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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,换面法,基本要求,换面法的基本概念,新投影面的选择原则,点的投影变换,投影变换的,六个基本问题,1,基本要求,掌握换面法的基本原理和投影变换规律,；,掌握用换面法求线段实长、平面图形实形以及它们对投影面的倾角的作图方法；,掌握用换面法解决一般空间几何元素间的定位和度量问题。,当直线或平面相对于投影面处于一般位置时，它们的投影不反映真实形状，也不具有积聚性，但,当它们相对于投影面处于特殊位置（平行或垂直）时，则其投影或反映真实形状（平行时）或具有积聚性（,垂直时,）。,a,a,b,b,a,a,b,b,c,c,d,d,b,a,a,b,c,c,d,d,a,a,b,b,c,c,a,a,b,b,线段实长,a,a,b,b,c,c,平面,实形,a,a,b,b,c,c,d,d,直线与平面的交点,a,b,c,d,a,b,c,d,两平面夹角,启示：当图解一般位置的直线、平面及其相互间的定位和度量问题时，若能将它们变成,特殊位置直线、平面，就有可能较容易地解决问题,。换面法便源于此。,3,保持空间几何元素的位置不动，建立新的直角投影体系，使几何元素在新投影面体系中处于有利解题的位置，然后用正投影法获得几何元素的新投影。,换面法的基本概念,V,A,H,C,B,c,b,X,a,a,b,c,V,1,X,1,c,1,b,1,a,1,V,A,H,C,B,c,b,X,a,a,b,c,V,1,X,1,c,1,b,1,a,1,新投影面的选择原则,新投影面必须,垂直于某一个原有的投影面，以构成一个相互垂直的两投影面新体系,；,新投影面对空间几何元素应处于有利于解题的位置,。,5,V,H,X,H,X,1,V,1,a,1,a,A,a,点的投影变换：,一次换变,a,1,a,X,V,H,a,X,1,H,V,1,点的新投影和不变投影的连线，必垂直于新投影轴；,点的新投影到新投影轴的距离等于被变换旧投影到旧投影轴的距离。,6,V,H,X,H,1,X,1,X1,H1,V,a,1,X,V,H,a,a,a,1,a,A,a,点在,V,/,H1,体系中的投影,7,V,X,H,a,2,a,a,a,1,X,V,H,X,1,H,V,1,V,1,X,1,X,2,H,2,V,1,H,2,X,2,a,2,a,1,a,A,a,点的投影变换：,二次换变,必须注意投影面要交替进行更换,8,投影变换的,六个基本问题,将一般位置直线变为,投影面平行线,将,投影面平行线,变为,投影面垂直线,将,一般位置直线,变为,投影面垂直线,将一般位置平,面,变为,投影面垂直面,将,投影面垂直面,变为,投影面平行面,将一般位置平,面,变为,投影面平行面,9,V,H,X,A,a,B,b,a,b,V1,X1,a,1,b,1,a,1,b,1,X,1,V,1,H,b,a,b,a,X,V,H,将一般位置直线变为,投影面平行线：正平线,新投影轴,X1,必须平行于,ab,但和,ab,间距的距离可以任意选取。,10,b,a,b,a,X,H,V,X,1,H,1,V,a,1,b,1,将一般位置直线变为,投影面平行线：水平线,11,V,H,X,a,A,a,b,B,b,H,1,X,1,X,1,H,1,V,a,1,b,1,X,V,H,a,a,a,1,b,b,将,投影面平行线,变为,投影面垂直线,12,X,H,a,A,a,b,b,B,V,V,1,X,1,H,2,a,2,b,2,a,1,b,1,将,一般位置直线,变为,投影面垂直线,13,X,H,2,V,1,a,a,X,V,H,b,b,a,2,b,2,X,H,V,1,a,1,b,1,将一般位置直线,变为,投影面垂直线,一般位置直线,变为,投影面垂直线,，需更换两次投影。第一次把一般位置直线变为投影面,V1,的平行线；第二次再把投影面平行线变为投影面,H2,的垂直线。,14,a,a,X,b,b,c,c,X,H,2,V,1,a,a,X,V,H,b,b,a,2,b,2,X,H,V,1,a,1,b,1,提示,思考题,1,如何求点,C,到直线,AB,的距离？,15,a,a,X,b,b,c,d,c,d,X,H,2,V,1,a,a,X,V,H,b,b,a,2,b,2,X,H,V,1,a,1,b,1,V,提示,思考题,2,如何求两直线,AB,与,CD,间的距离？,16,X,2,H,2,V,1,X,1,H,V,1,a,2,b,2,d,2,c,2,b,1,a,1,d,1,c,1,1,1,2,1,2,1,b,a,b,d,c,a,X,V,H,d,c,2,1,1,2,2,2,H,2,例题,1,求两直线,AB,与,CD,的公垂线。,17,a,c,X,V,H,b,b,a,c,V,H,X,c,b,a,b,C,A,c,B,a,d,d,D,X,1,H,1,a,1,c,1,b,1,d,1,d,X,1,H,1,V,d,b,1,a,1,c1,d,1,将一般位置平,面,变为,投影面垂直面,一般位置直线,变为,投影面垂直线,，需更换两次投影。