9 渐近法和近似法-xhy1

,*,第,9,章,渐近法和近似法,1,9-1,力矩分配法基本概念,9-2,多结点力矩分配,9-4,无剪力分配法,内 容,2,9-1,力矩分配法基本概念,力矩分配法源自位移法，但不必求解方程组，只需按表格进行计算，计算方便、快捷。,力矩分配法是逐步逼近（对多结点力矩分配而言）精确解的计算方法，是渐近法，不是近似法。,力矩分配法只适用于连续梁和无结点线位移的刚架。,3,一、转动刚度,a),S,AB,=4,i,，,远端为固端,下面讨论等截面直杆的转动刚度。,转动刚度,表示杆端对转动的抵抗能力，,在数值上等于使杆端产生单位转角（无线位移）时所需施加的力矩,。用符号,S,表示，见下面各图,。,施力端称为近端 ，另一端称为远端。,S,AB,i,A,B,4,当,A,端产生单位转角时，,A,端无线位移。转动刚度,S,AB,只取决于远端支承条件及杆件的线刚度。,b),S,AB,=,3,i,，,远端为滚轴支座或铰支座。,d),S,AB,=,0,，,远端为滚轴支座，沿杆轴布置。,c),S,AB,=,i,，,远端为滑动支座。,S,AB,i,A,B,S,AB,i,A,B,S,AB,i,A,B,5,二、分配系数,杆端弯矩表达式：,用位移法求解右图示结构，未知量为,A,。,i,i,2,i,2,i,B,C,A,D,E,M,0,6,平衡方程为：,A,M,AE,M,AD,M,AB,M,AC,M,0,7,回代求杆端弯矩：,8,对某结点，各杆分配系数之代数和为,1,，即：,由上式可以看出，结点力偶,M,0,按系数,确定的比例分配给各杆端。,系数,称为分配系数,，某杆的,分配系数,等于该杆的转动刚度,S,与交于同一结点的各杆转动刚度之和 的比值,，即,9,三、传递系数,当近端有转角时（无线位移），远端弯矩与近端弯矩的比值称为传递系数，用,C,表示。,在上面的讨论中可知，远端弯矩等于近端弯矩乘传递系数，即 。,i,A,B,i,A,B,i,A,B,10,四、单结点力矩分配,用位移法解图,a),所示结构时，首先在结点,B,加上附加转动约束，锁住,B,使之不能转动，于是可求得各杆固端弯距。附加,约束,产生的反力矩,M,B,等于各杆端固端弯矩的代数和，见图,b),。,B,M,B,=60,kN.m,150,kN.m,-90,kN.m,200,kN,20,kN/m,A,B,C,b),20,kN/m,200,kN,A,B,C,EI,EI,a),11,其次放松结点,B,，,即在结点,B,加,M,B,，,这是结构受结点力矩作用的情况，可以用力矩分配法进行计算，见图,c,）,。,A,B,C,c),12,2,）,求固端弯矩,1,）,求分配系数,结点,B,约束力矩为：,解：,结点,B,分配力矩为：,13,3,）,运算格式,4,）,作弯矩图,分配系数,固端弯矩,分配传递,杆端弯矩,A,B,C,167.13,115.74,158.56,32.13,M,图（,kN.m,）,A,C,BA,0.571,0.429,BC,-,150,150,-90,-34.26,-25.74,-17.13,0,-167.13,115.74,-115.74,0,14,例题,9-1-1,作图示刚架,M,图。,1,）,求分配系数,12,kN,6,kN/m,I,I,(,i,),(,i,),2I,(2,i,),A,B,C,D,解：,15,M,B,B,9,-8,2),求固端弯矩,结点,B,约束力矩为：,分配力矩为：,12,kN,6,kN/m,I,I,(,i,),(,i,),2I,(2,i,),A,B,C,D,16,3),运算格式,D,A,C,BA,0.231,0.462,BC,0.307,BD,8,9,-8,2.08,4.16,2.76,0,1.38,0,11.08,4.16,9.38,-5.24,0,17,4),作弯矩图,5),讨论,若结点力矩为逆时针方向，则：,M,B,B,9,-8,A,B,C,D,11.08,5.24,9.38,4.16,4.69,6.46,M,图（,kN.m,）,18,例,9-1-2,讨论悬臂端的处理。,200,kN,20,kN/m,A,B,C,EI,EI,30,kN,D,a),30,kN,D,C,200,kN,20,kN/m,A,B,C,EI,EI,b),解：,切除图,a),所示梁的,CD,段，则,BC,杆的,C,端有顺时针方向的力矩,60,kN.m,，该力矩在,BC,杆,B,端产生固端弯矩,30,kN.m,，见图,b,）。,19,i,B,C,A,C,D,C,BA,0.571,0.429,BC,-150,150,-90,60,-60,30,-51.39,-38.61,-25.70,0,-175.70,98.61,-98.61,60,-60,20,M,图（,kN.m,）,175.70,98.61,60,A,B,C,162.85,10.70,D,21,9-2,多结点力矩分配,一、多结点力矩分配,1,）,锁住结点,B,、,C,，各杆产生固端弯矩。