3.3二阶系统解析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,3.3 二阶系统的时域分析,一、二阶系统数学模型及其标准形式,RLC电路、电动机转速把握系统,典型二阶系统是一个前向通道为惯性环节和积分环节串联的单位负反响系统。,令,则二阶系统传递函数的标准形式为,其中称为阻尼比，为时间常数，n为系统的自然振荡角频率无阻尼自振角频率。,留意：,把握工程中，二阶系统的典型应用极为普遍；,为数众多的高阶系统在确定条件下可近似为二阶系统。,二、二阶系统的特征根极点分布,求解二阶系统特征方程，,可得两个特征根极点,(1).欠阻尼,是一对共轭复数根。,(2).临界阻尼,是两个一样的负实根。,(3).过阻尼,是两个不同的负实根。,(4).无阻尼,是一对共轭纯虚数根。,三、二阶系统的单位阶跃响应,对于单位阶跃输入,于是,由拉氏反变换可以得到二阶系统的单位阶跃响应为,下面按阻尼比分别争论。,过阻尼(1),这种状况下，系统存在两个不等的负实根，则,拉氏反变换可得过阻尼系统的单位阶跃响应：,稳态重量：1,暂态重量：两个指数函数之和，,指数局部由系统传递函数极点确定。,争论：,过阻尼系统是两个惯性环节的串联。,有关分析说明，当 时，两极点s1和s2与虚轴的 距离相差很大，此时靠近虚轴的极点所对应的惯性环节的时间响应与原二阶系统特殊接近，可以用该惯性环节来近似原来的二阶系统。即有,近似原则,：用其中一个惯性环节近似原二阶系统，需要保证近似前后初值和终值相等，并且要用到待定系数法,！,过阻尼系统稳态值和最终误差,过渡过程时间按近似后一阶系统求出,单调上升，无振荡，过渡过程时间长，无稳态误差。,过阻尼系统单位阶跃响应的变化率,所以，整个暂态过程中，阶跃响应都是单调增长的.,2,.临界阻尼(,1),此时，系统具有,二重负实极点,，则,单位阶跃响应为,说明临界阻尼系统的阶跃响应是单调上升的。,单位阶跃响应的变化率为：,临界阻尼系统单位阶跃响应的误差及终值,解得 。,整个暂态过程中，临界阻尼系统阶跃响应都是单调增长的没有超调。如以到达稳态值的95%所经受的时间做为调整时间，则,临界阻尼二阶系统多在记录仪表中使用。,单位阶跃响应,变化率最大,的时刻：,3.欠阻尼(0,1),此时，系统具有,一对共轭复数极点,，则,欠阻尼系统单位阶跃响应为,或写为,争论:,(1)欠阻尼状况下，二阶系统的单位阶跃响应是衰减的正弦振荡曲线。衰减速度取决于特征根实部确实定值 n的大小，振荡角频率是特征根虚部确实定值，即有阻尼自振角频率d，,(2)振荡周期为,(3)越大，振幅衰减越快，振荡周期越长频率越低。,(4),上升时间,t,r,的计算：,或,即,所以,(5)峰值时间tp的计算：,消逝峰值时，阶跃响应随时间的变化率为0，即,则,故,到达第一个峰值时应有,(6)最大超调量的计算：,越小，越大只与有关,(7)调整时间,t,s,的计算：,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线位于一对曲线,以内，这对曲线称为,响应曲线,的包络线。,可以承受包络线代替实际响应曲线估算调整时间，所得结果一般略偏大。,解得,当5时，,当2时，,当 时，,设计二阶系统时，常取 为最正确阻尼比。,假设允许误差带是如2，可以认为调整时间就是包络线衰减到 区域所需的时间，则有,(8)振荡次数,振荡次数是指在调整时间内，振荡的次,数。依据这确定义，可得振荡次数为,式中，为阻尼振荡的周期时间。,设计二阶系统时，可先由超调量确定阻尼比，再由其他指标如调整时间和已确定的阻尼比给出自然振荡角频率。,欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标计算公式,例3-2：设一个带速度反响的伺服系统，其构造图如以下图。要求系统的性能指标为p=20%,tp=1s.试确定系统的K和KA值，并计算性能指标tr、ts和N.,得,4.无阻尼0,无阻尼状况下系统的阶跃响应是等幅正余弦振荡曲线，振荡角频率是,不同,下，二阶系统的单位阶跃响应曲线图,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,n,t,c,(,t,),0.2,0.4,0.6,0.8,1.0,1.2,1.4,1.6,1.8,2.0,=0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,1.0,2.0,几点结论:,1二阶系统的阻尼比准备了其振荡特性：,0 时，阶跃响应发散，系统不稳定负阻尼,=0时，消逝等幅振荡,01时，有振荡，愈小，振荡愈严峻，但响应愈快,1 时，无振荡、无超调，过渡过程长,2确定时，n越大，瞬态响应重量衰减越快速，系统能够更快到达稳态值，响应的快速性越好。,假设n确定，发生变化，状况又如何？,3工程中除了一些不允许产生振荡的应用，如指示和记录仪表系统等，通常承受欠阻尼系统，且阻尼比通常选择在0.40.8之间，以保证系统的快速性同时又不至于产生过大的振荡。,4)最正确阻尼比为0.707这时的调整时间小，而且超调量也不大,二阶系统暂态特性指标,依据上面的分析，系统的暂态性能可归纳为平稳性和快速性两个要点，它们与系统特征参数 和 亲切相关。,1平稳性,主要由最大超调量 和振荡次数 表征。增大，减小，平稳性变好；假设 不变，增大，增大，增大，平稳性变差。,2快速性,主要由上升时间 和调整时间 表征。当 确定时，越大，则 越长，快速性越差；当 确定时，越大，则 越短，快速性越好。而对于 ，则与 和 的乘积成反比。,二阶系统暂态特性指标,3为了限制超调量并使调整时间 较短，阻尼比 一般取在0.40.8之间，这时，超调量为25%1.5%之间。,3.3.4 二阶工程最正确参数,在把握系统的设计中，综合考虑系统平稳性和快速性，一般选择参数,称为二阶工程最正确参数，此时的二阶系统称为二阶工程最正确系统。令,代入二阶系统传递函数标准式，得二阶工程最正确系统的开环传递函数为,此时系统的单位阶跃响应暂态性能指标为,超调量,上升时间,调整时间,二阶工程最正确系统不仅快速性好，且具有较小的超调量。,例题,例3-2 由试验测得二阶系统的单位阶跃响应如图3-19所示，试依据的单位阶跃响应 ，计算系统参数 及 之值。,例题,解：由图3-19所示单位阶跃响应 ，依据超调量 及峰值时间 的定义，得到信息,依据 和 与特征参数 、的关系有,可计算得,例题,例3-3 有一位置随动系统，其构造如图3-20 所示，其中 。1计算该系统的暂态性能指标超调量 和调整时间 ；2假设要求阻尼比为二阶工程最正确参数 取值，应怎样转变系统参数值。,例题,解：由系统构造图得闭环传递函数为,典型二阶系统闭环传递函数标准形式为,比照可得,解得,1超调量,例题,调整时间,2当要求阻尼比为二阶工程最正确参数时，即 时，由 ，可得 ，所以开环增益,明显，为了得到二阶工程最正确参数，必需降低开环增益值 。但降低值 的同时，却增大了系统的稳态误差。,