【教学课件】第3章1复变函数的积分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 复变函数的积分,1.有向曲线,1,复变函数积分的概念,设C为平面上,规定了方向的曲线,C,A,B,其中A为,起,点,B为,终,点,从,起,点到,终,点的方向,称为,正,方向,记为C,从,终,点到,起,点的方向,称为,负,方向,记为C,简单闭曲线,的,正,向规定为:,沿着该曲线前进时,它围成的内部,始终在,左,侧,起,点,终,点,的一条,光滑,曲线,称为,有向,曲线.,1,D,2.复变函数积分的定义,设函数,定义在区域D内,C是D内起点为A,终点为B的,A,B,C,一条光滑有向曲线，,用n1个分点，,将C分成n个小弧段，,如果极限存在,则称该极限值,为函数,沿曲线C的积分,记为,如果C为闭曲线,则沿该闭曲线,的积分记为,2,则沿曲线C,3.积分存在的条件,如果,在区域D内,且曲线C是D内,或者是一条,一定存在,D,A,B,C,光滑,曲线,分段,光滑曲线,处处,连续,一条,光滑,曲线,分段,光滑曲线,的积分,3,A,B,C,起,点,终,点,C=C,1,+C,2,C,1,C,2,4.积分的性质,若在曲线C上,曲线C的长度为,L,则,4,写出曲线C的参数方程,5.积分的计算方法一：,参数方程,代入法:,A,B,C,起,点,终,点,求出起点A对应的参数,终,点B对应的参数,从原点到,的直线段,例如从原点到,的直线段,为中心、,半径R的圆的方程,原点为中心、,半径R的圆的方程,的,参数,方程为,的,参数,方程为,5,48页2.,计算,起,点,终,点,1）解,参数方程：,2）解,参数方程：,原式,原式,1)沿直线,2)沿曲线,6,例2,计算,1)从原点到,起,点,终,点A,的,直线,段,1)解,参数方程：,其中C为,2)从原点沿,实轴,到1,再从1垂直向上到,的,折线,段,2)解,C,1,C,2,C,1,参数方程：,C,2,参数方程：,7,练习,计算,其中C为一条闭路，,由,直线,段：,与,上半圆周,组成,O,解,设,原式=,8,记住36页例3.2的结论,设C：,证明：,整数,C的参数方程:,积分算法二：,特别,C是以原点为中心、,半径为r的,正向,圆周,整数,例如,O,9,例3,计算,其中C为正向圆周:,解,解法2,由,得到,原式=,2),解,由,得到,原式=,10,D,Th3.3若,3.2,柯西积分定理,在,单连通区,域D内,解析,则,沿D内,的积分,C,证明,在D内,解析,与,在D内,可微,，且,所以,因为,根据,格林公式,一、,D,1,单连通区域上,的柯西积分定理,任何,一条,封闭,曲线C,为,零,积分算法三：,11,Th3.3 若,在,单连通,解析,则,任何,一条,的积分为,零,C,设C是一条,Th3.4,若,则,沿D内,例1 计算积分,其中C是正向圆周：,解 因为函数,在闭区域,上处处,解析,所以,例2 计算积分,其中C,解 因为函数,在复平面上,所以,区域D内,简单闭曲线,是包围原点,的闭曲线,简单闭曲线C,处处,解析,在,闭区域,上,解析,12,例3 计算积分,其中C是正向圆周：,解,在,上,解析,所以,例4 计算积分,其中C是正向圆周：,解,在,上,解析,所以,因为,因为,13,例5 计算积分,其中C是正向圆周：,因为,在,上,解析,所以,解,得,因为,在,上,解析,所以,解,得,例6 计算积分,其中C是正向圆周：,令,令,14,第三章作业,48页习题3,1，2，3,6，7，8，9，10,12,15,16,15,