起,B,发生概率的总和，即全概率公式。,P,(,A,i,B,)=,P,(,A,i,),P,(,B,|,A,i,),我们还可以从另一个角度去理解全概率公式。,由此可以形象地把全概率公式看成是：,由原因推结果,，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系。,诸,A,i,是原因,B,是结果,实际中还有下面一类问题：,已知结果求原因。,这一类问题在实际中常见，它所求的是条件概率，是某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小。,接上例，考虑如下问题：,或者问：,“,该球取自各箱的可能性大小”。,某人从任意一箱中任意摸出一球，,发现是红球，求该球是取自,1,号箱的概率,。,考虑上边例子：,记,A,i,=,球取自,i,号箱,，,i,=1,2,3;,B,=,取得红球,。,所求,为,P,(,A,1,|,B,),。,运用全概率公式,计算,P,(,B,),将上述公式一般化，就得贝叶斯公式。,该公式于,1763,年由贝叶斯,(,Bayes,),给出。它是在观察到事件,B,已发生的条件下，寻找导致,B,发生的每个原因的概率。,贝叶斯公式,设,A,1,A,2,A,n,是两两互斥的事件，,是样本空间的一个划分，,且,P,(,A,i,)0,，,i,=1,2,n,;,另有一事件,B,它总是与,A,1,A,2,A,n,之一同时发生，则,例,6:,某一地区患有癌症的人占,0.005,，患者对一种试验反应是阳性的概率为,0.95,，正常人对这种试验反应是阳性的概率为,0.04,，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大,?,则 表示“抽查的人不患癌症”。,解：,设,A,=,抽查的人患有癌症,B,=,试验结果是阳性,。,求,P,(,A,|,B,),。,已知,:,现在来分析一下结果的意义：,代入数据计算，得,P,(,A,|,B,)=0.1066,。,(2).,检出阳性是否一定患有癌症,?,(1).,该,试验对于诊断一个人是否患有癌有无,意义？,由,贝叶斯公式,，得,如果不做试验，抽查一人,他是癌症患者的概率,P,(,A,)=0.005,。,患者阳性反应的概率是,0.95,，若试验后呈阳性反应，则根据试验得到的信息：此人是癌症患者的概率为,P,(,A|B,)=0.1066,。,说明试验对于诊断一个人是否患癌症有意义。,概率从,0.005,增加到,0.1066,约,增加了,21,倍。,(1).,该试验对于诊断一个人是否患有癌症有无,意义？,(2).,检出阳性是否一定患有癌症,?,试验结果为阳性，此人确患癌症的概率为,P,(,A|B,)=0.1066,。,即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有,10.66%(,平均来说，,1000,个人中大约只有,107,人确患癌症,),，此时医生常要通过其他试验来确认,。,贝叶斯公式,在贝叶斯公式中，,P,(,A,i,),和,P,(,A,i,|,B,),分别称为,原因的,验前概率,和,验后概率,。,P,(,A,i,)(,i,=1,2,n,),是在没有进一步的信息,(,不知道事件,B,是否发生,),的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。,当有了新的信息,(,知道,B,发生,),，人们对诸事件发生可能性大小,P,(,A,i,|,B,),有了新的认识。,例,7,：,8,支步枪中有,5,支已校准过,3,支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶概率为,0.8,；用未校准的枪射击时，中靶概率为,0.3,。现从,8,支枪中任取一支用于射击，结果中靶。求：所用的枪是校准过的概率。,解：,设,A,=,射击时中靶,，,B,1,=,枪校准过,B,2,=,枪未校准,，,则,B,1,B,2,是,一个划分，由贝叶斯公式，得,例,8,：,一批同型号的螺钉由编号为,I,II,III,的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为,35%,40%,25%,。各台机器生产的螺钉的次品率分别为,3%,2%,和,1%,。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求,:,这颗螺钉由,I,II,III,号机器生产的概率各为多少,?,解：,设,A,=,螺钉是次品,B,1,=,螺钉由,I,号机器生产,B,2,=,螺钉由,II,号机器生产,B,3,=,螺钉由,III,号机器生产,。,则,由,贝叶斯公式,，得,P(,B,1,)=0.35,，,P(,B,2,)=0.40,，,P(,B,3,)=0.25,P(,A,|,B,1,)=0.03,，,P(,A,|,B,2,)=0.02,，,P(,A,|,B,3,)=0.01,。,小结,本节首先介绍条件概率的定义与计算；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式；通过多个实例，从各方面分析、讲解了上述公式的理论意义、实际意义及应用范围。,