内积长度正交性

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章相似矩阵及二次型,1,向量的内积、长度及正交性,向量的内积,定义：,设有,n,维向量,令,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,，,则称,x,y,为向量,x,和,y,的,内积,说明：,内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数,内积可用矩阵乘法表示：当,x,和,y,都是,列向量,时，,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,定义：,设有,n,维向量,令,则称,x,y,为向量,x,和,y,的,内积,向量的内积,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,线性性质：,l,x,y,=,l,x,y,x,+,y,z,=,x,z,+,y,z,当,x,=0,（零向量）时，,x,x,=0,；,当,x,0,（零向量）时，,x,x,0,施瓦兹（,Schwarz,）不等式,x,y,2,x,x,y,y,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,线性性质：,l,x,y,=,l,x,y,x,+,y,z,=,x,z,+,y,z,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,线性性质：,l,x,y,=,l,x,y,x,+,y,z,=,x,z,+,y,z,当,x,=0,（零向量）时，,x,x,=0,；,当,x,0,（零向量）时，,x,x,0,x,x,=,x,1,2,+,x,2,2,+,x,n,2,0,x,y,=,x,1,y,1,+,x,2,y,2,+,x,n,y,n,=,x,T,y,内积具有下列性质（其中,x,y,z,为,n,维向量，,l,为实数）：,对称性：,x,y,=,y,x,线性性质：,l,x,y,=,l,x,y,x,+,y,z,=,x,z,+,y,z,当,x,=0,（零向量）时，,x,x,=0,；,当,x,0,（零向量）时，,x,x,0,施瓦兹（,Schwarz,）不等式,x,y,2,x,x,y,y,回顾：线段的长度,x,1,x,2,x,1,x,2,x,3,P,(,x,1,x,2,),O,P,O,若令,x,=(,x,1,x,2,),T,，则,若令,x,=(,x,1,x,2,x,3,),T,，则,x,x,=,x,1,2,+,x,2,2,+,x,n,2,0,向量的长度,定义：,令,称,|,x,|,为,n,维向量,x,的,长度,（或,范数,）,当,|,x,|=1,时，称,x,为,单位向量,向量的长度具有下列性质：,非负性：,当,x,=0,（零向量）时，,|,x,|,=0,；,当,x,0,（零向量）时，,|,x,|,0,齐次性：,|,l,x,|=,|,l,|,|,x,|,向量的长度,定义：,令,称,|,x,|,为,n,维向量,x,的,长度,（或,范数,）,当,|,x,|=1,时，称,x,为,单位向量,向量的长度具有下列性质：,非负性：,当,x,=0,（零向量）时，,|,x,|,=0,；,当,x,0,（零向量）时，,|,x,|,0,齐次性：,|,l,x,|=,|,l,|,|,x,|,三角不等式：,|,x+y,|,|,x,|+|,y,|,x,y,x+y,y,向量的正交性,施瓦兹（,Schwarz,）不等式,x,y,2,x,x,y,y,=,|,x,|,|,y,|,当,x,0,且,y,0,时，,定义：,当,x,0,且,y,0,时，把,称为,n,维向量,x,和,y,的,夹角,当,x,y,=0,，称向量,x,和,y,正交,结论：,若,x,=0,，则,x,与任何向量都正交,x,y,定义：,两两正交的非零向量组成的向量组成为,正交向量组,定理：,若,n,维向量,a,1,a,2,a,r,是一组两两正交的非零向量，,则,a,1,a,2,a,r,线性无关,证明：,设,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,k,r,a,r,=,0,（零向量）,，那么,0=,a,1,0,=,a,1,k,1,a,1,+,k,2,a,2,+,k,r,a,r,=,k,1,a,1,a,1,+,k,2,a,1,a,2,+,k,r,a,1,a,r,=,k,1,a,1,a,1,+,0,+,+0,=,k,1,|,a,1,|,2,从而,k,1,=,0,同理可证，,k,2,=,k,3,=,k,r,=0,综上所述，,a,1,a,2,a,r,线性无关,例：,已知,3,维向量空间,R,3,中两个向量,正交，试求一个非零向量,a,3,，使,a,1,a,2,a,3,两两正交,分析：,显然,a,1,a,2,解：,设,a,3,=(,x,1,x,2,x,3,),T,，若,a,1,a,3,，,a,2,a,3,，则,a,1,a,3,=,a,1,T,a,3,=,x,1,+,x,2,+,x,3,=0,a,2,a,3,=,a,2,T,a,3,=,x,1,2,x,2,+,x,3,=0,得,从而有基础解系 ，令 ,定义：,n,维向量,e,1,e,2,e,r,是向量空间 中的向量，,满足,e,1,e,2,e,r,是向量空间,V,中的一个基（最大无关组）；,e,1,e,2,e,r,两两正交；,e,1,e,2,e,r,都是单位向量，,则称,e,1,e,2,e,r,是,V,的一个,规范正交基,例：,是,R,4,的一个规范正交基,也是,R,4,的一个规范正交基,是,R,4,的一个基，但不是规范正交基,设,e,1,e,2,e,r,是向量空间,V,中的一个,正交基,，则,V,中任意一,个向量可唯一表示为,x,=,l,1,e,1,+,l,2,e,2,+,l,r,e,r,于是,特别地，若,e,1,e,2,e,r,是,V,的一个,规范正交基,，则,问题：,向量空间,V,中的一个基,a,1,a,2,a,r,向量空间,V,中的一个规范正交基,e,1,e,2,e,r,？,求规范正交基的方法,第一步：正交化,施密特（,Schimidt,）正交化过程,设,a,1,a,2,a,r,是向量空间,V,中的一个基，那么令,a,1,b,1,a,2,a,3,c,2,b,2,c,3,c,31,c,32,b,3,基,正交基,规范正交基,b,1,c,2,a,2,b,2,返回,令,c,2,为,a,2,在,b,1,上的投影，则,c,2,=,l,b,1,，,若令,b,2,=,a,2,c,2,=,a,2,l,b,1,，则,b,1,b,2,下面确定,l,的值因,为,所以 ，从而,a,2,b,1,第一步：正交化,施密特（,Schimidt,）正交化过程,设,a,1,a,2,a,r,是向量空间,V,中的一个基，那么令,于是,b,1,b,2,b,r,两两正交，并且与,a,1,a,2,a,r,等价，即,b,1,b,2,b,r,是向量空间,V,中的一个,正交基,特别地，,b,1,b,k,与,a,1,a,k,等价（,1,k,r,）,第二步：单位化,设,b,1,b,2,b,r,是向量空间,V,中的一个,正交基,，那么令,因为,从而,e,1,e,2,e,r,是向量空间,V,中的一个,规范正交基,例：,设 ，试用施密特正交化,过程把这组向量规范正交化,解：,第一步正交化，取,例：,设 ，试用施密特正交化,过程把这组向量规范正交化,解：,第二步单位化，令,例：,已知 ，试求非零向量,a,2,a,3,，使,a,1,a,2,a,3,两两正交,.,解：,若,a,1,a,2,，,a,1,a,3,，则,a,1,a,2,=,a,1,T,a,2,=,x,1,+,x,2,+,x,3,=0,a,1,a,3,=,a,1,T,a,3,=,x,1,+,x,2,+,x,3,=0,即,a,2,a,3,应满足方程,x,1,+,x,2,+,x,3,=0,基础解系为,把基础解系正交化即为所求,（以保证,a,2,a,3,成立）,定义：,如果,n,阶矩阵,A,满足,A,T,A,=,E,，,则称矩阵,A,为,正交矩阵,，简称,正交阵,即,A,1,=,A,T,，,于是,从而可得,方阵,A,为正交阵的充分必要条件是,A,的,列向量,都是单位向量，且两两正交,即,A,的,列向量组,构成,R,n,的规范正交基,定义：,如果,n,阶矩阵,A,满足,A,T,A,=,E,，,即,A,1,=,A,T,，,则称矩阵,A,为,正交矩阵,，简称,正交阵,方阵,A,为正交阵的充分必要条件是,A,的,列向量,都是单位向量，且两两正交即,A,的,列向量组,构成,R,n,的规范正交基,.,因为,A,T,A=E,与,AA,T,=E,等价，所以,定义：,如果,n,阶矩阵,A,满足,A,T,A,=,E,，,即,A,1,=,A,T,，,则称矩阵,A,为,正交矩阵,，简称,正交阵,方阵,A,为正交阵的充分必要条件是,A,的,列向量,都是单位向量，且两两正交即,A,的,列向量组,构成,R,n,的规范正交基,方阵,A,为正交阵的充分必要条件是,A,的,行向量,都是单位向量，且两两正交,即,A,的,行向量组,构成,R,n,的规范正交基,.,例：,正交矩阵,R,4,的一个规范正交基,正交矩阵具有下列性质：,若,A,是正交阵，则,A,1,也是正交阵，且,|,A,|=1,或,1,若,A,和,B,是正交阵，则,A,和,B,也是正交阵,定义：,若,P,是正交阵，则线性变换,y,=,Px,称为,正交变换,经过正交变换，线段的长度保持不变（从而三角形的形状保,持不变），这就是正交变换的优良特性,表示一个从变量 到变量 线性变换，,其中 为常数,.,n,个变量 与,m,个变量 之间的,关系式,系数矩阵,线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系,.,返回,