概率论1-4章课后习题讲解

单击此处编辑母版标题样式,*,*,上一页,下一页,概率论与数理统计习题解答课件,1,第一章 随机事件及概率,2,P,23,习题,1.1,有数字0,1,2,3,4,5能组成多少个没有重复数字的五位数？,这6个数字选出5个来排列的方法有,解,：由题意可知，,种；而,首位为0的有,种，故首位不能为0的为：,3,P,23,习题,1.2,从含3件次品、7件正品的产品中任取 5件，其中有4件正品与1件次品，试问有多少种取法？,解,：由题意可知，,任取5件，其中有4件正品与1件次品的取法为：,4,P,23,习题,1.3,试证,证明：,由概率的加法公式得任意的两个事件,A,B,有,故,5,P,23,习题,1.4,从含45件正品、5件次品的产品中任取 3件产品，试求其中恰有一件次品的概率.,解,：由题意可知，,A表示任取3件中有一件为次品事件，50件,中任取3件的取法为,。,而有一件为次品的取法为,故,6,P,23,习题,1.5,一袋中装有6只白球，4只红球，2只黑球，求：,解,（1）任取4个球都是白球的取法为,（1）从中任取4个球都是白球的概率；,4个球的取法有,（2）从中任取6个球恰好3白、2红、1黑的概率；,，而任取,，故任取4个球都是白球的概率:,（2）从中任取6个球恰好3白、2红、1黑的概率：,7,P,23,习题,1.6,将10个不同的质点随机地放入10只不同的盒子中，求：,解,（1）每个盒子都放有的方法有,（1）没有一个空盒子的概率；,法有,（2）至少有一个空盒子的概率；,，而总共的方,故没有一个空盒子的概率: P(A)=,（2）至少有一个空盒子的概率为：,P(B)=1-P(A)=,8,P,23,习题,1.7,在区间,(0,1),中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率。,解：用,x,y,分别表示从,(0,1),中取出的,2,个数，,则样本空间,为正形：,如图所示，,K,为区域：,K,所以由几何概型得:,x+y=,6/5,9,P,23,习题,1.8,设一质点落在,解,：如右图所示,由题意可知所求的概率为：,轴、,轴及直线,所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点在直线 左边的概率.,A,B,S,x,y,o,10,解：,设,A,=第一次取得红球，,B,=第二次取得红球,P,23,习题,1.9,袋中有10个球，其中8个红球，2个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：,(1) 两次都取红球；,(2) 两次中一次取得红球，另一次取得白球；,(3) 至少一次取得白球；,(4) 第二次取得白球。,11,解,(1) P(AB)=P(A)P(B|A),12,解：,设,A,=甲译出密码,B,=乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4,则,A,B,C,相互独立，且,C,=丙译出密码.,则此密码被译出的概率为,P,23,习题,1.10,甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是,1/5，1/3，1/4，,试求此密码被译出的概率。,13,P,23,习题,1.11,玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0.8，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看4只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯,否则退回，求：,(1) 顾客买下该箱的概率；,(2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。,14,解,(1)设,A,i,一箱玻璃杯中含有,i,个残次品,i,=0,1,2;,B,=从一箱玻璃杯中任取,4,只无残次品,由题设可知,P,(,A,0,)=0.8,P,(,A,1,)=0.1,P,(,A,2,)=0.1.,根据全概率公式得,15,P,23,习题,1.12,设8支枪中有3支未经试射校正， 5支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为0.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为0.3，现假定从8支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。