,结点约束力矩：,A,B,C,EI,EI,D,60,kN,EI,A,B,C,D,60,kN,-30,30,EI,EI,EI,22,2,）,放松结点,B,，,即在结点,B,施加力矩,-,M,B,，,结点,C,仍锁住。这相当于做一个单结点力矩分配。,结点,C,约束力矩变为：,B,C,D,15,7.5,15,7.5,A,23,3,）,重新锁住结点,B,，,同时放松结点,C,，,即在,C,施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。,结点,B,新的约束力矩为,-9.375,A,B,C,D,-18.75,-9.375,-18.75,24,4,）,重新锁住结点,C,，,同时放松结点,B,，,即在,B,施加力矩 ，这又相当于做一个单结点力矩分配。,结点,C,约束力矩变为,如此循环，可见连续梁的变形曲线越来越接近实际的变形曲线，即越来越趋近于精确解。,所谓多结点力矩分配，本质上是单结点力矩分配。通常各结点做两轮至三轮分配运算，就可以达到满意的精度。,A,B,C,D,4.688,2.344,4.688,2.344,25,结点,B,例,9-2-1,作图示刚架,M,图。,1),求分配系数,结点,C,解：,18,kN/m,4I,4 I,(2,i,),(,i,),4I,(,i,),B,E,D,A,6,kN/m,2 I,(2,i,/3),C,26,2),求固端弯矩,18,kN/m,4I,4 I,(2,i,),(,i,),4I,(,i,),B,E,D,A,6,kN/m,2 I,(2,i,/3),C,27,3),运算格式,D,E,A,BA,0.2,0.4,BE,0.4,BC,CB,0.667,0.333,CD,-24,24,8,4,-8,-16,-8,4.8,9.6,9.6,-4.8,4.8,4.8,-1.6,-3.2,-1.6,0.32,0.64,0.64,-0.32,0.32,0.32,-0.107,-0.213,13.12,10.24,-23.36,-1.12,9.71,-9.71,5.12,28,4),作弯矩图,小结：,1,）,分配运算通常从约束力矩较大的结点开始，这样收敛较快。,2,）,若停止分配运算，就不应再向中间结点的杆端传递弯矩。,B,E,D,A,C,1.12,13.12,23.36,10.24,5.12,9.71,19.47,M,图（,kN.m,）,29,例,9-2-2,试作图示带悬臂的等截面连续梁的,M,图。,A,B,C,D,EI,EI,5,i,i,50,kN,A,D,B,C,1,0,5/6,1/6,-50,50,25,-4.2,-20.8,-20.8,20.8,50,-50,30,说明：,1,）,在计算,B,结点各杆的分配系数时，,C,结点不锁住， 即,C,结点处看作铰支座。,2,）,结点,C,处的分配系数是为了解决固端弯矩的求解问题。,3,）,上面的计算过程等同于下图所示的处理方法。,D,50,kN,C,A,B,C,EI,EI,5,i,i,31,二、几个问题的讨论,1.,对称结构的计算,对称结构在对称荷载作用下，结构无侧移，可以利用力矩分配法计算。根据位移法中的讨论，取半边结构以简化计算。,A,B,q,2,q,1,q,1,A,B,q,2,此杆转动刚度,S=0,32,2.,多结点时的分配,下图示结构,，,锁住结点,C,，,放松结点,B,、,D,，即结点,B,、,D,同时分配并向结点,C,传递。然后锁住结点,B,、,D,，,放松结点,C,，,即结点,C,进行分配并向,B,、,D,传递，依此类推。,A,E,3/7,4/7,0.5,0.5,4/7,3/7,B,C,D,-50,80,50,-80,-17.14,-12.86,34.29,45.71,-8.57,22.86,-32.15,-32.15,-16.07,-16.07,33,下图示刚架，打,的结点为一组，其余为另一组。两组结点依次锁住或放松，可大大加快计算速度。,34,9-4,无剪力分配法,力矩分配法只适用于无侧移刚架或连续梁。因为若刚架的内部结点有侧移,，则力矩分配法中的分配关系和传递关系均不能成立。,有一类刚架，其内部结点虽然有线位移,，但,可以不取作位移法的基本未知量,，对这类刚架也可以求得类似于力矩分配法中的分配关系和传递关系，于是可以按照力矩分配法的格式进行计算，此即为无剪力分配法。,一、概述,35,二、基本概念,1,适用无剪力分配法的条件,1,）,刚架除两端无相对侧移的杆件外；,2,）,其余杆件为剪力静定杆（即剪力只取决于外荷载）。,若结构中只存在下列两类杆件，则适用于无剪力分配法。,36,用位移法解上题，基本未知量取,B,，,BH,不必作为未知量。,AB,杆剪力静定，,BC,杆无相对侧移。,2,无剪力分配法的概念,原结构,A,B,i,放松结,点,B,约束力矩反号分配,i,A,B,C,-,M,B,i,q,A,B,C,EI,，,l,EI,，,l,锁住结点,B,产生固端弯矩,q,A,B,C,M,B,（,约束力矩）,37,杆端弯矩表达式,位移法方程,弯矩图,M,图,A,B,C,38,由上面的讨论可得出如下结论：,1,）,剪力静定杆,AB,在,B,端的转动刚度为,S,BA,=,i,BA,传递系数为,C,BA,= -1,。