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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,Principle of Automatic Control,Institute of Control and Information,*,*,*,自动控制原理,(,频域分析部分,),航空航天学院,肖刚,1,第四章 根轨迹法,4,1,闭环系统的根轨迹,4,2,绘制根轨迹图的基本规则,4,3,控制系统性能的根轨迹分析,2,复习,序,内容,规 则,1,起点,终点,起始于开环的极点，终止于开环传的零点（包括无限零点）,2,分支数,等于开环传递函数的极点数（,n,m,）,3,对称性,对称于实轴,4,渐近线,相交于实轴上的同一点：,坐标为：倾角为：,5,实轴上分布,实轴上的根轨迹在实轴的某一区间内存在根轨迹，则其右边开环传递函数的零点、极点数之和必为奇数,3,复习,序,内容,规 则,6,分离（回合）点,实轴上的分离（会合）点,（必要条件）,7,出射角,入射角,复极点处的出射角：复零点处的入射角：,8,虚轴交点,（,1,）满足特征方程 的 值；,（,2,）由劳斯阵列求得（及,K,1,响应的值）；,9,走向,当 时，一些轨迹向右，则另一些将向左。,10,K,1,计算,根轨迹上任一点处的,K,1,：,4,例,:,系统的开环传递函数,试画根轨迹，并确定 时,K,1,的值。,解：,只对根轨迹曲线的特征点进行分析。,(1),渐近线：,3,条。,渐近线的夹角：,渐近线与实轴的交点：,（,2,）分离点：,即,（舍去）,4-3,控制系统性能的复域分析,5,4-3,控制系统性能的复域分析,（,3,）与虚轴的交点,系统的特征方程：,s(s+4)(s+6)+K,1,=0,令 代入，求得,实部方程,:,虚部方程：,解得：,(,舍去,),（,4,）确定 时的,K,1,值：过原点作,OA,射线交根轨迹于,A,，,使得 ，测量得,:,求得,6,4-3,控制系统性能的复域分析,A,点对应的坐标，即闭环的一个极点位置,:,K,1,=44.5,时另外两个极点,同理可求得根轨迹在实轴上的分离点,-1.57,处对应的,K,1,=17,。,7,4-3,控制系统性能的复域分析,一、复域分析,1,稳定性分析：,当,K1=240,时，有一对虚根，处于临界稳定，输出等幅振荡。,当,K1240,时，根轨迹曲线进入,S,右半平面，系统有一对正实部的共轭复根，因此系统处于不稳定状态。,当,K1240,时，系统根的实数部分均为负值，即根都分布在,S,左半平面，系统是稳定的。,2,稳态性能分析：,系统的开环根迹增益,K1,与开环放大系数成正比，因此对稳定的系统来说，,K1,越大，稳态误差越小，稳态性能也越好，但,K1,最终不能大于,240,，否则，系统将出现不稳定状态。,8,3,动态性能分析：,当,0K,1,17,时，该系统的根为负实数，此时可看成三个惯性环节的串联，系统输出具有非周期特性。,当,17K,1,240,时，系统有两个根轨迹分支进入复平面，产生一对共轭复根，使系统的阶跃响应带有振荡的特性。随着,K1,增大，复根越靠近虚轴，输出振荡越厉害。,若取,=0.5,，极点：,s,1,=-1.2+j2.1,，,s,2,=-1.2-j2.1,，,s,3,=-7.6,。由于,s,3,相对,s,1,、,s,2,来说，远离虚轴，,s,1,、,s,2,可看成主导极点，,s,3,可忽略，即可用二阶系统的动态特性指标来近似这个实际上的三阶系统。不难求得该系统的复域动态性能指标：,=0.5,，,n,=2.4,对应的动态性能时域指标：,t,s,=2.9s,p,=16.3%,4-3,控制系统性能的复域分析,9,二、增加开环零、极点对系统性能的影响,系统根轨迹的整体格局是由开环传递函数的零点、极点所共同决定的。开环零、极点位置不同，根轨迹的走向差异很大。,1,增加极点,（以具体系统加以说明）,一般可以认为，当函数,G(s)H(s,),在,s,左半平面增加极点，会促使原根轨迹向右半部移动，稳定性下降。,设系统的开环传递函数：,增加零点,4-3,控制系统性能的复域分析,10,增加极点轨迹向右弯曲，渐近线角度由,90,0,变为,60,0,。分离点向右移。,(a),稳定，,(b),在,K,1,小时稳定，,K,1,大可能不稳定。,(a),(b),4-3,控制系统性能的复域分析,11,4-3,控制系统性能的复域分析,12,-,2,增加零点,（以具体系统加以说明）,对,G(s)H(s,),函数增加零点，会使根轨迹向,s,平面左半部移动，系统的稳定性增加。,增加一个零点，根轨迹将向左弯曲形成一个圆,4-3,控制系统性能的复域分析,13,增加一对轭复数零点后的根轨迹,4-3,控制系统性能的复域分析,14,3.,闭环零、极点对系统动态性能的影响,(1),闭环极点的分布决定了动态响应的类型。,(2),闭环零点的分布决定了瞬态响应曲线的形态和指标。,(3),闭环实数零点会减小系统的阻尼比，使系统运动速度加,快，超调量增大，峰值时间提前。,(4),系统的动态特性主要取决于系统的闭环极点。,(5),远离虚轴的极点,(,或零点,),和偶极子。,(6),主导极点。,4-3,控制系统性能的复域分析,15,
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