,把投影面平行线变为投影面垂直线只需更换一次投影面,。因此，任取一条投影面平行线,(,正平线,),为辅助线，取与它垂直的,H1,面为新投影面，三角形也就和新投影面垂直。,18,k,1,X,1,H,1,V,b,1,a,1,c,1,d,1,s,1,a,c,b,b,a,c,d,d,s,s,例题,2,求点,S,到平面,ABC,的距离。,19,a,c,b,b,a,c,e,n,k,e,n,d,d,X,1,V,H,1,b,1,a,1,c,1,d,1,k,1,k,e,1,例题,3,已知点,E,到平面,ABC,的距离为,n,，求点,E,的正面投影,e,及其在,平面,ABC,上的垂足,。,20,H,X,V,C,A,c,b,a,B,X,1,V,1,c1,b,1,a,1,V,1,c,1,b,1,a,1,X,1,将,投影面垂直面,变为,投影面平行面,21,a,1,c,1,b,1,X1,bc,a,b,a,c,X,V,H,a,c,b,X,X,1,V,1,c,1,b,1,a,1,b,c,a,22,a,c,X,V,H,b,b,a,c,d,d,b,1,a,1,c,1,d,1,X,1,H,1,V,a,2,c,2,b,2,d,2,X,2,V,2,H,1,将一般位置平,面,变为,投影面平行面,若取新投影面平行于一般平面，可以反映实形，但是新投影面也为一般平面。,第一次把一般平面变为投影面垂直面。第二次再把投影面垂直面变为投影平行面。,23,a,c,X,V,H,b,b,a,c,d,d,b,1,a,1,c,1,d,1,X,1,H,1,V,a,2,c,2,b,2,d,2,X,2,V,2,H,1,15,15,e,e,e,1,e,2,例题,4,已知,点,E,在平面,ABC,上，距离,A,、,B,为,15,，求,E,点的投影。,24,X,O,Z,Y,两点的相对位置,两点中,X,值大,的点,：在左,两点中,Y,值大,的点：,在前,两点中,Z,值大,的点：,在上,a,a,a,b,b,b,X,Z,Y,W,Y,H,O,a,a,a,b,b,b,B,A,25,例题,2,已知,A,点在,B,点之前,5,毫米，之上,9,毫米，之右,8,毫米，求,A,点的投影。,a,a,a,X,Z,Y,W,Y,H,O,b,b,b,9,8,5,A,B,b,b,a,a,C,X,O,2,、求线段的实长及对正立投影面的倾角,|,Y,A,-Y,B,|,a,X,a,b,b,a,b,AB,AB,a,b,|,Y,A,-,Y,B,|,|,Y,A,-Y,B,|,AB,|,Y,A,-Y,B,|,用哪个投影面的投影作为一直角边，另一直角边为线段两端点离该投影面的距离差。,27,直线上的点具有两个特性：,1.,从属性：,若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。,利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。,2.,定比性：,从属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。,即：,A C,:,C B,=,a c,:,c b,=,a,c,:,c,b,=,a,c,:,c,b,。,利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。,直线上的点的投影特性,A,B,b,b,a,a,X,O,c,c,C,c,28,例题,3,已知点,C,的水平投影且其在线段,AB,上，求点,C,的正面投影。,b,X,a,b,a,c,c,cb,ac,X,O,A,B,b,b,a,a,c,C,c,H,V,29,四、交叉两直线上重影点的可见性,X,O,B,D,A,C,b,b,a,a,c,c,d,d,(3,)4,1(2),4,3,3,4,1,2,1,2,判断重影点的可见性时，需要看重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。,30,例题,6,判断两直线的相对位置。,b,a,a,c,d,d,c,b,X,1,1,d,1,c,1,31,例题,7,判断两直线重影点的可见性。,b,b,c,d,d,c,X,a,a,3,(4,),3,4,1,2,1(2),32,一、两直线平行,1,、两平行直线在同面投影上的投影仍平行。反之，若两一般直线在两个同面投影上的投影相互平行，则该两直线平行；当两直线为投影面平行线时，判断两直线是否平行要观察第三个同面投影。,2,、平行两线段之比等于其投影之比,(,两直线共面为前提,),。,X,b,a,a,d,b,b,c,c,X,b,a,a,b,d,c,d,c,A,B,C,D,33,错误更正：,图学应用教程,P44,图,2-50(b),更正如下。,34,
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