,16,解,设,A,经过校正的枪,C,=射击中靶,由题设可知,P,(,A,)=5/8,P,(,B,)=3/8,P,(,C,|,A,)=0.8,P,(,C,|,B,)=0.3.,根据全概率公式得,B,未,经校正的枪,17,P,23,习题,1.13,对飞机进行3次独立射击, 第1次射击的命中率为,0.4、第2次为0.5、第3次为0.7.,飞机被击中1次而坠落的概率为,0.2,被击中2次而坠落的概率为,0.6,若被击中3次飞机必坠落,求射击3次使飞机坠落的概率.,设,B,=,飞机坠落,，,A,i,=,飞机被击中,i,次,i,=1,2,3,由全概率公式,则,B=A,1,B+A,2,B+A,3,B,解:,依题意，,P,(,B,|,A,1,)=0.2,P,(,B,|,A,2,)=0.6,P,(,B|A,3,)=1,P,(,B,)=,P,(,A,1,),P,(,B,|,A,1,)+,P,(,A,2,),P,(,B,|,A,2,) +,P,(,A,3,),P,(,B,|,A,3,),18,可求得:,为求,P,(,A,i,) ,将数据代入计算得:,设,H,i,=,飞机被第,i,次射击击中,i,=1,2,3,P,(,A,1,)=0.36;,P,(,A,2,)=0.41;,P,(,A,3,)=0.14.,19,于是,=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机坠落的概率为,0.458.,P,(,B,)=,P,(,A,1,),P,(,B,|,A,1,)+,P,(,A,2,),P,(,B,|,A,2,)+,P,(,A,3,),P,(,B,|,A,3,),20,P,24,习题,1.14,某人每次射击的命中率为,0.6，独立射击5次，求：,（1）,击中3次的概率；,（2）至少有1次未击中的概率.,解,(1),(2) 考虑至少有1次未击中的对立事件，,即每次都击中，其概率为：,故至少有1次未击中的概率为,21,P,24,习题,1.15,某车间有12台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为0.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有3台以上车床发生故障的概率.,解：,设,A,=任一指定时刻有3台以上车床发生故障,又因为,则,A,=在任一指定时刻有少于3台车床发生故障,22,有0台车床发生故障的概率为,有1台车床发生故障的概率为,有2台车床发生故障的概率为,故,有3台车床发生故障的概率为,23,P,24,习题,1.16,若1人负责维修同类型的设备20台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是0.01，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3人共同负责维修80台呢？,24,解: (1),设,A,=设备发生故障而不能得到及时处理,则,A,=在任一时刻至多有1台设备发生故障,故,25,(2),设,A,=设备发生故障而不能得到及时处理,则,A,=在任一时刻至多有3台设备发生故障,故,26,第二章 随机变量及其分布,27,P,43,习题2.1,设在15只同类型的零件中有2只次品,在其中取3次,做不放回抽样,以X表示取出次品的个数，求X的分布率。,解：,设X表示取出次品的个数，则 X的取值可能是0，1，2，,pX=0=,pX=1=,28,pX=2=,所以X的分布律为,X,0,1,2,P,29,P,43,习题2.2,一实习生用一台机器接连独立地制造了3个不同的零件，第i个零件是不合格的概率为Pi=1/(i+1),(i=1、2、3),以X表示3个零件中合格品的个数，求X的分布律。,解,： 设Ai为第i个零件为不合格品事件，显 然A1、A2、A3为相互独立事件。,由题设可知:X的取值只能是0、1、2、3,P(A1)=1/2 P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,30,P(X=0)=1/24 P(X=1)=6/24,P(X=2)=11/24 P(X=3)=1/4,所以X的分布列为:,X,0,1,2,3,P,1/24,6/24,11/24,1/4,31,P,43,习题,2.3,一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为1/2。以,X,表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。,32,解:,X,的取值为,0,1, 2, 3,P,X=0=1/2,X,的概率分布为,X,0 1 2 3,P,1/2 1/4 1/8 1/8,P,X=1=1/21/2=1/4,P,X=2=1/21/21/2=1/8,P,X=3=1/21/21/2=1/8,33,P,43,习题2.4,将一枚硬币连投n次，X表示n,次中出现正面的次数，求X的分布律。,解：,X,B(n,1/2),则X,的分布律为,X,0,1,2,.,n-1,n,P,.,34,求X的分布函数,P,43,习题2.5 已知离散型随机变量X的分布率为,35,解,：由分布函数的定义，则X的分布函数,36,（1）求系数A （2）X的分布函数F(x),P,43,习题2.6,设随机变量X的密度为,37,所以,A=1/2（2）因为,（1）因为,38,所以,39,求X的分布函数。