,2,）,剪力静定杆,AB,的固端弯矩按下端固定、上端滑动的单跨梁查表求得。,q,A,B,39,下面用无剪力分配法解上题。,1,）求转动刚度及分配系数,2,）,求固端弯矩,q,A,B,C,EI,，,l,EI,，,l,40,3,）运算格式,弯矩图见前页。,C,A,BA,0.25,0.75,BC,-,ql,2,/6,-,ql,2,/3,ql,2,/24,ql,2,/8,-,ql,2,/24,-,ql,2,/8,ql,2,/8,-3,ql,2,/8,41,如右图示，放松结点,B,，,AB,杆剪力等于零。,小结：,1,）,在放松结点,B,，,即约束力矩,M,B,反号分配的始终，剪力静定杆,AB,之剪力始终等于零，所以称为无剪力分配法。,2,）,若刚架横梁的两端无相对侧移，柱的剪力静定，则该刚架可用无剪力分配法计算。,i,A,B,C,i,-M,B,42,3,）,对于剪力静定杆：,转动刚度,S,=,i,；,传递系数,C,= -1,；,按下端固定，上端滑动的单跨梁求固端弯矩。,43,三、双层半刚架,横梁,AB,、,CD,两端无相对侧移，柱,AC,、,CE,为剪力静定杆。,A,B,C,D,E,4,kN,2,kN,3,kN/m,i,i,i,i,求固端弯矩,C,A,4,kN,3,kN/m,E,C,18,kN,锁住结点,A,、,C,产生固端弯矩。,A,B,C,D,E,4,kN,2,kN,3,kN/m,M,A,M,C,44,i,i,放松结点,锁住结点,C,A,B,C,D,E,i,-M,A,放松结点,锁住结点,A,B,C,D,E,45,由上述讨论可以得到和单层半刚架中的剪力静定杆相同的结论：,1,）,剪力静定杆的固端弯矩仍按下端固定，上端滑动的单跨梁求解。上层柱所受的水平荷载会在下层柱中产生固端弯矩，下层柱应首先求出柱上端的剪力，此剪力要作为集中荷载加在滑动端求固端弯矩。,2,）,剪力静定杆的转动刚度及传递系数仍旧为：,转动刚度,S,=,i,，,传递系数,C,= -1,。,46,结点,A,结点,C,例,9-4-1,用无剪力分配法作半刚架的,M,图。,1,）,求分配系数,解：,A,B,C,D,E,i,i,i,i,4,kN,2,kN,3,kN/m,47,AC,柱,CE,柱,2),求固端弯矩,18,kN,C,A,4,kN,3,kN/m,E,C,48,3),运算格式,B,D,E,AC,0.25,0.75,AB,0.2,0.2,0.6,CA,CE,CD,EC,-16,-24,-36,-36,12,12,36,-12,-12,21,7,-7,1.4,1.4,4.2,-1.4,-1.4,1.05,0.35,-0.35,0.07,0.07,0.21,-22.05,22.05,-17.88,-22.53,40.41,-0.07,-49.47,49,B,D,E,1.05,0.35,AC,0.25,0.75,AB,0.2,0.2,0.6,CA,CE,CD,-0.35,-16,-12,-24,-36,1.4,1.4,4.2,-1.4,-1.4,-36,0.07,0.07,0.21,-0.07,21,7,12,12,36,-7,-12,-22.05,22.05,-17.88,-22.53,40.41,-49.47,EC,3),运算格式,50,4),作弯矩图,A,B,D,E,22.05,17.88,22.53,49.47,40.41,8.09,M,图（,kN.m,）,C,51,结点,B,结点,C,例,9-4-2,用无剪力分配法图示刚架的,M,图。,1,）,求分配系数,解：,A,B,C,D,18,kN/m,i,i,i,10,kN/m,52,2),求固端弯矩,A,B,C,D,18,kN,/,m,i,i,i,10,kN/m,53,3),运算格式,A,D,BA,0.2,0.8,BC,CB,0.571,0.429,CD,AB,-48,-20,-96,9.6,38.4,19.2,0.457,0.343,0.229,-0.046,-0.183,-0.091,0.052,0.039,19.62,-19.62,-38.45,38.45,-9.6,0.046,-105.55,54,4),作弯矩图,A,C,D,38.45,19.62,105.55,2.45,10.19,M,图（,kN.m,）,B,55,例,9-4-3,剪力静定杆固端弯矩的求解。,1),A,B,C,D,E,4,kN,10,kN,2,kN/m,C,A,4,kN,2,kN/m,E,C,10,kN,22,kN,56,2),A,B,C,D,E,2,kN,4,kN/m,2,kN,C,A,2,kN,E,C,4,kN/m,57,3),8,kN,C,A,2,kN/m,A,B,C,D,E,2,kN/m,2,kN/m,E,C,58,4),15,kN,A,B,C,D,E,15,kN,15,kN,C,A,E,C,59,