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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,第,8,讲,课 题：图像变换与图像增强处理,目的要求：,1.,熟悉二维傅立叶变换定义、性质及其应用；,2.,掌握一维傅立叶变换算法及频谱分析方法；,3.,熟悉并掌握本章基本概念、空间域图像增强的原理、方法及其特点；,4.,了解频率域图像增强的方法及其实现过程；,重 点：掌握直方图修正方法、特点及其应用；空间域平滑、锐化和彩色增强技术。,难 点：频率域图像增强的方法及其实现过程,教学课时：,2,课时,教学方法：授课为主、鼓励课堂交流,本次课涉及的学术前沿：傅立叶变换在图像处理中的作用,第,6,章 图像变换,图像变换的目的在于：使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。,图像变换通常是一种二维正交变换。一般要求：,正交变换必须是可逆的；,正变换和反变换的算法不能太复杂；,正交变换的特点是在变换域中图像能量将集中分布在低频率成分上，边缘、线状信息反映在高频率成分上，有利于图像处理。,因此正交变换广泛应用在图像增强、图像恢复、特征提取、图像压缩编码和形状分析等方面。,在此讨论常用的傅立叶变换,。,傅立叶变换,在学习傅立叶级数的时候，一个周期为,T,的函数,f,(t),在,-T/2,T/2,上满足狄利克雷（,Dirichlet),条件，则在,-T/2,T/2,可以展成傅立叶级数,其复数形式为,其中,可见，傅立叶级数清楚地表明了信号由哪些频率分量组成及其所占的比重，从而有利于对信号进行分析与处理,。,傅里叶变换,指非周期函数的正弦和或余弦和乘以加权函数的积分表示。,傅里叶变换分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换,一 连续函数的傅立叶变换,1.,一维连续函数的傅立叶变换,令,f,(,x,),为实变量,x,的连续函数，,f,(,x,),的,傅立叶,变换用,F(u),表示，则定义式为,若已知,F,(,u,),，则,傅立叶,反变换为,式（,6-1,）和（,6-2,）称为,傅立叶,变换对。,这里,f,(,x,),是实函数，它的傅立叶变换,F,(,u,),通常是复函数。,F,(,u,),的实部、虚部、振幅、能量和相位分别表示如下：,傅立叶变换中出现的变量,u,通常称为频率变量。,2.,二维连续函数的傅立叶变换（见教材,P126,）,傅立叶变换很容易推广到二维的情况。如果,f,(,x,，,y,),是连续和可积的，且,F,(,u,，,v,),是可积的，则二维傅立叶变换对为,二维函数的傅立叶谱、相位和能量谱分别为,|,F,(,u,，,v,)=R,2,(,u,，,v,)+I,2,(,u,，,v,),1/2,(611),(,u,，,v,)=tan,-1,I(,u,，,v,),R(,u,，,v,)(612),E(,u,，,v,)=R,2,(,u,，,v,)+I,2,(,u,，,v,)(613),二 离散函数的傅立叶变换,1.,一维离散函数的傅立叶变换,假定取间隔,x,单位的抽样方法将一个连续函数,f,(,x,),离散化为一个序列,f,(,x,0,),，,f,(,x,0,+,x,),，,，,f,x,0,+(,N,-1),x,，如下图所示。,将序列表示成,f,(,x,)=,f,(,x,0,+,x,x,),即用序列,f,(0),，,f,(1),，,f,(2),，,，,f,(,N,-1),代替,f,(,x,0,),，,f,(,x,0,+,x,),，,，,f,x,0,+(,N,-1),x,。,被抽样函数的离散傅立叶变换定义式为,F,(,u,)=,式中,u,=0,，,1,，,2,，,，,N,1,。反变换为,f,(,x,),=,式中,x,=0,，,1,，,2,，,，,N,-1,。,例如：对一维信号,f(,x,)=1 0 1 0,进行傅立叶变换。,由,得,u,=0,时，,u=,1,时,u,=2,时,u,=3,时,在,N=4,时，傅立叶变换以矩阵形式表示为,F,(,u,)=A,f(x),x,y,1,-1,j,-j,2.,二维离散函数的傅立叶变换,在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为,F,(,u,，,v,)=,式中,u,=0,，,1,，,2,，,，,M,-1,；,v,=0,，,1,，,2,，,，,N,-1,。,f,(,x,，,y,)=,式中,x,=0,，,1,，,2,，,，,M,-1,；,y,=0,，,1,，,2,，,，,N,-1,。,一维和二维离散函数的傅立叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。,一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断,改进算法；另一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。,原图,离散傅立叶变换后的频域图,例如 数字图像的傅立叶变换,3,二维离散傅立叶变换的若干性质,离散傅立叶变换建立了函数在空间域与频率域之间的转换关系。在数字图像处理中，经常要利用这种转换关系及其转换规律，因此，下面将介绍离散傅立叶变换的若干重要性质。,（,1,）周期性和共轭对称性,若离散的傅立叶变换和它的反变换周期为,N,，则有,F,(,u,，,v,)=,F,(,u,+,N,，,v,)=,F,(,u,，,v,+,N,)=,F,(,u,+,N,，,v,+,N,),傅立叶变换存在共轭对称性,F,(,u,，,v,)=,F,*,(-,u,，,-,v,),这种周期性和共轭对称性对图像的频谱分析和显示带来很大益处。,（,2,）,分离性,一个二维,傅立叶,变换可由连续两次一维,傅立叶,变换来实现。例如式,(6-14),可分成下面两式,:,x,y,x,v,x,v,1-D,离散傅立叶变换,（,3,）旋转性质,平面直角坐标改写成极坐标形式：,做代换有：,如果 被旋转,则 被旋转同一角度。即有傅立叶变换对：,
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