,解：,当 X0 时,41,P,44,习题,2.8,设连续型随机变量,X,的分布函数为,求:(,1),A,; (2),P,0.3,X,0.7; (3),X,的概率密度,f,(,x,),解,:(,1),F,(,x,),在,x,=1,点连续,由连续性得:,所以,A=,1,42,0，,x,0,2,x，,0,x,3,则,P,(,A,)=,P,X,3=,2/3,设,Y,表示三次独立观测中,A,出现的次数,则,53,故所求为：,P,Y,=2+,P,Y,=3,=20/27,P,Y,2=,54,P,44,习题2.13,设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(单位:分)服从参数为1/5的指数分布，若等待的时间超过10分钟，则他就离开，设他一个月内要来银行5次，以Y表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y的分布律及PY=1。,55,解,（1）,因为 所以,56,（2）Y是表示10分钟内等不到的次数，则,57,P,44,习题2.14,设随机变量XN(108,3,2,),求：(1)常数a，使PXa=0.90;(2)P101.1x11.76.,解:,(1)由题设可知,查表可知,所以,58,(2)因为,又因为,所以,59,P,44,习题2.15,某产品的质量指标若要求,若要求,问许最大的多少？,解：,因为,，即,60,查表可知,所以,61,P,44,习题2.16,测量到某一目标的距离发生的随机误差X(m)具有概率密度,求：在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率。,62,解：误差的绝对值不超过30米的概率为,所以误差超过30米的概率为：,1-0.4931=0.5069,所以三次误差绝对值都超过30米的概率为,63,因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30的概率为,64,内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比.,P,44,习题,2.17,设随机变量,X,的绝对值不大于1 ；,在事件-1,X,1出现的条件下，,X,在,(,-,1,1),试求:,(2),X,取负值的概率,P,(1),X,的分布函数,F,(,x,),65,解,由题设知,设,于是,(1),当,当,当,上式中令,得,推导较复杂先做准备工作.,66,又,于是当 时，,67,(2),68,P,45,习题,2.18,设,XB(3,0.4),求下列随机变量的分布律,1、,Y,1,=,X,2,2、,Y,2,=,X,2,-,2,X,3、,Y,3,=3,X,-,X,2,2,解：,X,的概率分布为,PX=,k,=,列表如下：,X,0,1,2,3,X,2,0,1,4,9,X,2,-,2,X,0,-,1,0,3,3,X,-,X,2,2,0,1,1,0,概率,0.216,0.432,0.288,0.064,69,Y,1,0 1 4 9,P,0.216 0.432 0.288 0.064,Y,2,-,1 0 3,P,0.432 0.504 0.064,Y,3,0 1,P,0.28 0.72,则有,Y,1,，,Y,2,，,Y,3,的分布律分别为,70,P,45,习题,2.19,设随机变量,X,的概率密度函数为,求随机变量,Y=,的概率密度函数。,解：,先求,Y,的分布函数,F,Y,(,y,)=P,Y,y,=P,y,（1）当,y,1,时,， =P(X0)=0,(2) 当,y,1,时,F,Y,(,y,)= P(,X,ln,y,)=,71,所以,Y,的概率密度函数为,即,72,第三章 多维随机变量及其分布,73,P72习题3.1,箱子里装有12只开关，其中只有2 只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为,试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.,74,解:,先考虑放回抽样的情况,X,Y,0,1,0,25/36,5/36,1,5/36,1/36,则X,Y的联合分布律为：,75,再考虑不放回抽样的情况,X,Y,0,1,0,15/22,5/33,1,5/33,1/66,则此种情况下，X与Y的联合分布律为：,76,P72,习题,3.2,将一硬币连掷三次，以,X,表示在三次中出现正面的次数，以,Y,表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出,（X,Y）,的联合分布律及边缘分布律.,解:,已知可得：,X,的取值可能为0，1，2，3；,Y= Y,的取值可能为1，3；硬币出现正面和反面的概率各为 ，可知,77,78,Y,1,3,X 0 1 2 3,0 3/8 3/8 0 6/8,1/8 0 0 1/8 2/8,1/8 3/8 3/8 1/8 1,联合概率分布表为:,79,解：,由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则,P72习题3.3,把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量,X,与,Y,分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量,(X,Y),的概率分布及边缘分布.,80,81,则二维随机变量,（X,Y）,的概率分布及边缘分布为,X,Y,0,1,2,3,0,1/27,1/9,1/9,1/27,8/27,1,1/9,2/9,1/9,0,4/9,2,1/9,1/9,0,0,2/9,3,1/27,0,0,0,1/27,8/27,4/9,2/9,1/27,1,82,P72习题3.4,设(X,Y)的概率密度为,求：,(1) P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x1,y3;,(2) P(x,y)D, 其中D=(x,y)|x+y3.,83,解：,（1）,（2）,84,P72习题3.5,设,(X,Y),的概率密度为,求：,(1)系数c；,(2)(X,Y)落在圆,内的概率.,85,解：,（1） 由,得,可求得,（2） 设,则,86,P72习题3.6,已知随机变量,X和Y,的联合概率密度为,求,X和Y,的联合分布函数,。,解：,随机变量X和Y的联合概率密度为,当x0,或y0时，F(x,y)=0;,当,时,，,87,当,时,，,当,时,，,综上可得，X和Y的联合分布函数为,当,时,，,88,P72习题3.7,设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,（1）求常数k；,（2）求 P0x2,1y3;,（3）求X,Y的边缘概率密度；,（4）判断X与Y是否相互独立.,89,解：,（1） 由概率密度的性质有,即,有,（2）,90,(3) X的边缘概率密度为,当0x6时，,当x0或x6时，显然有,91,Y的边缘概率密度为,当0y0,时,P73,习题,3.10,设,(,X,Y,),的概率密度为,100,Y的边缘概率密度为,当y0时，,，当y0时，,所以,Y,的边缘概率密度,而,101,P73习题3.11,设,X,Y,相互独立，其概率密度为,求,Z=X+Y,的概率密度.,解：,由已知得,当z1时，,Z=X+Y的概率密度为,103,此种类型的题目建议先求分布函 数在求导得密度函数,解：X与Y独立，则,则,104,易求,105,从而,106,P73习题3.12,设随机变量,（X,Y）,的概率密度为,求,Z=X-Y,的概率密度.,解：,Z=X-Y,的分布函数为,107,Z=XY的概率密度为,108,P73习题3.13,设随机变量(,X,Y,)的联合概率密度为,求,Z=X,2,+Y,2,的,概率密度。,109,时，,时，,解:,当,当,110,P73习题3.14,设二维随机变量,（X,Y）,在矩形,上服从均匀分布，试求边长为,X和Y,的矩形面积,S,的,概率密度,f(s).,解：,由已知可得随机变量,（X,Y）,的概率密度为,设边长为,X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s),，则,111, 矩形面积,S,的概率密度为,112,P73习题3.,15,设,X,和,Y,为两个随机变量，且,求,解：,同理可得,113,又,114,求,：,(1) P,X0的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间,T,的概率分布。,解,：,三个元件都无故障工作时间分别为,X,Y,Z,则,T=min,(,X,Y,Z,),且,X,Y,Z,的概率密度都为,129,则,故,T,服从参数为,3,0的指数分布,即概率密度为,130,第四章 随机变量的数字特征,131,P89习题4.1,解：设所需比赛场数为X,则X的分布律为,X,4,5,6,7,1/8,1/4,5/16,5/16,解：设所需比赛场数为X,则X的分布律为,132,P89习题4.2,解：由题意知，10个电子元件中有2个次品，所以在取得正品前已取出次品数X的取值有三种情况，即X=0, X=1 X=2.,133,则X的分布律为,X,0,1,2,4/5,8/45,1/45,X的数学期望为,134,P89习题4.3,解：乘客侯车时间的随机变量X在区间0,5服从均匀分布，其密度函数为,135,(2),（2）,136,解：由题意可知，,P89习题4.4,137,P90习题4.5,解：(1)由密度函数的性质得,又由,138,（2）当x0时，F(x)=0,当0x1时，,故X的分布函数,139,（3）,（4）,140,P90习题4.6,解：随机变量X的密度函数为,141,P90习题4.7,解：由题意可知：,142,P90习题4.8,解：,由联合分布列求出其相应的边际分布列,143,P90习题4.9,解：(1)由密度函数的性质得,（2） 则,144,P90习题4.10,解：(1)由密度函数的性质得,（2）,145,由X,Y的对称性，同理可得,146,147,P90习题4.11,解：,E(2X-3Y,2,)=E(2X)3E(Y,2,)=2E(X)-3E(Y,2,)=,148,P90习题4.12,解：,E(X)=E(Y)=0,D(X)=D(Y)=1，,149,P90习题4.13,解：,（1）由题意知，X的概率密度为,150,（2）,151,（3）,（4）,152,（5）,153,（6）,154,155,P90习题4.14,解：设商店所获利润为P,则,156,要使E(P)最大，则E(P)对y求导为0，即,157,